CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A./ Kiến thức cơ bản:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x
2
= a
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: , số
âm:
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó:
+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức không có nghĩa khi a < 0)
2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với thì số được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng
được gọi là căn bậc hai số học của 0
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép
khai phương
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu
+ Nếu
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức được gọi là căn thức bậc hai của A ;
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
- có nghĩa (hay xác định hay tồn tại)
4. Hằng đẳng thức
- Định lý : Với mọi số thực a, ta có :
- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có :
B./ Bài tập áp dụng
Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số
- Tìm căn bậc hai số học của số đã cho

b) Ta có: xác định với mọi x
c) hoặc
+ Với
+ Với
Vậy căn thức xác định nếu hoặc
d)
Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) c)
b) d)
LG
a) Cách 1 :
Cách 2 :
b)
c)
d)
Dạng 5 : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
LG
a) Ta có :
vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
b) Ta có :
vậy Miny = . Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi
**************************************************
Ngày dạy: ……………………
VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
khi đó :

đường thẳng vuông góc với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E
và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED, FB, FD
LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có:
Theo định lý 1:
Theo định lý 1, ta có:
Theo định lý 2, ta có:
Xét tam giác DAF, theo định lý 1:
Theo Pitago:
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và
tia CB cắt nhau ở F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng
này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEG cân
b) Tổng không đổi khi E chuyển động trên AB
LG
a) Ta có: (cùng phụ với )
xét ta có :
cân tại D
b) vì DE = DG
ta có :
xét tam giác DGF vuông tại D, ta có :
(định lý 4)
Vì không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra
tổng không đổi khi E thay đổi trên AB
*******************************************************
Ngày day: …………………
CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
1. khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai
a) Định lý :

đk :
Ta có thỏa mãn
(4) đk :
(4) thỏa mãn
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh
rằng . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
LG
* Cách 1 :
+ vì xác định
+ ta có :
+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có
*******************************************************
Ngày dạy: …………………
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa : Cho ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của
tam giác ABC vuông tại A như sau :
Đối
Kề
Huyền
* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy : + tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn
luôn dương
+ 0 < sin, cos < 1 +
2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này
bằng cotg góc kia. Tức : nếu thì ta có :
3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
Tỉ số lượng giác
30

b)
c)

2. Ta có:
Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg
LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
+ mà
+ mặt khác:
Bài 4: Dựng góc trong các trường hợp sau:
LG
a)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 90
0
. Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2,
cung này cắt Ox tại A
- nối A với B cần dựng
* Chứng minh:
- ta có: đpcm
b)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 90
0
. Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2
- vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3,
cung này cắt Oy tại B

- vì là 2 góc phụ nhau
- do đó:

*********************************************************
Ngày dạy: ……………………….
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cơ bản
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn :
4. Trục căn thức ở mẫu
a)
b)
c)
* Chú ý:
- các căn bậc hai đồng dạng là các căn bậc hai có cùng biểu thức dưới dấu
căn
- biểu thức liên hợp: 2 biểu thức chứa căn thức được gọi là liên hợp với nhau
nếu tích của chúng không chứa căn thức
- quy tắc trục căn thức ở mẫu: muốn trục căn thức ở mẫu của 1 biểu thức ta
nhân tử và mẫu của biểu thức đó với biểu thức liên hợp của mẫu
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 1: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh
a)
ta có:

b)
ta có:
Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả
a)
b)

Bài 3: Chứng minh đẳng thức
Biến đổi vế trái ta được:
Biến đổi vế trái ta được:
Bài 4: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
LG
a) đk: a > 0; b > 0; a khác b
b) ta có:
Bài 5: Cho biểu thức
a) Tìm đk xác định
b) Rút gọn biểu thức B
LG
a) đk:
b) Ta có:
Bài 6: Cho biểu thức
a) Tìm đk để C có nghĩa
b) Rút gọn C
c) Tìm x để C = 4
LG
a) đk:
b) Ta có:
c) C = 4
Bài 7: Cho biểu thức

