Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Chương 3. Không gian Euclide
1. Kiểm tra một không gian vector là không gian Euclide, chứng minh các tính
chất của tích vô hướng
Chứng minh ánh xạ được định nghĩa là một tích vô hướng, hay chứng minh các điều
kiện sau:
) ', , ',
) , ,
) , 0, 0
i x x y x y x y
ii kx y k x y
iii x x x
+ = +
=
> ∀ ≠

, ',x x y V
∀ ∈
và
k∀ ∈¡
Ví dụ:
Không gian vector
3
¡
với ánh xạ được định nghĩa như sau
1 1 2 2 3 3
,x y x y x y x y= + +
là một tích vô hướng. Đây là không gian Euclide.
Hướng dẫn:
Với
3

¡
.
1) Chứng tỏ rằng không gian vector
3
¡
với
1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
1
, [ ]
2
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y= + + + + + + + +
là một không gian
Euclide. Tìm một cơ sở trực chuẩn của nó.
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự như ví dụ.
Cơ sở trực chuẩn của nó.
Lấy một cơ sở bất kỳ của
3
¡
, ví dụ như cơ sở chính tắc của
3
¡
, rồi áp dụng phương
pháp trực giao hóa Schmidt để tìm cơ sở trực chuẩn của
3
¡
đối với tích vô hướng này.
Một cơ sở trực chuẩn của
3
¡

2
0
0
0
γ γ γ
α
β
αβ γ
= =


>


>


− >

3) Cho
[ , ]a b
V C=
là không gian vector các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]. CMR.
[ , ]a b
C
là không gian vector Euclide với tích vô hướng là
, ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx=

[ ] [ ]
2 2
2 2
0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2
, :
( , )
x x
a a x a x b b x b x a b a b a b
× →
+ + + + + +
¡ ¡ ¡
a
là một tích vô hướng trên
¡
.
Hướng dẫn:
Chứng minh:
i)
', , ',x x y x y x y+ = +
ii)
, ,kx y k x y=
iii)
, 0,x x x≥ ∀
Đại số tuyến tính 2 32
Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
2) Hệ trực giao - Cơ sở trực giao – Cơ sở trực chuẩn:
Chú ý: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của hệ trực giao, cơ sở trực giao, cơ sở trực
chuẩn.
1) Chứng minh rằng hệ vector sau là hệ trực giao trong không gian vector Euclide
4

α
 
=
 ÷
 
 
= − −
 ÷
 
Hướng dẫn:
Trong
4
¡
xét tích vô hướng được định nghĩa như sau:
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4
, , ( , , , ); ( , , , )x y x y x y x y x y x x x x x y y y y y= + + + ∀ = =
Khi đó,
1 2
1 2
, 1.(2) ( 2).( 3) 2.2 ( 3).4 0
α α
α α
= + − − + + − =
⇒ ⊥
Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
2)
Hãy tìm một cơ sở trực giao của không gian con
L
⊥
với L được sinh bởi các vector


⊥ ∀ ∈ ⇒ ⊥


⊥

Suy ra, ta có hệ pt thuần nhất sau:
1 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 0
2 2 3 0
2 0
x x x
x x x x
x x x
+ + =


+ + + =


+ − =

Giải hệ pt này được
1
2
3
4
2

1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 3 0
3 2 2 0
3 9 0
x x x x
x x x
x x x x
+ + − =


+ − =


+ + − =

Hãy tìm cở sở của V và một cơ sở của
V
⊥
Đại số tuyến tính 2 33
Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Hướng dẫn:
- Giải hệ pt trên ta được nghiệm tổng quát của hệ.
1
2
3
4
6
9

, 0
, 0
x w
x v
 =


=


Giải hệ pt này ta được cơ sở của
V
⊥
.
4) Trong không gian
3
¡
với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con
{ }
3
( , , ) / 0F a b c a b c= ∈ + − =¡
a) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
b) Với giá trị nào của m thì vectơ
3
(2,2, )x m= ∈¡
trực giao với không gian con F?
Hướng dẫn:
Ta tìm được
(1, 0,1);(0, 1,1)F =
Dễ thấy hệ

