Nguyễn Vũ Minh Các chuyên ñề về Hàm Số

1

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@
VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
Cho hàm số
()
yfx
=
( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( C ) ta có 2 cách :
Cách 1
: dùng ý nghĩa hình học của ñạo hàm
Định lý : Đạo hàm của hàm số
()
yfx
=
tại ñiểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến
với ñồ thị tại ñiểm M
(;())
ooo
xyfx
= :
'()
o
kfx
=

Tiếp tuyến song song với ñường thẳng (d)
cho trước :
d
ykxb
=+

_Gọi
(;)()
oo
MxyC
∈
_Giải pt :
'()
odoo
fxkxy
=⇒⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng (d)
trước :
d
ykxb
=+

_Gọi
(;)()
oo
MxyC
∈
_Giải pt :

⇒⇒
PTTT
⇒Cách 2 : dùng ñk tiếp xúc :hai ñths
()
()
yfx
ygx
=


=

tiếp xúc với nhau
()()
'()'()
fxgx
fxgx
=

⇔

=
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )
Tiếp tuyến tại



_Giải hệ
C
⇒

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

2

Tiếp tuyến song song với đư
ờng thẳng (d) cho
trước :
yaxb
=+

_PTTT có dạng
(*)
yaxC
=+

_ĐKTX
()
'()
fxaxC
fxa
=+


=





=−



_Giải hệ
C
⇒Tiếp tuyến đi qua điểm
(;)()
AA
AxyC
∉ cho trước
_PTTT có dạng: ()
AA
ykxxy
=−+

_ĐK TX
()()
'()
AA
fxkxxy
fxk
=−+

kk
⇔=−
,song song
12
kk
⇔=

Với
12
,
kk
là hệ số góc
Bài tập có HD
Bài toán 1
: Cho hàm số (C)
2
2
43
2
−
+−
=
x
xx
y . M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:
()

baxyy
a
+
−
′
=







−
+−=
1
1
1
2 a
a
b
()
()
1
1
1
2
1
1
2

2
2
1
;1
1
a
Add
Tiệm cận xiên của (C) là (d
2
) :
()()






−−=∩⇒−=
2
3
;121
2
2
aaBdd
x
y
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

3


1
1
22
3
1
2
2
1
2
1
2
1

Vậy M là trung điểm của AB
Giao điểm của 2 tiệm cận là
IBIAIAB
xxyySI −−=⇒






−
2
1
2
1
;1


∈
: hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x
0
) = 963
0
2
0
−
+
xx
Ta có
(
)
121213
2
0
−≥−+= xk . Dấu “=” xảy ra khi x
0
= – 1
Vậy Min k = – 12
⇔
M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất

Bài toán 3
: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2


≠=
>−=∆
⇔
2
2
010
04
2
m
m
g
mg

Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0




==
−=+=
⇒
1
CB
CB
xxP


(
)
[
]
1469
2
−
=
+
+
+
⇔
mxxmxxxx
CBCBCB(
)
[
]
14691
2
−=+−+⇔ mmm

10
2
2
=
⇔

0
) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12132313
32
00
3
0
2
0
+
−
−
=
−
−
+
−
−
=


(
)



−=
=
⇔
0
0
2xx
xx
ùp
nghiệm ke

Gọi A(a; y
A
) , B(b; y
B
) , C(c; y
C
)

⇒
giao điểm A
1
, B
1
, C

−
+
−
−
=
cccC
* A, B, C thẳng hàng :

(
)
()
acac
abab
ac
ab
−−−
−−−
=
−
−
⇔
3
3
33
333
3
1

−
⇔
cbabc

(
)
b
c

≠
=
+
+
⇔
0cba
* A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng :

(
)
(
)
()
()
caca
ab
b
ac
c
+
=
+
⇔
22(
)
(
)
0
=
+
+
−
⇔
cbacb

(
)
b
c


1) ( C ) :
2
33
1
xx
y
x
++
=
−
với
()
o
MC
∈ có hoành ñộ
2
o
x
=

2) ( C ) :
3
1
yxx
=++
với
(2;9)()
o
MC
−−∈

,
3
o
xx
yM
x
−+
=
−
là giao ñiểm của ( C ) và Ox
6) ( C ) :
3
22,
o
yxxM
=−+ là giao ñiểm của ( C ) với ñt
2
y
=