- Tính các cạnh góc vuông (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1))
c) Biết cạnh góc vuông và góc nhọn kề
- Tính góc nhọn còn lại
- Tính cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền (hệ thức về cạnh và góc – hệ
thức (1); (2))
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết và BC = 10. Tính AB; AC
-
- theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = 17; BC = 16. Tính đường
cao AH và góc A, góc B của tam giác ABC
+ tam giác ABC cân, có
+ xét tam giác AHC, vuông tại H
- ta có:
- mặt khác:
+ xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, . Gọi N là chân đường vuông góc kẻ
từ A đến BC. Tính AN; AC
- xét tam giác ANB vuông tại N, theo hệ thức về cạnh
và góc trong tam giác vuông ta có:
- xét tam giác ANC vuông tại N, theo hệ thức về cạnh
và góc trong tam giác vuông ta có:
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9; HC =
16. Tính góc B, góc C?
- xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức về cạnh
và đường cao trong tam giác vuông , ta có:
- xét tam giác AHB, vuông tại H, ta có:
- mà
Bài 5: Cho tam giác ABC có , các hình chiếu vuông góc của AB và AC lên
BC theo thứ tự bằng 12 và 18. Tính các góc và đường cao của tam giác ABC

Kề
Huyền
3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác
- Nếu thì ta có :
- Cho . Khi đó
+ 0 < sin, cos < 1
+
+
4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c;
AC = b, ta có:

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Chứng minh rằng : với là góc nhọn tương ứng trong tam giác ABC,
thì:
LG
Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C và đường cao AH vủa tam giác ABC
LG
a) ta có: do đó theo định lý đảo của định lý Pi-ta-go tam giác
ABC vuông tại A
b)
Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng hệ thức về cạnh và góc
trong tam giác vuông ta có:
(hoặc AH.BC = AB.AC)
Bài 3: Giải tam giác vuông tại A, biết
a) a = 12;
b) b = 13; c = 20
LG

B. Tự luận (8 điểm)
Bài 1
Chon biểu thức
• Tìm điều kiện và rút gọn P
• Tính giá trị của P khi .
Bài 2 ( Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình )
Hai xe đạp khởi hành cùng lúc từ A đến B cách nhau 60 km biết vận tốc
của người thứ nhất bé hơn người thứ hai là 2 km/giờ và người thứ nhất đến
muộn hơn người thứ hai là 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao AD, BE
cắt nhau tại H nằm trong tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của
AD, BE với đường tròn tâm O.
• Chứng minh rằng 4 điểm A, E, D, B cùng thuộc một đường tròn.
• Chứng minh MN // DE.
• Chứng minh CO vuông góc DE.
• Cho AB cố định xác định C trên cung lớn AB để diện tích tam giác
ABC lớn nhất .
•
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2000 - 2001
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và viết công thức nghiệm của phơng trình bậc hai.
Ap dụng giải phơng trình : 3x
2

• CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOE.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOE (I là trung điểm của
EB)
Ta có dẫn đến CM//EB Mặt khác MI vuông góc với EB nên MI cũng
vuông góc với MC. Từ đó suy ra đpcm
• Ta có AE là phân giác của
Hay
Mặt khác
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2001 - 2002
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất.
Áp dụng cho hai hàm số y = x-3 và y = 2 – x.
Đề II
Chứng minh định lí : Đường kính vuông góc dây cung thì chia dây cung
đó thành hai phần bằng nhau.
B. Tự luận (8 điểm)
Bài 1. Cho biểu thức
• Tìm điều kiện và rút gọn P
• Tính giá trị của P khi .
c)Tìm a để : P > 0.
Bài 2. Cho phương trình bậc hai: x
2
+ (m+1)x + m – 1 = 0.


