Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
GỬI TẶNG CÁC BẠN
TỔNG HỢP 10 BÀI TOÁN ĐẦU TIÊN TRÊN FB CỦA THẦY
www.facebook.com/ThayTungToan
Giải
Với ba số
1, 1, 1
a b c
theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất hai số cùng dấu hoặc có ít nhất 1 số
bằng
0
. Do vai trò
, ,
a b c
bình đẳng nên không mất tính tổng quát giả sử :
( 1)( 1) 0
a b
1
ab a b
3
3 3
3 2( ).6 .6 1 17
ab bc ca
ab bc ca ab bc ca
Với
1
a b c
thì
17
T
. Vậy giá trị nhỏ nhất của
T
là
17
. Giải:
Điều kiện :
y
(3)
Bài 2 (Nguyễn Thanh Tùng). Giải hệ phương trình
3 2
3
2 3
2(1 ) 2 2 8 (1)
( 6) (12 ) 8 (2)
y y x xy y
x x x y
( ,x y
)
Bài 1 (Nguyễn Thanh Tùng). Cho
, ,
a b c
là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2
2
3
8 2 2 2
y y x y
8 8 0
y y
(4)
Từ (3) và (4) suy ra:
0
y
Cách 2: (Dùng kĩ thuật nhân liên hợp và đánh giá biểu thức không âm)
2 2 3
3
(1) 2 2 2 8 2 0
xy y xy y y
0
y
( vì
2
2
3
1
2 0
8 1 3
xy y
y
,
0
xy
)
Khi đó hệ có dạng:
2
2 2
( 6) 12 8
x x x
Giải:
Bài 3 (Nguyễn Thanh Tùng). Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hình bình hành
ABCD
có đỉnh
11 1
;
2 2
A
.
Một điểm
(1; 1)
M
sao cho
ABEM
là hình bình hành, khi đó
DCEM
cũng là hình bình hành
Ta có:
1 2
2 1
1 1
A C
C E BECM
A E
nội tiếp đường tròn
0
Ta có
3 10
2
MA . Theo (*) ta có:
0 0
180 45
AMD BMC
Xét tam giác
AMD
:
2 2 2
45 3 10 2 25
2 . .cos 5 2. . 5.
2 2 2 2
AD MA MD MA MD AMD
5
2
AD
Suy ra
D
thuộc đường tròn tâm
11 1
;
2 2
2 2 3 0
x y x y
x y x y
2
1
x
y
hoặc
3
2
x
y
(2) (3 2) 2 1
y x x
2
2 1
3 2
x
y
x
Xét hàm số
2 1
( )
3 2
x
f x
x
với
1;2
x
. Ta có
2
y y
(2*)
Bài 4 (Nguyễn Thanh Tùng). Giải hệ phương trình
3
2 2
1 2 2 1 2 1 (1)
3 2 2 1 0 (2)
y x x y x x
xy x y
( , )
x y
Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
Cách 1 (Nguyễn Thế Duy) Biến đổi
y
y y x
(3*)
Từ (2*) và (3*) suy ra:
1
y
, khi đó
1
x
thỏa mãn hệ.
Vậy nghiệm của hệ là
( ; ) (1; 1)
x y
.
Cách 2 (Nguyễn Thanh Tùng) Ta có
2
2
1
(3) (1 ) 1 ( 1) 2 2 0
1
x
y x y x y y
y
(thỏa mãn hệ)
Vậy hệ có nghiệm
( ; ) (1; 1)
x y
.
Cách 3 (Vũ Đức Tùng) Ta có
2 2
(2) (3 2) 2 1
x y y
2
2
2 1
3 2
y
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 1 2 1
3 2 3 2 3 2 3 2
y y y y
y y
y y y y
2 2
3
2 2
2
2
2 2
1 4 3
2 (1 ) ( 1) 0
3 2 3 2
1 (4 3)( 1)
1 1( 2) (1 ) 0
3 2 3 2
y y
y y y y
, y
nên
2
2
2 2
1 (4 3)( 1)
1( 2) (1 ) 0
3 2 3 2
y y y
y y y y
y y
với mọi
1 1
y
Do đó
1 0 1
y y
với
1
x
.
Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 5
Giải
Đặt
2
3
x a
y b
z c
2 2
2 2
4 60 15 0
3 60 20 0
y y
z z
Suy ra
2 2
(15 )(20 )
5
yz y z
x
. Do
2 2
(15 )(20 )
0
5
yz y z
x x
Suy ra
2
2 2
60 ( ) 10( ) 25
35 ( ) 60 ( 5) 60
6
10 10 10 10
y z y z
y z y z
T x y z y z
Với
1
a b c
thỏa mãn điều kiện bài toán và
6
T
. Vậy giá trị lớn nhất của
T
x x y y
(*)
Bài 5 (Nguyễn Thanh Tùng). Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2 2 2
5 12 16 27 60
a abc b c
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 3
T a b c
.
