TU YỂ

N

TẬ

P

Đ Ề

THI V À

O L

Ớ P

10

C

Á C

T R

Ư

ỜN G CH

U Y Ê

N -

THÀNH PHỐ/
THỊ XÃ
1
Trường Trung học phổ thông Chuyên Đại học Sư phạm Hà
Nội
Hà Nội Cầu Giấy
2
Trường Trung học phổ thông chuyên Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội
Hà Nội Thanh Xuân
3
Trường Trung học phổ thông chuyên ngoại ngữ, Đại học
Quốc gia Hà Nội
Hà Nội Cầu Giấy
4 Trường Trung học phổ thông chuyên Hà Nội - Amsterdam Hà Nội Cầu Giấy
5 Trường Trung học phổ thông Chu Văn An, Hà Nội Hà Nội Tây Hồ
6 Trường Trung học phổ thông Sơn Tây Hà Nội Sơn Tây
7 Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội Hà Đông
8
Trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành
phố Hồ Chí Minh
Thành phố
Hồ Chí Minh
Quận 10
9
Trường Trung học thực hành, Đại học Sư Phạm Thành phố
Hồ Chí Minh
Thành phố
Hồ Chí Minh
Quận 5

Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Tất Thành,
Yên Bái
Yên Bái Yên Bái
20 Trường Trung học phổ thông chuyên Thái Bình Thái Bình TP Thái Bình
21
Trường Trung học phổ thông chuyên Lương Văn Tụy,
Ninh Bình
Ninh Bình Ninh Bình
22 Trường Trung học phổ thông chuyên Vĩnh Phúc Vĩnh Phúc Vĩnh Yên
Thư Viện Vp (sưu tầm)
(Sưu tầm).
TU YỂ

N

TẬ

P

Đ Ề

THI V À

O L

Ớ P

10

C


-
2014.
23 Trường Trung học phổ thông chuyên Bắc Giang Bắc Giang TP Bắc Giang
24
Trường Trung học phổ thông chuyên Bắc Kạn Bắc Kạn Bắc Kạn
25
Trường Trung học phổ thông chuyên Bắc Ninh Bắc Ninh Bắc Ninh
26
Trường Trung học phổ thông chuyên Cao Bằng Cao Bằng Cao Bằng
27
Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương TP Hải Dương
28 Trường Trung học phổ thông chuyên Lào Cai Lào Cai
Lào Cai
(thành phố)
29 Trường Trung học phổ thông chuyên Hoàng Văn Thụ Hòa Bình
Hòa Bình
(thành phố)
30 Trường Trung học phổ thông chuyên Tuyên Quang Tuyên Quang
Tuyên Quang
(thành phố)
31 Trường Trung học phổ thông chuyên Hà Giang Hà Giang
Hà Giang
(thành phố)
32 Trường Trung học phổ thông chuyên Chu Văn An Lạng Sơn
Lạng Sơn
(thành phố)
33 Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Điện Biên Phủ
34 Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Quý Đôn Lai Châu
Lai Châu

Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Quý Đôn, Quảng
Trị
Quảng Trị Đông Hà
48 Quốc Học Huế Thừa Thiên-Huế Huế
49
Trường Trung học phổ thông chuyên Bắc Quảng Nam Quảng Nam Hội An
50
Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam Tam Kỳ
TU YỂ

N

TẬ

P

Đ Ề

THI V À

O L

Ớ P

10

C

Á C


Thư Viện Vp (sưu tầm)
(Sưu tầm).
51 Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi
Quảng Ngãi
(thành phố)
52
Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Quý Đôn, Bình
Định
Bình Định Quy Nhơn
53 Trường Trung học phổ thông chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên Tuy Hòa
54
Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Quý Đôn, Khánh
Hòa
Khánh Hòa Nha Trang
55
Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Quý Đôn, Ninh
Thuận
Ninh Thuận
Phan Rang -
Tháp Chàm
56
Trường Trung học phổ thông chuyên Trần Hưng Đạo, Bình
Thuận
Bình Thuận Phan Thiết
57 Trường Trung học phổ thông chuyên Thăng Long - Đà Lạt Lâm Đồng TP. Đà Lạt
Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk Đắk Lắk Buôn Ma Thuột
58
Trường Trung học phổ thông chuyên Hùng Vương Gia Lai Pleiku
59
60