A. Lý thuyết ( học sinh chọn một trong 2 đề )
Đề I
Nêu định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất.
Áp dụng cho hai hàm số y = 3x và y = 1 – 2x.
Đề II
Phát biểu định nghĩa đường tròn và chứng minh định lí : Đường kính là
dây cung lớn nhất của đường tròn.
B. Bài tập
Bài 1. Cho biểu thức :
• Tìm điều kiện và rút gọn P
• Tính giá trị của P khi x = 36.
c) Tìm x để : .
Bài 2. Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B cách nhau 30 km rồi quay về
A mất
4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng. Biết vận tốc dòng nước
chảy là
4 km/giờ.
Bài 3. Cho hai đoạn thẳng AB và AC vuông góc với nhau (AB < AC). Vẽ
đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm O
’
đường kính AC.
Gọi D là giao điểm thứ 2 của hai đường tròn đó.
• Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng.
• Gọi giao điểm của OO
’
với cung tròn AD của (O) là N. Chứng minh
AN là phân giác của góc DAC.
• Tia AN cắt đường tròn tâm O
’

Đề II
• Nêu định nghĩa hai đường thẳng song song, vuông góc trong không
gian.
• Ap dụng cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B
’
C
’
D’ . Hãy chỉ ra các cạnh
song song , vuông góc AA’
B. Bài tập
Bài 1. Cho biểu thức :
a) Tìm điều kiện và rút gọn P
b) Tìm x để P >.
c) Tìm x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 2. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 18 giờ thì xong. Nếu
người thứ nhất làm trong 4 giờ rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 7 giờ
thì được công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong
công việc.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm thuộc đường
tròn đó. Tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) cắt BC tại K . Gọi Q,M lần
lượt là trung điểm của KB, KA.
• Chứng minh 4 điểm A,M,C,Q cùng nằm trên đường tròn.
• Cho AB = 10 cm ; OQ = 3 cm. Tính diện tích tứ giác ABQM.
• Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
• Chứng minh rằng nếu tam giác ACO và tam giác BCO có bán kính
đường tròn nội tiếp bằng nhau thì điểm C nằm chính giữa cung AB.
• Chứng minh 4 điểm A,M,C,Q
cùng nằm trên đường tròn.
Ta chứng minh Suy ra đpcm
• Cho AB = 10 cm ; OQ = 3 cm.

Nêu định nghĩa và viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Áp dụng giải phương trình 2x
2
– 7x + 3 = 0.
Đề II
Chứng minh định lí tổng số đo hai góc đối diện trong tứ giác nội bằng
nhau và bằng hai lần góc vuông.
B Bài tập
Bài 1. Cho biểu thức :
• Tìm điều kiện và rút gọn P.
• Tính giá trị của P khi x =.
c) Tìm x để : .
Bài 2. Để chở một đoàn khách gồm 320 người đi thăm quan chiến trường
điện biên phủ. Công ty xe khách đã cho thuê hai loại xe : loại xe thứ nhất 40
chỗ ngồi, loại xe thứ hai là 12 chỗ ngồi. Tính số xe mỗi loại biết số xe loại
thứ nhất ít hơn loại thứ hai 5 chiếc và số người được ngồi đủ số ghế.
Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AE , BK, CI cắt nhau tại
H.
• Chứng minh rằng các tứ giác EHKC; BIKC nội tiếp các đường tròn.
• Chứng minh AE, BK, CI là các đường phân giác của tam giác IEK.
• So sánh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB và tam giác
BHC.
• Chứng minh rằng các tứ giác
EHKC; BIKC nội tiếp các đường
tròn. Tự chứng minh
• Chứng minh AE, BK, CI là các
đường phân giác của tam giác
IEK.
Ta có: suy ra EA là phân giác của
góc . Chứng minh tương tự với các

