NGUYỄN DUY THUẬN
class="bi x0 y0 w0 h1"
TS. NGUYỄN
DUY
THUẬN
BÀI TẬP
ĐẠI SÔ TUYẾN TÍNH
(Sách dùng cho các trường Cao đẳng và
Đại
học)
DẠI
HỌC
THAI
NGUYÊN
TRUNG TÂMHỌC LIÊU
NHÀ XUẤT BẢN
ĐẠI
HỌC sư PHẠM
class="bi x0 y0 w0 h1"
Mục lục
Trang
Lòi
nói đầu 5
Kí
hiệu 7
Chương I. ĐỊNH THỨC 11
§1.
Phép thế li
§2.
Định
nghĩa

§2.
Không
gian
con -
Không
gian
thương 46
§3.
Sự
độc
lập tuyến tính - Sự phụ
thuộc
tuyến tính 52
§4.
Cơ sở của không
gian
vectơ 58
§5.
Số chiều của không
gian
vectơ 62
§6.
Toa độ của một vectơ 67
§7.
Hạng
của hệ vectơ -
Hạng
của ma trận 73
Chướng IM. ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 83
§1.

Hệ
phương trình tuyến tính
thuần
nhất
118
3
Chương
V.
MA
TRẬN
125
§1.
Ma
trận
của
một ánh xạ
tuyến
tính
125
§2.
Các phép toán trên các ma trận
130
§3.
Đại
số
cấc
ma trận vuông
cấp
n
Mat„(K)

hoa
ma trận
158
Chương VI. DẠNG SONG TUYÊN TÍNH - DẠNG TOÀN PHƯƠNG 165
§1.
Dạng
tuyến
tinh và
dạng
song
tuyến
tính
165
§2.
Dạng
toàn phương
172
§3.
Đưa
dạng
toàn phương về
dạng
chính
tắc 176
§4.
Không
gian
vectơ ơclit
178
§5.

những
môn học mới lạ với
khối
lượng
kiến
thức
đồ sộ và vói
những
phương pháp tính toán và tư duy hoàn toàn mới mẻ. Họ không
những
phải
làm
những
phép tính
cồng
kềnh, với
những
phường pháp tính toán đòi hỏi
nhiều kĩ
thuật
mà còn phải tập luyện một phương pháp tư duy
chặt
chẽ và
tinh tế, một phương pháp học tập, nghiên cứu một cách
khoa
học và sáng
tạo. Những cuốn sách bài tập tốt sẽ giúp đỡ họ rất nhiều để vượt qua
những
khó khăn
trong

dung
về Đại số
tuyến tính. Các bài tập rất đa
dạng,
bao gồm đủ các thế
loại:
có
những
bài
tập về rèn luyện kĩ năng tính toán và
cũng
có nhiều bài có tính lí thuyết
giúp học
sinh
rèn luyện khả năng vận
dụng
kiến
thức
và rèn luyện tư duy
sáng tạo.
Việc
sắp xếp thứ tự các bài tập
cũng
được cân
nhắc
một cách kĩ lưỡng:
từ dễ đến khó, từ
những
bài tập
củng

Đối
với các thầy cô giáo, cuốn sách này có thể là một tư
liệu
tốt giúp
các bạn
chuẩn
bị bài giảng. Các bạn có thể dùng nó để thiết kế
những
bài
tập lổn và
cũng
có
thể khai thác ỏ đây
những
đề tài luận văn tốt nghiệp.
Phần
"Lời
giải - Hướng dẫn - Trả lời" có đưa ra
những
huống
dẫn
bổ ích giúp bạn đọc tìm ra phương hướng
giải
quyết bài toán, đồng thòi
có nhiều phân tích giúp bạn đọc
trau
dồi được kinh nghiệm, biết cách
suy
nghĩ
để vận