(Dựa trên ý tưởng từ bài của một bạn hỏi thầy)
Bài 6 (Nguyễn Thanh Tùng). Giải hệ phương trình
2 2
2 4
'( ) 1 0
5 5 5
t t
t t t
f t
t t t
,
t
suy ra
( )
f t
đồng biến và liên tục trên
.
Khi đó
(*) ( ) ( )
f x f y
x y
hay
y x
5
y y
x x
y y
x x y y a
y y
y y x x b
x x
y y
x x
x x
(2*)
Để giải
(2*)
ta có:
Cách 1: Ta có:
4 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 4 4 4 ( 2) (2 ) ( 2 2)( 2 2)
7 10 14 ( 2 2) 6( 2 2)
x x x x x x x x x x
x x x x x x
Nên
2 2 2 2
(2*) ( 2 2) 6( 2 2) 5 ( 2 2)( 2 2) 0
x x x x x x x x
+) Đặt
2
2
2 2
a b
+) Với
2 2
3 9
a b a b
:
2 2 2
2 2 9( 2 2) 8 20 16 0
x x x x x x
(vô nghiệm).
+) Với
2 2
2 4
a b a b
:
2 2 2
5 7
2 2 4( 2 2) 3 10 6 0
3
x x x x x x x
Thay vào
(3)
ta được nghiệm của hệ là:
2 2 4 2 4 2 4
3 10 6 4 8 5 4 4 8 5 4 4 8 5 4 0
x x x x x x x x
2 2 4 4 2
3 10 6 4 8 5 4 9 64 36 0
x x x x x x
2
2
3 10 6 0
x x
(4*)
hoặc
2 4
10 2 5 4 0
x x x
(5*)
+) Cộng
(5*)
với
(2*)
ta được:
2
8 20 16 0
x x
(vô nghiệm)
+) Ta có
(4*)
5 7
3
AJ
đi qua
(2;1)
J và
(2; 4)
D
nên có
phương trìn phương trình:
2 0
x
Khi đó tọa độ điểm
A
là nghiệm của hệ :
2 0 2
(2;6)
2 10 0 6
x x
A
x y y
ECD AmE DqB
(1)
Mặt khác:
1
2
1
2
EBD sdECD
DJB sd AmE sdDqB
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
bán kính
5
DJ
có phương trình :
2 2
( 2) ( 4) 25
x y
. Khi đó tọa độ điểm
B
là nghiệm của hệ:
Bài 7 (Nguyễn Thanh Tùng). Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
ngoại tiếp đường tròn tâm
(2;1)
J . Biết đường cao xuất phát từ đỉnh
A
của tam giác
ABC
có phương trình
2 10 0
x y
và
(2; 4)
D
3
4
x
y
hoặc
2
9
x
y
( 3; 4)
(2;9)
B
B
2 5 0
x y
x y
3
4
x
y
hoặc
5
0
x
y
( 3; 4)
x y x y y y x x
2 2
( 1)(2 3 3) ( 1)( 5)
y x x x y
2 2
5 2 3 3
1 1
y x x
y x
(*)
Xét hàm số
2
2 3 3
( )
1
x x
f x
x
Khi đó
0;2
0;2
(0) 3
min ( ) 1
(1) 1
max ( ) 3
5
(2)
3
x
x
f f x
f
f x
f
y
y y
1 2
y
Bài 8 (Nguyễn Thanh Tùng). Giải hệ phương trình
2 2 2 2
(2 ) 2 1 (1)
2 2 3 8 3 2 (2)
y x x x xy
x y xy x y xy x y
(2 ) 2 ( 1) 0
y x x y y x
Khi đó (2*)
0
(2 ) 2 ( 1) 0
2
x
y x x y y x
y
Điều kiện:
0 2
x
Ta có
2(2 )( 1)
(1) 1 0 (2 )( 1) 0
2
y x
x xy y x
x x
Với
1 2
x
, biến đổi phương trình (2):
2 2 2
(1 ) (3 3 2 ) 2 8 2 0
y x y x x x x
(*)
Để phương trình có nghiệm thì:
x
, biến đổi phương trình (2):
2 2 2
(1 ) (3 3 2 ) 2 8 2 0
y x y x x x x
2 2
2 2
1 1
( 5)( 1) ( 1)(2 3 3)
2 3 3 5
x y
y x y x x
x x y
Xét hàm
2
1
( )
2 3 3
x
f x
x x
5 2 3 3 3
y x
f y y y
y x x
Mà theo (3*) ta có
2
y
nên suy ra
2; 0
y x
. Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; ) (0;2)
x y
Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 10
là tâm đường tròn ngoại tiếp nên
MI AB
MI GK
(1)
Gọi
P
là trung điểm của
AC
và do
ABC
cân tại
A
nên:
/ / / /MP BC MK BC
GI MK
AG BC GI BC
(2)
Từ (1) và (2) , suy ra
I
là trực tâm của tam giác
MGK
x
và
7
2
y
7 7
;
2 2
I
Gọi (4 7 ;5 )
C t t CM
, khi đó :
2
5 25
2
2
R IC IC 2 2
2
1 7 25
Ta có
2 2
2 2 2
1
(1; 1)
25
2
7 6 5 148 168 47 0
72 12
;47
2
37 37
74
A
m
IA R m m m m
A
m
AB
)
Vậy
(1; 1), (0; 4), (4;0)
A B C
.