7) ( C ) :
3
2,
yxx
=−
với
o
M
là giao ñiểm của ( C ) và Oy
8) ( C ) :

( C ),viết pttt với ñths :
1) Tại
()
o
MC
∈ có hoành ñộ
2
o
x
=−

2) Biết tiếp tuyến của ( C ) ñi qua ñiểm
(2;0)
A
Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :
1)
2
36
,
1
xx
y
x
++
=
+
biết tiếp tuyến vuông góc với ñt
1
3
yx

15
4
yx
=+

5)
3
2
231
3
x
yxx
=−+−
, biết tiếp tuyến ñó qua
(0;1)
K
−

6)
2
31
,
2
xx
y
x
−+
=
−
biết tiếp tuyến song song với ñt

():
4
dyx
=−
4) Vẽ từ
(1;5)
M
Bài 6 : cho ( C ) :
32
32
yxx
=−+

1) Lập pttt với ( C ) tại ñiểm có hòanh ñộ
3
o
x
=−

2) Lập pttt của ( C ) qua
i.
(2;2)
A
−
ii.
(0;3)
B
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên ñề về Hàm Số

6

352.
yxxx
=−+−+
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến ñó :
2) Song song với ñt :
230
xy
+−=
3) Vuông góc với ñt :
2920
xy
−+=

Bài 9 :
2
2
21
x
y
x
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :
1) Tại ñiểm có hoành ñộ
1
o
x
=

2) Song song với ñt

x
yxx
=−+
có ñồ thị là ( C ). Viết pttt với ( C ) tại ñiểm uốn. Chứng
minh tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 12 :
32
11
():
323
m
m
Cyxx
=−+
.Gọi M là ñiểm thuộc
()
m
C
có hoành ñộ bằng -1 .Tìm m ñể
tiếp tuyến của
()
m
C
tai ñiểm M song song với ñt
50
xy
−=

Bài 13 :
2

12
mm
=∨=−
)
Bài 15 : ( C ) :
2
1
1
xx
y
x
−+
=
−
và (P)
2
yxa
=+
.Định a ñể ( C ) tiếp xúc với (P)
Bài 16 : Định tham số m ñể ñồ thị
1)
2
33
yxx
=++
và
21
yxm
=+−
tiếp xúc

2(1)1
():,
m
xmxm
Cy
xm
+−++
=
−
CMR với mọi
1
m
≠−
thì ñths luôn tiếp xúc với 1
ñường thẳng cố ñịnh tại một ñiểm cố ñịnh
*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay ñồ thị sau :
1)
2
1
():
Cyx
=
và
2
2
():21
Cyxx
=−−

2)

Viết pttt với ( C ) biết :
1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy
2) Tại K có hồnh độ bằng -2
3) Tiếp tuyến song song với đt
42
yx
=+

4) Vng góc với đt
430
xy
+−=

*Bài 20 : Tìm trên đt
2
y
=
mà qua đó có đúng ba tiếp tuyến với ( C ) :
32
32
yxx
=−+−

Bài 21 : Tìm trên Ox những điểm mà qua đó có đúng một tiếp tuyến với ( C ) trong các trường
hợp sau :
1)
2
222
():
1

()()
fxgx
=
(*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C)
và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm.

Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau
tại M thì điểm
M
x
chính là nghiệm kép của pt (*)
, và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến
Bài tập có HD
Bài toán 1
: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x
3
– 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)

′
⇔ : (2) vô nghiệm
m = 0
0
=
∆
′
⇔ : (2) có nghiệm kép x = – 1
0 < m ≠ 9
0
>
∆
′
⇔ : (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
- Kết luận:
m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm
0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4)

Bài toán 2
: Cho hàm số y =
2
x 4x 1
()
x 2
fx
+ +
=
+

(
)
()()
()()()()
[]







>−+−−−−=−
>−−−+−=∆
≠
−
=
⇔
032221412
03214
2
44
01
mmmmaf
mmmm
ma





>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng
một nhánh của (C)
Bài toán 3
:Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y . Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc
đường thẳng (d’) y = –x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)
x
2
= (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
⇔

Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:








−
=+−=
+
=
+
=
⇒
4
13
4
1
2
m
mxy
mxx
x
II
BA
I

A và B đối xứng qua (d)




+−
−
2
2
1;
2
1
A








−−
2
2
1;
2
1
B
Bài toán 4
:Cho (P) y = x
2
– 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao

x
B
= 4
P = x
A
x
B
= – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(x
A
)f’(x
B
) = –1