Tác giả hi vọng rằng cuốn sách thực sự hữu ích đối vối một đối tượng
rộng lớn các bạn đọc.
Tuy đã có nhiều cố
gắng
trong
việc biên
soạn,
song
không sao tránh
được mọi sai sót. Rất
mong
nhận
được
những
lời chỉ bảo quý báu của bạn
đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn.
TÁC GIẢ
6
Các
kí
hiệu
x„
' Ì 2 n
ơ
=
,0*1)
ơ(2)
ơ(n)
s„
sgn(ơ)

+
a
2
+
+ a
n
Tổng các số a,, vối j thuộc tập chỉ số J
Tích
a,a
2
a
n
Tích các thừa soa,, vối j thuộc tập chỉ số J
Ma trận A có m dòng, n cột, với các
thành
phần
ở
dòng
thứ
i,
cột
thứ
j.
Ma trận vuông
cấp n
Tập
hợp các ma
trận vuông
cấp n
với

ị'
- í -ì,
Mi, ,,
Ki
hạng(A)
A
+
B
AB
ã
-ã
õ
A=
{ã,,
ă
2
, ,
ã J
hạng(A)
(E)
=
{ẽ
„ Ẽ
2
, , sj
dim
K
V
f:
V-> w

Hạng của ma trận
A
Tổng của hai ma trận
A
và B
Tích của hai ma trận
A
và B
Vectó, là một
phần
tử của không
gian
vectđ
Vectơ
đối
của ã
Vectơ không
Hệ
vectơ gồm các vectơ ã,, ă
2
ã
Hạng của hệ vectơ
A
Cơ sỏ (é) của không
gian
vectd
Số
chiều của
K
- không

giao
vói p
Không
gian
H
trực
giao
vài không
gian
G
Chuẩn
của ã
Hình chiếu của ã lên không
gian
w.
Môđun của số
phức
z
Số
phức
liên hợp của số
phức
z
Chứng
minh điều
kiện
cần
Chứng
minh điều
kiện

phần tử.
• Một phép thế
T
trên tập X
m
(n > 1),
được
gọi là một chuyển trí hai
phần tử
i,
j
thuộc
X
n
nếu
ĩ(i)
=
j,
ĩ(j) =
ivà ĩ(k) = k,
với
mọi k e x„ k
* ì,
k *ị.
Nó
còn được
kí hiệu
bởi (í,
j).
• Phép thể p trẽn tập x„ (n >

_,,
i
r
).
Mỗi
sối,,
i
2
, ,
i,-1,
i
r
được
gọi là một
phần
tử của vòng xích.
Hai vòng xích
được
gọi là độc lập nếu chúng không có
phần
tử
chung.
Ta quy ước gọi phép thế
đồng
nhất
là vòng xích Ì
phần
tử.
Một
chuyển

1.2.
Nghịch
thế
-
Phép thế
chẵn,
phép thế
lẻ
• Giả
sử a
là
một phép thế trên tập
X
n
.
Với
í,
j e x„ i *j, ta
nói cặp
(a(i),a(j))
là một nghịch thế của ơnếu
í <j
nhưng
a(i) > aỢ).
•
Ta
gọi phép
thế ơ là
một phép
thế

sgn(ơ).
Ì
nếu a
chẵn,
Như
vậy, theo
định nghĩa,
sgn(à) •
-Ì
nêu ơ lẻ
>
Mọi
phép
chuyển
trí
đều là
phép thểu.
>
sgn(ơụ)
=
sgn(ơ)sgn(ụ).
BÀI TẬP
Trong
các bài
tập
dưới
đây
ta
viết
gọn

2
>;
b) n(X
7
) = < 4, 7, 2, 6, 5, Ì,
3
>;
c) ơ(X
7
) = < 2, 5, Ì, 3, 7, 6,
4
>.
2.
Với
các phép thế X, ịi, ơ đã cho
trong
bài tập Ì, hãy biểu diễn các phép
thế
Xu,
Xa, a\, ơn, ịiX, \ụa
đuối
dạng
(1).
3. Hâỵ biểu diễn mỗi tích
những
vòng xích sau đây
dưới
dạng
(1):
a) (Ì, 4, 5)(2, 6, 8)(3, 7);