Bài 9 (Nguyễn Thanh Tùng).Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
cân tại
A
và
M
là trung điểm của
AB
.
Đường thẳng
CM
có phương trình
5 7 20 0
x y
và
11 7
;
có t
ọ
a đ
ộ
nguyên .Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Họcmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 11
Giải:
Ta có
2 2 2 2
2 4(2 ) 18 2( 2 1) ( 4 4) 8( ) 6 18
b c a b c b b c c a b c
2 2
24 2( 1) ( 2) 8( ) 8( )
b c a b c a b c
Suy ra
b a c b a b c
Khi đó
2 2 2
4
ab bc ca
(*)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng 2
xy x y
và
3
3
xyz x y z
, ta được:
3 3
2 5 6 4 2 5 3.2 .1 2.3 2 . .2
a b b bc a b b b c
Vậy
3
0 2 5 6 4 13
a b b bc
(2*)
Từ (*) và (2*), suy ra
13
4 3
13
P
Với
0; 1; 2
a b c
thỏa mãn điều kiện đề bài và
3
P
. Vậy giá trị lớn nhất của
P
bằng 3.
CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU !
Lovebook
- Tuyển tập đề thi thử trung học phổ thông môn tiếng anh có đáp án chi tiết
/>tiet/Nzc2MTY=
Đề thi thử kỳ thi THPT quốc gia Tiếng Anh 2015 cô vũ mai phương moon- có hướng dẫn giải thích chi
tiết
/>dan-giai-thich-chi-tiet/Nzc2MTg=
Vũ khí tiếng anh: cú huých ẵm trọn 1,5 điểm bài luận tổng hợp 60 bài luận tiếng anh 140 từ
/>140-tu/NzY4OTI=
Bộ đề thi thử môn tiếng anh có đáp án chi tiết
Bộ đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia tiếng anh 2015 60 bài luận tiếng anh thông dụng các bài luận tiếng anh thông dụng nhất
45 đề trắc nhiệm và tự luận tiếng anh 12
bài luận mẫu tiếng anh trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia phần writing part 2
/>2/NzYyMDQ=
Bộ đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng môn tiếng anh hoàng thị lệ
quy tắc phát âm trong tiếng anh luyện thi đại học
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG- ÔN THI ĐIỂM 10 MÔN TOÁN hướng dẫn giải 6 dạng tích phân thường gặp ôn điểm 10 môn toán các dạng tích phân và cách tính ôn thi đại học
CáchTÍNH TÍCH PHÂN đặc biệt
giải hệ phương trình Lượng giác tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất, một số phương pháp lượng giác hóa
/>hoa/NjIzMzY=
Bảng công thức lượng giác dễ nhớ Bảng công thức tích phân - đạo hàm - Mũ - logarit chinh phục hình học giải tích trong mặt phẳng tổng hợp 90 đề thi đại học môn toán kèm đáp án hay không nên bỏ qua tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng hay và đặc sắc phiên bản 1
Free cuốn tư duy thần tốc
khám phá tư duy giải nhanh thần tốc hoá học nguyễn anh phong (full) Hướng dẫn giải nhanh đề thi khối B môn Toán Hóa Sinh tuyển tập 40 đề thi thử đại học môn hóa có đáp án Công thức giải nhanh trắc nghiệm hóa học 16 kĩ thuật và phương pháp giải nhanh bài tập trắc nhiệm hóa học ôn thi cấp tốc kĩ thuật tổng hợp và giải nhanh lý thuyết hóa học Tổng hợp 16 phương pháp giải nhanh trắc nhiệm hóa học kèm câu hỏi và hướng dẫn
/>dan/NDE5MzQ=
Nhận biết các hóa chất hóa học ôn tập và hệ thống hóa kiến thức Hóa Hữu cơ Quan Hán Thành phân tích , tránh 1 số sai lầm Bẫy trong đề thi đại học môn hóa
HOT tuyển tập đề thi thử hóa có đáp án của thủ khoa lê phạm thành Những kiến thức luyện thi hóa học quan trọng
Tài liệu môn lý
tuyển tập 200 bài vật lý hay và khó tập 1 GSTT group
Tóm tắt công thức lý 12 tuyển tập cách tính nhanh vật lý bằng máy tính casio- có hình minh họa siêu phẩm luyện đề trước kỳ thi đại học vật lý 2015 kèm theo đáp án và bình luận chi tiết
/>tiet/NzMyODg=
69 đề thi trắc nhiệm khách quan vật lý đại học kèm đáp án mới nhất
chuyên đề con lắc lò xo có lời giải 60 đề thi trắc nhiệm đại học môn vật lý có đáp án Tài liệu môn Sinh
Sơ đồ tư duy lý thuyết sinh học hocmai vn forum
TÀI LIỆU ôn THI đại học môn địa lý mới
Copyright: Tài liệu đại học ©