= -Û
í
ï
+ + =
ï
î
5) Trong không gian vectơ Euclide
4
¡
, cho không gian vectơ con
4
{( , , , ) / 0; 0}W a b c d R a b c a b d= + + = - + + =Î
a) Tìm một cơ sở của
.W
b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với
.W
Hướng dẫn:
a) Ta tìm được
( 1, 1,2, 0);(1, 1, 0, 2)W =< - - - >
.
Suy ra W có 2 vectơ trên là cơ sở và
dim 2W =
.
b) Gọi
4
1 2 3 4
( , , ,y y y y y= Î ¡
là vectơ trực giao với W.
Ta có y trực giao với
1

ì
ï
= - -
ï
í
ï
= +
ï
î
Vậy,
3 4 3 4 3 4 3 4
( ; ; ; ) (1,1,1, 0) ( 1,1, 0,1)y y y y y y y y y= - - - + = + -
Kết luận, các vectơ trực giao với W là các vectơ
(1,1,1, 0)
và
( 1,1, 0,1)-
.
6) Trong không gian Euclide
2
[ ]P x
với tích của hai vectơ được định nghĩa như sau:
1
0
, ( ). ( )u v u x v x dx
< >=
∫
a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng trong
2
[ ].P x
b) Cho 3 vectơ

{ ; ; }u u u
là một hệ trực giao khi và chỉ khi:
1 2
2 3
3 1
, 0
, 0
, 0
u u
u u
u u
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
=
ï
î

Û
1
0
4 3 5

ï
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
Vậy
6 3
;
5 10
a b= - =
7) Trong không gian vectơ Euclide
4
¡
với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ:
1 1 7 7
(1,1,1,1); (2,2, 2, 2); ( , , , )
2 2 2 2
x y z= = − − = − −
a) Chứng tỏ rằng hệ
{ , , }x y z
là hệ trực giao.
Đại số tuyến tính 2 35
Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao của

ï
= + - - =
í
ï
ï
ï
ï
= - + - + =
ï
ï
î
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được
(7, 7, 1,1);u
a a
= - - Î ¡
Vậy cần bổ sung vào hệ đã cho vectơ
(7, 7, 1,1)u = - -
hay
,u
a a
Î ¡
để trở thành một
cơ sở trực giao của
4
¡
.
8) Trong không gian vectơ Euclide
4
¡
với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ

dim( ) 1U =
.
Mặt khác, ma trận
1 0 0
0 1 -1
A
é ù
ê ú
=
ê ú
ê ú
ë û
có hạng bằng 2 nên hệ
{(1, 0, 0);(0, 1, }1)-
là độc lập
tuyến tính. Do đó, một cơ sở của
V
là
{(1, 0, 0);(0, 1, }1)-
và
dim( ) 2V =
.
Xét :
(0,1,1);(1, 0, 0);(0, 1, 1)U V+ = -
Đại số tuyến tính 2 36
Hng dn gii bi tp chng 3. Khụng gian Euclide
D dng kim tra h vect
{(0,1,1);(1, 0, 0);(0,1, 1)}-
c lp tuyn tớnh nờn l c s ca
U V+

trc giao nhau.
10) Trong khụng gian vector Euclide
3
Ă
, cho mt tp con
3
1 2 3 1 2 3
{ ( , , ) / 2 0}W x x x x x x x= = + - =ẻ Ă
a) Chng t
W
l mt khụng gian con ca
3
.Ă
b) Tỡm mt c s trc giao v mt c s trc chun ca
.W
Hng dn:
Ta cú
(0, 0, 0) Wẻ
vỡ
2.0 0 0 0+ - =
, nờn
W ạ ặ
.
Vi mi
1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )x x x x y y y y W= = ẻ
; ta cú:
1 2 3
1 2 3
2 0

1 2
3
1 2 3 1 2 3
{( , , 2 ) / , }
{ (1, 0,2) (0,1,1) / , }
(1, 0
{ ( , , ) / 2 0}
, 2),(0,1,1) ,
x x
W x
x x x x
x x x x
u u
x x x x x x
+ ẻ
= + ẻ
= = + - =ẻ
=
= =
Ă
Ă
Ă
Vỡ ma trn
1 0 2
0 1 1
A
ộ ự
ờ ỳ
=
ờ ỳ