⇔
(2 x
A
–2)(2 x
B
–2) = – 1

⇔
4P – 4S + 5 = 0
⇔
4(–3 –m) –16 + 5 = 0
⇔
m =
4
23
− (nhận vì m > –7)

)
2
= 100

⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (2 x
A
–2 x
B
)
2
= 100

⇔
(x
A
– x
B
)
2
= 20

⇔
S

:

()()
111
1
1
2 −≠++=
+
++ x:đk xa
x
x

(
)
11233
22
++++=++⇔ xxxaxx

(
)
(
)
(
)
(
)
*

02121
2

(
)
()
()()
()()
21
012121
021
01
01
001
<<⇔



≠=−+−−−
<−−
⇔





≠−
≠−
<
−
⇔ a
aaa
aa

c) (C) :
1
3
x
y
x
+
=
−
và (d) :
26
yx
=−

d) (C) :
32
21
yxxx
=−++
và (d) :
21
yx
=−

Bài 2 : định m để
a)
22
(2)(3)
yxxmxm
=−++−

3
-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đó tại 2
trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau.

Bài 4 :
a) cho hàm số
3
32
yxx
=−+
có đồ thị là (C), và đt (d) qua
(3;20)
A có hệ số góc là m. Tìm m để
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt.
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên ñề về Hàm Số

11

b) cho hàm số
2
1
1
xx
y
x
−−
=
+
(C), gọi (d) là ñường thẳng qua
(3;1)

ymx
=+
cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)
Bài 6 : cho hàm số
21
2
x
y
x
+
=
+
(C)
Tìm m ñể (C) cắt (d) :
yxm
=−+
tại 2 ñiểm phân biệt A và B. Tìm m ñể ñoạn AB ngắn nhất VẤN ĐỀ 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Lý Thuyết : xét bài toán sau ñây : vẽ ñồ thị (C) của hàm số
()
yfx
=
sau ñó biện luận theo tham số m
số nghiệm của phương trình :
(;)0
hxm
=

m
ϕ
−<<−

2 nghiệm khi
()1()5
mm
ϕϕ
=−∨=−

1 nghiệm khi
()1
()5
m
m
ϕ
ϕ
>−


<−

=(
)
xxxy
33
sin3sin4sin3
−
+
−
=
⇔

xxy
33
sin3sin
−
=
⇔

Đặt t = sinx ,
[
]
1;1
−
∈
t
Xét y = t
3

12
1;1
lxtMiny
t

Bài toán 2
: Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
b) Tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
1cos
1coscos2
2
+
++
=
x
xx
y
Giải: a)Đồ thò (C)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số


tt
A
với
[
]
1;0
=
D
Nhìn vào đồ thò hàm số (1) ở trên khi xét
[
]
1;0
∈
t ta thấy:

Π=⇔=⇔



−=
=
⇔




−=
=
⇔= kxx
x

y (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm
của:
(
)
(
)
0231
24
=
−
−
−
+
=
mtmttf
Giải: a)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

14

-6-5-4-3-2-1123
-6
-4
-2
2
x
y


+
−+
=
x
xx
y với
0
2
≥=
t
x

Nhìn vào đồ thò ta thấy khi
2
3
−≥m thì (d) cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ
không âm
Vậy khi
2
3
−=m có nghiệm x = t
2
= 0

⇒
(*) có nghiệm kép 0
21
=
=
tt

−
∈
x
Giải:a) Đồ thị (C)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

15

-3-2-1123456
-2
2
4
6
x
y

b) Xét phương trình
(
)
02
=
−
−
mxm với
[
]
2;1
−
∈
x

x
x
y
với
[
]
2;1
−
∈
x
-4-3-2-11234
-4
-2
2
4
x
y Nhìn vào đồ thò ta thấy

(
)
0;
∞
−
∈
m : (*) có 2 nghiệm

{

b) Biện luận số nghiệm của phương trình
(
)
(
)
0111
2
=+−−− xxxm
Giải: a) Đồ thò (C)
-3-2-1123456
-2
2
4
6
x
y
y=-3x+1 b)
(
)
(
)
0111
2
=+−−− xxxm (*)
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có
()
1

01
2
mm
m




=−+
≠
⇔
032
1
2
mm
m

()