ả) aX = vĩ.
6 Mót phép thế có thể phân tích thành tích của
những
vòng xích độc
lập.
Chảng
hạn, phép thế
'Ì 2 3 4 5Ì
4 1 5 2 3;
(3, 5)(1, 4, 2).
13
Hãy
chứng
minh rằng mỗi phép thế trên tập x„ đều là tích của
nhũng
vòng xích độc lập.
7. Hãy phân tích các phép thế
trong
bài tập Ì thành tích của
những
vòng xích độc lập.
8.
Chứng
minh rằng mọi phép thế đều phân tích được thành tích của
những
chuyển
trí.
9. Tính số
nghịch
thế của các phép thế

diễn
bởi
những
vòng xích như sau:
a)MX
6
) = (l,3, 2, 6, 4, 5);
b) (1(X,) = (4, 7, 2, 1)(6, 5, 7, 3);
c) p(X
5
) = (5, 4, 3X2, 1);
d) ơ(X
8
) = (l,3, 5)(8, 6, 4, 2);
13.
Biết
rằng ơ(X„) = (i„i
2
, i„_„ i„),
|i(X
n
)
= (i„, i„_„
i
2
,
i,).
Hãy tính
sgn(n)
theo

cột
như sau
a
;i
a„ a
K
(1)
được
gọi là một ma trận kiểu (m, ri).
Mỗi số
(ly được
gọi là một thành phần của ma trận. Nó nằm ở dòng
thứ
i
và
cột
thứ j.
Ta
thuồng
kí hiệu ma trận bôi các chữ in hoa
A, B,
Có thê
viết
ma trận (1) một cách đơn giản bởi
A
=
(aij)(
m
.
n

thức
•
Với
ma trận vuông
a
n
a
i2
a
ij
a
in
A
=
a., a„ a
:
a
;
li
i2 ij "
ta gọi
tống
D
= X sgn(a)a
lơ(1)
a
2(
,
(2)
a

phần,
các
thành
phần
au,
ai2, ,
a
in
tạo
thành dòng thứ
i,
các thành
phần
a,j, a
2
j,a„j
tạo thành cột thứ
j
của định
thức.
Khi
ma trận
A
có cấp n ta
cũng
nói |A| là một định
thức
cấp n.
Tính chất
1.

a
a
-
a
r

•a'
m
+
a»
a*2-
•
a
i •
••
aL
a
n2
•
•
a„n
a
n.
a„2"
•
Ky
TínA
c/ỉấí
2.
ATếu

Tính chất
5. Nếu
định thức có
hai
dòng
mà
các thành phần (cùng
cột),
tương ứng
tỉ
lệ
thì
định thức ấy bằng 0.
Tính chất 6. Nếu nhân mỗi thành phần
ở dòng
thứ
i với
cùng một sốc
rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k
thì
được
một định thức mới.
bằng định thức đã cho.
Tính chất 7. Với
'A
là ma trận chuyển vị của ma trận
A
ta
có:
'A

a24a35a44a
5
2;
d)
a
14
a
22
a
3
3a
25
a
51
e) a
11
a
2
2334
a
45
a
53-
ĐẠIHỌCTHÁỈ
NGUYÊN
TRUNG
TẤM
HÓC
mu
17

c)
a,5a
2j
a
3k
a
41
a
52
;
d)
aijâ24a3
5
a
4Ị
a
5
i
t
.
17. Xác định
í, k
để
mỗi tích trong bài
tập 16
là
một hạng
tử
của
một

;
c)
ai
5
a
2j
a3
k
a
41
a
52
vối
dấu
-
;
d)
a
lj
a
2
4a
35
a
41
a
5k
với
dấu +,
18. Trong mỗi trường hợp