ớ ý
ữ
ỗ
ữ
ù ỗ ù
ố ứ
ù ù
ợ ỵ
Trc chun húa h trc giao trờn, ta c mt c s trc chun ca
W
l:
i s tuyn tớnh 2 37
Hng dn gii bi tp chng 3. Khụng gian Euclide
1 2 2 5 1
; 0; ; ; ;
5 5 15 6 30
ỡ ỹ
ổ ử
ù ù
ổ ử
ữ
ù ù
ỗ
ữ
ù ỗ ù
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ

{1, , }x x
trong khụng gian
2
[ ]P x
bng phng phỏp trc
giao húa Gram - Schmidt.
Hng dn:
a) Cn kim tra tớch ca hai vect ó nh ngha nh trờn tha cỏc tiờn sau:
(i)
, ,u v v u=
(ii)
, , ,u v w u w v w+ = +
(iii)
, , ,u v u v u v = =
(iv)
, 0u u
;
, 0u u u= =
Vi mi
2
, , [ ]u v w P x
; vi mi
Ă
.
b) t
2
1 2 3
1; ;u u x u x= = =
.
Cn trc giao húa h vect

1 2
;v v
, ta c:
2
3
1
3
v x=
.
Vy, ta c mt h trc giao ca
2
[ ]P x
l:
2
1
{1; ; }
3
x x
12) Cho khụng gian Euclide E, gi
1 2
,E E
l nhng khụng gian con ca E v
1
E
sinh bi
1
S
;
2
E

1i
x S
)
V
2
y E
,
1
m
j j
j
y b y
=
=

(vi
2j
y S
)
Khi ú,
1 2
, 0x y E E=
13) CMR nu
1 2
, , ,
n
x x x
l mt h trc chun ca khụng gian Euclide E thỡ
x E


⊥
= −
và
1 2 1 2
dim dim dim dimL L n L L n
⊥
+ = − + >
Suy ra,
1 2
L L
⊥
∩ ≠ ∅
.
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
2) Ký hiệu
L
⊥
là phần bù trực giao của không gian con L của không gian vector Euclide
n chiều E. Chứng minh:
a)
L
⊥
là không gian con của E.
b) dimL+ dim
L
⊥
= n.
Hướng dẫn:
a) Dựa vào định nghĩa không gian con.
b) Dựa vào định lý về số chiều.



Ngược lại giả sử
1 2
x L K x x x
⊥ ⊥
∈ + ⇒ = +
với
1 1 2 2
,x L x L
⊥ ⊥
∈ ∈
, thì
1 2 1 2
, , , , , 0y L K x y x x y x y x y∀ ∈ ∩ = + = + =
Suy ra,
( )x L K
⊥
∈ ∩
Vậy
( )
L K L K
⊥
⊥ ⊥
∩ = +
4. Vector trực giao – Hình chiếu – Khoảng cách – Góc giữa hai vector:
Cho
,x E∈
và
V E

, ,v v v
trong các trường hợp sau:
a) x = (2, -1, 3, -2) và
1 2 3 1 2 3
, , ; (1,0,1,0); (2,1,4,2); ( 3,4,5,8)V v v v v v v= = = = −
b)
(1, 3,4,5)x = −
và
1 2 3 1 2 3
, , ; ( 1,1, 1,1); ( 1,3,1,1); (1, 4,2,3)V v v v v v v= = − − = − =
Hướng dẫn:
Tìm cơ sở và cơ sở trực giao của V.
Đại số tuyến tính 2 39
Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 4 2 0 1 2 2 0 1 2 2
3 4 5 8 0 4 8 8 0 0 0 0
A
     
     
= → →
     
     
−
     
Rank A = 2.
Cơ sở của V gồm hai vector sau
1 2
(1,0,1,0); (0,1,2,2)u u= =
Trực giao hóa cơ sở này bằng phương pháp trực giao hóa Gram Schmidt ta được

 
b) Sinh viên làm tương tự như câu a)
1) Hãy tìm hình chiếu vuông góc và đường trực giao hạ từ vector x xuống L với
a)
4
(4, 1, 3, 4)x = − − ∈¡
và L là không gian con của
4
¡
sinh bởi các vector
1 2 3
(1,1,1,1); (1,2,2, 1); (1,0,0,3)
α α α
= = − =
b)
4
(5,2, 2,2)x = − ∈¡
và L là không gian con của
4
¡
sinh bởi các vector
1 2 3
(2,1,1, 1); (1,1,3,0); (1,2,8,1)
α α α
= − = =
c)
4
(2, 1,3, 2)x
= − − ∈
¡