=
−
=
⇔
loại1
3
m
m


trình
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

17

(*)có 2 nghiệm đơn

(
]
1;3
−
∈
m :
(
)
(
)
Φ
=
∩
Cd phương trình vô nghiệm

Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình
0212164
2
=−−+− mxxx
Giải:
(
]
[

6
x
y
2
1
2
−=
x
y
2
3
2
−=
x
y * Dựa vào đồ thò ta có







−∞−∈
2
3
;m : phương trình đã cho vô nghiệm


2424
2
2
m
m
x
x
−=−
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

18

Giải: a) Đồ thò (C) :
42
23 xxy −+=
-2-1.5-1-0.50.511.52
1
2
3
4
x
y
y=4
y=3b)
2424
2
2

4
±
=
⇔
=
m
t
: (*) có 2 nghiệm kép
1
±
=
x2
0
3
±==⇔=
m
m
t

V

: (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x = 0
và 2 nghiệm đơn
2
±=
x


m
m
t : (*) có 2 nghiệm đơn
Bài 1 : a) khảo sát và vẽ (C) :
32
31
yxx
=−−

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
32
31
xxm
−−=
(*)
Bài 2 : a) khảo sát và vẽ (C) :
32
125
yxx
=−+

b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
32
1253
xxm
−+=+
(*)
Bài 3 : a) khảo sát và vẽ (C) :
1
1

Bài 5 : cho hàm số
32
39
yxxxm
=+−+

()
m
C

a) khảo sát và vẽ (C) khi
6
m
=

b) với giá trị nào của m thì phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
32
390
xxxm
+−+=
(ñS :
275
m
−<<
) VẤN ĐỀ 4 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết :
AA


Dạng 1: từ (C) suy ra
1
():()
Cyfx
=

Ta có
()()
fxfx
=
nếu
()0
fx
≥
(1)

()()
fxfx
=−
nếu
()0
fx
<
(2)
Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm trên Ox (do (1))
 Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
 Lấy ñối xứng qua Ox phần ñồ thị (C) nằm phía dưới Ox (do (2)) ta sẽ có
1

=

Ta có
()()
fxfx
=
nếu
0
x
≥
(1)

()()
fxfx
=−
nếu
0
x
<
(2)
Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy (do (1))
 Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)
 Lấy ñối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có
2
()
C

Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox (do (1))
 Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
 Lấy ñối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có
3
()
C3
32
yxx
=−+

3
32
yxx
=−+

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

21Dạng 4: từ (C) suy ra
4
()
():
()
Px

Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng
5
()
():
()
Px
Cy
Qx
=
Bài tập có HD
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
()
1
:
2
−
=
x
x
yC
3
32
yxx

+
=
−

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

22

b) Suy ra đồ thò
()
1
:
2
1
−
=
x
x
yC
Giải: Đồ thò (C)
-4-3-2-112345
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6

2
2
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
2
)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

23

-4-3-2-11234
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x+1
x=-1

Bài toán 3
: (Phép suy thứ ba)
Vẽ đồ thò
()

:
2
4
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
4
)
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

24

-4-3-2-11234
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
x=-1

Bài toán 5
: (Phép suy thứ năm)
Vẽ đồ thò

3
yxx
=−+

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau :
3
1
():3
Cyxx
=−+ ;
3
2
():3
Cyxx
=−+ ;
3
3
():3
Cyxx
=−+

c) biện luận theo m số nghiệm pt sau :
3
31
xxm
−+=−
(*)
Bài 2 :
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên ñề về Hàm Số


x
+
=
−
;
3
1
():
2
x
Cy
x
+
=
−

4
1
():
2
x
Cy
x
+
=
−
;
5
1
():

−+
=
−
;
2
2
33
():
2
xx
Cy
x
−+
=
−
;
2
3
33
():
2
xx
Cy
x
−+
=
−

2
4

x
yy
y
+

=



+

=



2) Khoảng cách giữa 2 ñiểm A,B là
22
()()
BABA
ABxxyy
=−+−
3) Khoảng cách từ ñiểm
(;)
MM
Mxy
ñếm ñường thẳng (D):
0
AxByC
++=
:



5) Tọa ñộ nguyên : chia hàm số ra , sau ñó cho mẫu là các số mà tử chia hết
6) Bất ñăng thức Cachy :
2.
abab
+≥ ,dấu “ = “ xảy ra
ab
⇔=