ì
I&23
a
35
19. Xác định
dấu
của hai
hạng
tử a
n
a
2
2
a„„
và
a
nl
a„.
trong định thức cấp
n.
20. Dùng định
nghĩa
của định thức để chứng minh:
1.2
•••
a
2,
n
-
l^ln

Áp
dụng bài tập 20 để tính các định thức sau:
3
1
5
-2 8
4
2
7
li
9
0 -
-4
6
0
li
0
3
7 8
0
Ũ
0
2
9
0
;
b)
0
0
-9

-2
7
3 -4
0
7 5
0
4
4 12
-2
0 0
;
d)
0
9 -
5
0
-7 5
0 0
0
15
1
0
0
2
0
0 0
0
4
0
0

a
51
a
52
0 0
b)
•M.n-l
"Lu
a.
0 0
n-t.
Ì
0-1,2
a
nil
0 0 0
a,5
a
25
0
0
0
23. Cho D là định
thức
của ma trận vuông A =
(a^,,.
Trong mỗi trường
hợp sau đây định
thức
thay

-
1}
(n là cấp của định thức).
26. Trong định thức cấp n viết dưối dạng (3), đường chéo có hai đầu mút
là a
n
và a„„ được gọi là đường chéo chính, đưòng chéo còn lại gọi là
đường chéo phụ.
a) Định
thức
thay
đổi như thế nào nếu ta
thay
mỗi thành phần của
định
thức
bởi thành phần
đối
xứng
với
nó qua đường chéo chính?
b) Định
thức
thay
đôi như thế nào nếu ta
thay
mỗi thành phần của
định
thức
bởi thành phần

+
a
2
a
2
+
b
2
a
2
\
C
2
20
28.
29.
30.
Biết
rằng 95, 380, 133,
171
chia hết cho 19. Chứng
minh
rằng:
12 48 80 -45
a)
120 49 131
150 19 -86
45 -7 75
9 0 5 0
0 3 8 0

a)
c)
3 0 7 9 6
1
9 12
5
4 -3 2
5
79
8
1
;
b)
8
1
15 37 30 -4
li
25
2
4 -10
-7
48
-10 4
26
7
4
8
-5
6 -3
-10

g g
§3.
KHAI
TRIỂN
ĐỊNH
THỨC
3.1.
Định
thức
con -
Phần
bù đại số
Cho
định
thức
D
cấp
n.
1)
Nếu chọn r dòng
Ì,, ,
í, và r cột//, ,
j„
(r
< rì),
thì
các
thành phần
nằm ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành một định thức kí hiệu bởi
M''

D là một
định
thức
con
cấp một của D. Đê đơn giản cách
viết,
định
thức
con bù và
phần
bù đại số
của ày
được
kí hiệu lần lượt bởi
Mij
và Áy.
Ví dụ: Cho
định
thức
8 3 5 -1
D
2 0-2
0 4 Ì
-6 Ì 0
22
Nếu
chọn dòng thứ ba, cột thứ hai thì a
32
=
4,

số của
8 5-1
2-2 9
-6 0 7
Nếu
chọn hai dòng: thứ
nhất
và thứ ba, hai cột: thứ hai và thứ ba thì:
3 5
Mí,
=
Mí
4 Ì
2 9
-6 7
:(_ !)!•>•«
là một định
thức
con cấp hai của D;
là định thức con bù của M " ;
2 9
-6 7
là
phần
bù đại số của M".
3.2. Khai
triển
định
thức
theo

i-1
Ta nói đó là cách khai triển định thức
theo
dòng thứ í.
• Cho định thức D cấp n
với các
thành phần
dịp
ta
có:
aiẠ
hl
+ + aiẠ
kj
+
+ a,„A
t
„
=
0
nếu k *i.
(viết
gọn
là: ^a^A^ = ớ, nếu k *i).
23