1
Ví dụ
Định nghĩa
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi
0
x x

0
lim ( ) 0.
x x
f x


là một vô cùng bé khi , vì
0
x

3
( ) 3sin2
f x x x
 


3
0
lim 3sin2 0.
x
x x

 

2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCB cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.
1

k
( ) ( )
f x g x

Định nghĩa
4
2 4 2 3
( ) tan ; ( ) sin 2

   
f x x x g x x x
Vì .
2 4
2 3
0 0
( ) tan
lim lim 1.
( )
sin 2
 

 

x x
f x x x

0

x
5
2 2 2
( ) sin 2 ; ( ) tan 3

  
f x x x g x x
Vì .
2 2
2
0 0
( ) sin 2 1
lim lim .
( ) 3
tan 3
 

 
x x
f x x x
g x
x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi .
0

x
1 2

x
6
1) sin

x x

Các vô cùng bé thường gặp khi
0
x

2) -1

x
e x

2
3) 1-cos
2

x
x 
4) ln(1 )

x x
 
5) (1 )
-1
x x



7
Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
0
lim
Tổng hữu hạn các VCB
Tổng hữu hạn các VCB
x x
0
lim
VCB bậc của tử
VCB bậ
thấp nhất
thấp nhấ
c của m ãu
t
a


x x
8
Ví dụ.
Tính giới hạn
2 3
0
ln(1 tan )
lim
sin




x
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
0
ln(cos )
lim
ln(1 )



x
x
I
x
2
0
ln(1 cos 1)
lim
ln(1 )

 


x
x
I
x
2
0

0
cos
lim
sin



x
x
e x
I
x
2
2
1
 
x
e x
2
1 cos
2
 
x
x
2
2
0
1 1 cos
lim
sin




x x
x
e e
I
x
sin5 sin
0
1 1
lim
ln(1 2 )

  


x x
x
e e
I
x
0
sin5 sin
lim
2
x
x x
x


x
1
1 1

  
x
e x
ln ln(1 1) -1
  

x x x
1
sin( 1)
lim
1


 

x
x
I
x
1
1
lim 1.
1


 

0
sinh3 sinh
lim
x
x x
x



0
3
lim 2.
x
x x
x


 
11
Ví dụ.
Tính giới hạn


3 4
0
1 (cos 1)
lim
sin 2
x
x

3
0
( /2) 1
lim
2
x
x x
x


  
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
1/
2
cos(1/ )
lim
arctan
x
x
e x
I x
x


 
2 2
2
1/ 1/(2 )

x
x
x
x
SAI
3
0
tan sin
2) lim


x
x x
x
3
0
sin
lim



x
x
x
x
SAI
3
0
tan sin2
3) lim

lim
x
x x
x



ĐÚNG
3
0
tan sin
5) lim
sin
x
x x
x


0
3
tan sin
lim



x
x
x
x
ĐÚNG

Cho f(x) là vô cùng bé khi .
0
x x

 
0
0
( )
lim höõu haïn,
.
0




p
x x
f x
x x
Định nghĩa
Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi , nếu
0

x x
2 3
( ) sin 1 cos2
   
f x x x x
là một VCB khi , và bậc của f(x) là 2.
0

 
x
f x
3 4
4) ( ) 3sin
 
f x x x
3
5) ( ) cos
 
x
f x e x
bậc 2/3.
bậc 1.
bậc 1/2.
bậc 3.
bậc 2.
16
Ví dụ
1) ( ) cos cos2
 
f x x x


2
2) ( ) ln cos

f x x
3) ( ) 3
 

 
13/4; 2
 
 
17
Ví dụ
Định nghĩa (vô cùng lớn)
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi
0
x x

0
lim ( ) .

 
x x
f x
là một vô cùng lớn khi , vì
 
x
2
( ) 2 3cos
 
f x x x
2
lim 2 3cos .

  
x


f x g x
Định nghĩa
19
Qui tắc ngắt bỏ VCL
0
lim
Tổng hữu hạn các VCL
Tổng hữu hạn các VCL
x x
0
lim
VCL bậc của tử
VCL bậ
cao nhất
cao nhất
c của mẫu
x x

20
Ví dụ
Tử là tổng của ba VCL:
2
2
4 2 3
lim
4

  


x
21
I) Tìm các giới hạn sau.
Bài tập
2
2
2
4
1) lim
2


 
x
x
x x
5
0
32 2
2) lim

 
x
x
x
2
0
cos3 cos7
3) lim



e
22
 
2
1/
0
6) lim cos

x
x
x


1/(1 cos )
0
7) lim cosh


x
x
x
2
2
2
2 3
8) lim
2 1

 

x
e
x
1/2

e
e
2
e
4(ln2 1)

2
e
23
2
2
14
11) lim
2

 
 
x
x x
x x
2
2
14
12) lim
2

15) lim
ln(1 3 sin )

 
  
x
x
x x x
x x xe
1
7

1
1

2
24
5 3
2 3
0
1 10 1 3
16) lim
arcsin(3 ) sinh(2 )

  
  
x
x x
x x x x
17) lim ln 1 ln

x
x x
x
0
tan2 3arcsin4
20) lim
sin5 6arctan7



x
x x
x x
1
2
1
3
1/4
10/37