3 2 2 0
2 2 9 0
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =


+ + + =


+ + − =

Hướng dẫn:
Các câu a, b, c, d sinh viên làm tương tự ví dụ.
Câu e) Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, rồi giải tương tự như các
câu trên.
2) Cho L là một không gian con của không gian vector Euclide n chiều E và vector
0
x E∈
. Ta gọi tập
0 0
{ | }P L x x x x L= + = + ∈
là một đa tạp tuyến tính của E. Ta gọi khoảng
cách từ một vector
E
α
∈
tới đa tạp P là số:
min{|| || }u u P



− + + =

Đại số tuyến tính 2 40
Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Hướng dẫn:
Giải hệ pt sau:
2 2 1 2 9 2 2 1 2 9
2 4 2 3 12 0 2 1 1 3
A
 −   − 
= →
   
− −
   
Hệ pt trên có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:
1 1
2 1 2
3 2
4 1
2 2 1 2 9 2 2 1 2 9
2 4 2 3 12 0 2 1 1 3
1
3
2
1
(3 )
2
A

x
−
 
=
 ÷
 
và
1 1 2 2 1 1 2
1 1 1
, , , | ,
2 2 2
L t t t t t t t
 − 
 
= + ∈
 
 ÷
 
 
¡
Và
(4,2, 5,1)
α
= −
Chọn cơ sở của L là:
1 2
1 1 1
, ,0,1 ; 0, ,1,0
2 2 2
e e

 
.
Khi đó,
0
7
1, , 5,1
2
x
α
 
− = −
 ÷
 
Tìm độ dài đường trực giao hạ từ vector
0
x
α
−
đến L với cơ sở trực giao u
1
, u
2
.
Sinh viên làm như bài tập nhỏ.
b)
(2,4, 4,2)
α
= −
và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:
1 2 3 4

và
2 2 2
P L x= +
bằng
độ dài đường trực giao hạ từ vector
1 2
x x−
xuống không gian con
1 2
L L L
= +
.
5) Hãy tìm khoảng cách giữa hai đa tạp sau:
1 1 1 2 2 1 1 2
{ | , }P x t a t a x t t= = + + ∈ ¡
và
2 3 3 4 4 2 3 4
{ | , }P x t a t a x t t= = + + ∈¡
Trong đó:
1 2 3 4 1 2
(1, 2,2,2); (2, 2,1,2); (2,0,2,1); (1, 2,0, 1); (4,5,3, 2); (1, 2,1, 3)a a a a x x= = − = = − − = = − −
Đại số tuyến tính 2 41
Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
4) Chứng minh rằng trong tất cả các vector thuộc không gian con L, hình chiếu vuông
góc v (xuống L) của vector u tạo với u một góc nhỏ nhất. Hơn nữa, nếu có
'v L∈
sao cho
cos(u, v) = cos(u, v’) thì v’=kv với k là số dương. Ta gọi góc nhỏ nhất này là góc giữa vector
u và không gian con L.
5) Tính cosin của góc giữa hai vector sau:

= −
b)
u = (1,0,3,0) và L sinh bởi
1 2 3
(5,3,4, 3); (1,1,4,5); (2, 1,1,2)
α α α
= − = = −
7) Cho u, v là hai vector khác 0 của không gian Euclide. Chứng minh rằng:
a)
u v
α
=
với
0
α
>
khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng 0.
b)
u v
α
=
với
0
α
<
khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng
π
.
Hướng dẫn:
Dựa vào công thức

là các vector thuộc không gian Euclide E. Chứng minh rằng ma trận
1
( , , )
m
G v v
là ma trận đối xứng.
Cho ví dụ minh họa.
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa định thức Gram.
Cho ví dụ minh họa.
4) Cho
ϕ
là một toán tử trực giao trong
3
¡
, với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là
2 2 1
1
2 1 2
3
1 2 2
A
−
 
 
= −
 
 
−
 

=
 
 
−
 
.
Tìm một cơ sở trực chuẩn của
3
¡
để ma trận của
ϕ
có dạng chéo.
Hướng dẫn:
Tìm đa thức đặc trưng của
ϕ
.
Tìm giá trị riêng – vector riêng của
ϕ
.
Trực chuẩn hóa các vector riêng.
Đại số tuyến tính 2 43