70
71 Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Vĩnh Long Vĩnh Long
72 Trường Trung học phổ thông chuyên Trà Vinh Trà Vinh
Trà Vinh
(thành phố)
73 Trường Trung học phổ thông chuyên Hoàng Lệ Kha Tây Ninh
Tây Ninh
(thị xã)
74
Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Thị Minh
Khai
Sóc Trăng
Sóc Trăng
(thành phố)
75 Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Quang Diêu Đồng Tháp
Cao Lãnh
(thành phố)
76 Trường Trung học phổ thông chuyên Nguyễn Đình Chiểu Đồng Tháp Sa Đéc (thị xã)
77
Trường Trung học phổ thông chuyên Long An Long An Tân An


1
2
Thư Viện Vp (sưu tầm)
(Sưu tầm).
TU YỂ

N


N G

K

H I

Ế

U , N Ă M

H

Ọ C

2 0 13

-
2014.
ĐỀ SỐ 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
VÒNG 1
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút.
Không kể thời gian giao đề
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức:



−
a
3a
2
+ 3b ab a a − b
a
với a > 0, b > 0, a ≠ b. Chứng minh giá trị của biểu thức Q không phụ thuộc vào a và b.
2. Các số thức a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0.
Chứng minh đẳng thức:
(
a
2

+ b
2
+ c
2
)
2

=
2
(
a
4

+ b
4
+ c

; y
2
)
là các giao điểm của (d) và (P).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = y
2
+ y
2
.
Câu 3: (1,5 điểm)
Giả sử a, b, c là các số thực, a ≠ b sao cho hai phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0, x
2
+ bx + 1 = 0
có nghiệm chung và hai phương trình x
2
+ x + a = 0, x
2
+ cx + b = 0 có nghiệm chung.
Tính: a + b + c.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA
1
,
BB
1
, C C
1
của tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường thẳng A

x + 2013
=
y + 2011
+
z + 2011
+
z + 2012
+
x + 2012
+
x +
2013
y +
2013
Chứng minh: x = y = z.
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Thư Viện Vp (sưu tầm)
(Sưu tầm).
TU YỂ

N

TẬ

P

Đ Ề

THI V À


U , N Ă M

H

Ọ C

2 0 13

-
2014.

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
VÒNG 2
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Không kể thời gian giao đề
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức:
i) (a + b)(b + c)(c + a) = abc
ii) (a
3
+ b
3
)(b
3




6x
2
−19xy +15y
2
=
1
Câu 3: (1,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu S
n
là tổng của n số nguyên tố đầu tiên.
S
1
= 2, S
2
= 2 + 3, S
3
= 2 + 3 + 5, )
Chứng minh rằng trong dãy số S
1
, S
2
, S
3
, không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính
phương.
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O), BD là đường phân giác của góc ABC.

+ a
2
+ + a
11
= 407
Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép chia n cho 22 số
a
1
, a
2
, , a
11
, 4a
1
, 4a
2
, , 4a
11
bằng 2012.
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!





ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (vòng 2)
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI

)(c
2
- ca + a
2
) = a
3
b
3
c
3
.

abc
=

0
⇔


(
a
2

− ab + b
2
)(
b
2

− bc + c

2
− bc + c
2
≥ bc

c
2
− ca + a
2
≥ ca
Suy ra: (a
2
- ab + b
2
)(b
2
- bc + c
2
)(c
2
- ca + a
2
) ≥ a
2
b
2
c
2
, kết hợp với (1) suy ra: a = b = c.
Do đó: 8a

)

+

2014
(
a
+

b
)
b
a
=
2013
+
2013a
+
2014
+ 2014 ≥
2013
+
2
2013a
.
2014b
+
2014
=


x
3
= x +
4tx



6x
2
−19tx
2
+15t
2
x
2
=

1

x
2
(
1−
2t
3
)

=
1+
4t

)

= 0
⇔
2t −1 = 0
⇔

t
=

1
(
Do t
∈
Q
)
.
2
1+
4t
1−
2t
3
=
1
15t
2
−19t +
6
⇔

= l
2
; k, l ∈N
*
.
Vì S
2
= 5, S
3
= 10, S
4
= 17
⇒
m > 4.
Ta có: p
m
= S
m
- S
m-1
= (l - k)(l + k).
Vì p
m
là số nguyên tố và k + l > 1 nên

l
−
k
=
1

≤

(
1
+

3

+

5

+
7
+
+
p
m
)

+
2
−
1
−

9




p
m
−
1




p
+
1


−
8 =
m
−
8
<


p
m
+
1



G
B
Do E là điểm chính giữa của cung AC nên EM ⊥ AC.
Suy ra: EM đi qua tâm của đường tròn (O).
Dọi G là giao điểm của DF với (O).
Do D

FE = 90
0
. Suy ra: GE là đường kính của (O).
O
Suy ra: G, M, E thẳng hàng.
Suy ra:
G

BE = 90
0
,
mà
G

MD
= 90
0
. Suy ra tứ giác
A
D M
C
BDMG là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính GD.
⇒

1
)
R
⇒
DM = R
−
DA =
(
2
−
3

)
R

⇒
DE

=
ME
2
+ MD
2
= 2 2 −
3R
Vậy bán kính đường tròn (O
1
) bằng 2 −
3R .
Câu 5:

Tổng các số dư trong phép chia n cho các số 4a
1
, 4a
2
, , 4a
11
không vượt quá 4.407 - 11 = 1617.
Suy ra: Tổng các số dư trong phép chia n cho các số a
1
, a
2
, , a
11
, 4a
1
, 4a
2
, , 4a
11
không thể vượt
quá 396 + 1617 = 2013.
Kết hợp với giả thiết tổng các số dư bằng 2012.
Suy ra khi chia n cho 22 số trên thì có 21 phép chia có số dư lớn nhất và một phép chia có số dư nhỏ
hơn số chia 2 đơn vị.
Suy ra: Tồn tại k sao cho a
k
, 4a
k
thỏa mãn điều kiện trên.
Khi đó một trong hai số n + 1; n + 2 chia hết cho a

2
−
x =
3
.

x y 2



1
+
3


x +
1


= xy +
1


42

y

xy

 

c =

3

+
a b +
b c +
c a


)(
a
+

b
)
2. Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho
101?
abc
=

(
10d

+

e
)
chia hết cho
Câu 3: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Đường phân giác
của
B

AC cắt (O) tại
D ≠ A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua O. Giả dụ (ABM)
cắt AC tại F. Chứng minh rằng:
1) ∆BDM
∽
∆BCF.
2) EF ⊥ AC.

4
2. Đặt: t = x +
1
; v = y +
1
⇒
tu =


x +
1




y +
1


=
xy

=
1
+
2
, ta có hệ phương trình:
y
x



2t
+
2u
=
9

⇒



2u
=
9
−

2t


−
2t
(
9
−

2t
)

+
6t


(
2t
−

3
)
=
0

2u
=
9
−

2t
⇒


2t = 3

u
=
3


t
=

3

=

2x


y

=

2x
⇒


⇒


2
1
⇒



2
⇒ ⇒
2x
2
−
3x
+1
= 0

−
3x
+1
= 0



[

x

x
=
1

x =
1
⇒

hoặc

2
.

y = 2


y

=

c + c
2
b + c
2
a + a
2
c = 6abc.
1
⇔
a
−

a b
+
b −

)
b + c
(
b
+

c
)(
c
+
a
)
c + a
(
c
+
a
)(
a
+

b
)
4
⇔a

b

bc + ba
−
bc +
c a + c b
−
c a
=

3
(
a
+

b
)(
b
+

c
) (
b
+

c

(
a
+

b
)(
b
+

c
)(
c
+
a
)
4
⇔

6 a bc
=

3 8abc
4
Luôn luôn đúng. Suy ra: Điều phải chứng minh.
2. Ta có:
abc
−

(
10d

e101
⇔

abcde101.
Vậy số các số phải tìm chính là số các số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101.
10000 + 100 = 101 x 100
⇒
10100 là số các số tự nhiên có 5 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 101.
99999 – 9 = 101 x 990
⇒
99990 là số các số tự nhiên có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101.
Vậy số các số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101 là
99990
−
10100
+1 = 891 số.
101
Câu 3:
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1. Tứ giác AFMB nội tiếp
⇒

B

MD
= B

ED mà ABDC nội tiếp
⇒
D

=
C

1
⇒
∆BDM
∽

∆BCF
(g.g).
Suy ra: Điều phải chứng minh.
A
2. Do
⇒
A

=

A

(gt) 1
=

2
⇒

B D
=

D A
.
BC CF 2BH CF BH CF
1
Mà


⇒
D
1
=

C
2
(chứng minh trên)
D
⇒
∆BDA
∽
∆HCF (c.g.c)

+ z
3
≥ 3xyz. (*)
Tự chứng minh 3 số hoặc phân tích thành nhân tử, các trường THPT chuyên tại TP HCM khôn cho HS
dùng Côsi. Vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử a = b = c = kd thì P đặt GTNN.
Khi đó, áp dụng (*), ta có:

1


k
2

(
a
3

+ b
3
+ c
3
)

≥
3ab
c
k
2
3 3



b +

c ≥

3 bdc

k
3
k
3
k
2

3 3

d
3

+

c

+ b
3
+ c
3
)

≥
3
(
abc
+
bcd
+
cda
+
dab
)


k
3
k
2

k
2
 
⇒
9d

2


Vậy ta tìm k thỏa mãn
⇒
3


2
+
1


= 4
⇒
4k
3
−
3k
−
6 = 0 .

k
3
k
2

2
2
3

3
+1 = 0
⇔
x
=
3
6
±
35 .
2

a

2

a

2

a

    

Lưu ý:
(
6
−
35

)(

.
k
2
(
)
2
HẾT
3
6 − 35 +
3
6 +
35
x
y


ĐỀ SỐ 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN - ĐHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán (vòng 2)
Ngày thi: 09/06/2013
Thời gian làm bài: 150 phút.
Không kể thời gian giao đề
Câu 1: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình:

x
3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =


1
+
1



1+
x
2
y
2
.
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi P là điểm nằm trên
đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC (P khác B, C và H) và nằm trong tam giác ABC. PB cắt
(O) tại M khác B, PC cắt (O) tại N khác C. BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F. Đường tròn
ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A.
Chứng minh rằng ba điểm M, N, Q thẳng hàng.
Giả sử AP là phân giác góc MAN. Chứng minh rằng khi đó PQ đi qua trung điểm của BC.
Câu 5: (1,0 điểm)
Giả sử dãy số thực có thứ tự x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
192
thỏa mãn các điều kiện

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (vòng 2)
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN KHTN - ĐHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2013 - 2014
Cộng hai phương trình (1) và (2) theo vế, ta có: x
3
+ y
3
+ txy + y - x = 1 + y - x + xy + 7
⇒
x
3
+ y
3
+ 6xy - 8 = 0
⇒
(x + y)
3
- 3xy(x + y) + 6xy - 2
3
= 0
⇒
(x + y - 2)[(x + y)
2
+ 2(x + y) + 4] - 3xy(x + y - 2) = 0
⇒
(x + y - 2)[x
2
- xy + y
2
+ 2(x + y) + 4] = 0

x =
⇒
y
=
 7 7
Thử lại, hệ phương trình nhận nghiệm (x; y) là (1; 1),


5
;
9


.
 
Nếu x
2
- xy + y
2
+ 2(x + y) + 4 = 0
⇒
4x
2
- 4xy + 4y
2
+ 8(x + y) + 16 = 0
⇒
(x + y)
2
+ 8(x + y) + 16 + 3(x - y)

x +1−
x +1 +
1−
x
2
−
1−
x
−
2 x +1 + 2 = 0
⇔
x +1
(
x +1
−
1
)
+
1−
x
(
x +1
−
1
)
−
2
(
x +1
−

1
+
1−
x
−
2 = 0

x
+
1
=
1
⇔


x +1+ 2 x +1.
1−
x
+1−
x = 4

x
=
0
⇔

[

1
−

2
⇔
3(2x
2
+ 3y
2
- 6804) = x
2
+ y
2
(2)
1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2 2
2
3
3
3
3
x
3
3
x
x
y
3 3



x3

=

9y
2

 1


1
Thay vào (2), ta có:
3
(
2.9x
2

+
3.9y
2
−

6804
)

= 9x
2
+
9y
2
⇒
3


x
2

=
9x
2
⇒
x
2
+ y
2
3

⇒


1
⇒



1 2
⇒



1
2
1 1

2
+ 9y
2
⇒
3
(
2x
2

+
3y
2
−

84
)

=
x
2
+

y
2
(4)

x

3



2 3
1 1
y
3
y
=
3y
y
2
=
9y
2
 2  2 3

 2 3
Thay vào (4), ta có:
(
2 2
)
2 2 2 2 2 2 2
2
3 2.9x
3
+ 3.9y
3
−

84
= 6x

y
2
=
0

y
3
=

0
⇒
8y
2
≤ 28
⇒
y
2
≤
3,

5

⇒


3
⇒

y
=

5x
2
+
8 = 28
⇒
x
2
=
4

⇒

x
3


3
=
2
= −2
Với y
3
= -1 thay vào (5)
⇒
5x
2
+
8 = 28
⇒
x


1 2 3

y
= 3y
1
= 9y
2
=
27y
3
nên (x; y) ∈ {(54; 27), (54; -27), (-54; 27); (-54; -27)}.
Thử lại phương trình đã cho nhận các nghiệm (x; y) ∈ {(54; 27), (54; -27), (-54; 27); (-54; -27)}.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1
≥ x + y ≥ 2 xy
⇒

1
≥
4xy

≥
1
≥
4
xy
Và ta cũng có: P =



.
1
+
1
+ xy ≥
15

.4 +
2
1
.xy
=

15
+

2
=

17
xy 16 xy 16xy 16 16xy 16 4
4
⇒
P
≥

2.
17
=
2

Tứ giác EPFQ là hình bình hành. Suy
ra: Ta lại có:
M

QE
=
M

AE
=
M

AC
=
M

BC
=
P

BC
E

QF = E

OF = B

PC .
80
0


QF + F

QN = P

BC + B

PC + P

CB
=

1
Suy ra: M, Q, N thẳng hàng.
Chứng minh PQ qua trung điểm của BC.
Ke đường cao CI, BJ của tam giác ABC. EF
cắt PQ tại G.
Do tứ giác AMEQ, ANFQ nội tiếp và QEPH
là hình bình hành nên ta có:
Q

AM
= Q

EP = Q

FP =
Q

AN


AJ
=

180
0
⇒
F

PE + I

AJ
=
180
0
⇒
F

PE + F

AE
=

180
0
Suy ra: FPEA nội tiếp.
⇒F


MN
=
B

CN
⇒
EF /
/BC
Mà FG = GE
⇒
BK = KC
⇒
PQ là trung điểm của K của BC.
Câu 4:


a
1
+
a
2
+
a
3
+
+

n
−
a
1
≥ .
n
[


1 2 3 n
Từ điều kiện trên, ta suy ra: Có k ∈ N sao cho a
1
≤ a
2
≤ ≤ a
k
≤ 0 ≤ a
k
+
1
≤ ≤
a
n

a +
a
+ +


+

a
n
)
=

0
⇒



1 2 k
2



−

(
a
1
+
a
2
+

1
+ + a
n
=
a ≤ a
≤
≤ a
⇒
a ≤
−
1
; a
≤
≤ a
⇒
a ≥
1
1 2 k 1
2k
k
+1 n n
2k
a
−
a ≥
1
+

2


x
1
+

x
2
+ +
x
192
=
0
Từ (I) suy ra:


20132013 2013



x
1
+
x
2
+ +
x
192
=