tốc của ô tô thứ nhất lớn hơn ô tô thứ hai là 10 km/giờ và ô tô thứ nhất đến
trước ô tô thứ hai là 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. H là điểm nằm giữa
O và B. Kẻ đường thẳng đi qua H vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại
C. Gọi I là trung điểm dây CA.
• Chứng minh tứ giác OICH nội tiếp đường tròn.
• Chứng minh : AI.AC = AO.AH.
• Trong trường hợp OH = R/3 , K là trung điểm của OA . Chứng minh BI
vuông góc IK.
Giải
• Chứng minh tứ giác OICH nội
tiếp đường tròn. Tự chứng minh
• Chứng minh : AI.AC = AO.AH.
Tự chứng minh
• Trong trường hợp OH = R/3 , K
là trung điểm của OA . Chứng
minh BI vuông góc IK.
Ta chứng minh
Hướng dẫn:
(K là trung điểm của OA)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2006 – 2007.
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

AB.
• Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) Hãy xác định vị trí M để
diện tích tam giác DHC bằng diện tích tam giác AMB.
• Chứng minh M là trung điểm
CD
Tự chứng minh
• Chứng minh AD.BC = CM
2
vì
Suy ra AD.BC = CM
2
• Chứng minh đường tròn
đường kính CD tiếp xúc với
đường thẳng AB.
Kẻ AH AB. (H AB)Ta chứng minh (ch-gn) MH = MDđpcm
• Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) Hãy xác định vị trí M để diện
tích tam giác DHC bằng diện tích tam giác AMB.
Dễ thấy
• Suy ra M nằm trên nửa đường tròn tâm O sao cho thì diện tích tam
giác DHC bằng diện tích tam giác AMB.SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2007 – 2008.
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
A. Trắc nghiệm

xe máy, biết rằng quãng đường AB dài 120 km
Câu 3 (3 điểm)
Cho nữa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm A
và B (Hkhông trùng với O ). Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nữa
đường tròn trên tại điểm C. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc
kẻ từ H đến AC và BC.
a) Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ADEB là tứ giác nôi tiếp.
c) Gọi K là tâm đương tròn ngoại tiêp tư giác ADEB . Chưng minh DE
= 2KO.

Hướng dẫn chấm đề chính thức
Môn: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang)
PHẦN I: Trắc nghiệm (2 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm
1. B; 2. A; 3. A; 4. C;
PHẦN II. Tự luận (8 điểm).
Câu ý Nội dung
Thang
điểm
1
(3
đi
ể
m
)
a
(1,5
điể

+ t - m - 1 = 0 (2)
0.25
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm
dương khác 1.
Nhận thấy
0.25
Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1

Kết luận: m > -1 và m 1.
0.25
2
(2
đi
ể
m
)
Gọi vận tốc trung bình của xe máy thứ hai là x (km/h), x > 0.
Suy ra vận tốc trung bình của xe máy thứ nhất là x + 10
(km/h)
0.25
Thời gian xe máy thứ hai đi hết quãng đường AB là (h)
0.25
Thời gian xe máy thứ nhất đi hết quãng đường AB là(h)
0.25
Theo bài ra ta có phương trình: - = 1 (1)
0.5
(1) x
2
+ 10 x - 1200 = 0 (x > 0)
0.25

Mặt khác (vì cùng phụ với )
0.25
Mà (kề bù)
0.25
ADEB là tứ giác nội tiếp ()
0.25
c
(0.7
5
điể
m)
Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB
OK là trung trực của AB, IK là trung trực DE.
0.25
Ta có OBC cân tại O (OB = OC = bán kính)
Mà (chứng minh trên)

CO DE CO // IK (cùng vuông góc với DE)
0.25
Từ giả thiết CI AB CI // OK (vì cùng vuông góc với AB).
Từ đó OKIC là hình bình hành, suy ra CI = KO CH = 2KO.
Mặt khác CH = DE ( đường chéo hình chữ nhật), nên DE =
2KO ().
0.25
Lưu ý: Thí sinh giải bằng cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO