Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
1(Thời gian làm bài: 150 phút.)

Bài 1. (4 điểm)
a) Chứng minh rằng 7
6
+ 7
5
7
4
chia hết cho 55
b) Tính A = 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ . . . + 5
49
+ 5
5 0Bài 2. (4 điểm)
a) Tìm các số a, b, c biết rằng :
a b c

2
-
1
4

Tính f(x) + g(x) và f(x) g(x).
b) Tính giá trị của đa thức sau:
A = x
2
+ x
4
+ x
6
+ x
8
+ + x
100
tại x = -1.

Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A bằng 90
0
, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho
BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
a) So sánh các độ dài DA và DE.
b) Tính số đo góc BED.

Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC, ng trung tuyến AD. Kẻ đng trung tuyến BE
cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
a) IK// DE, IK = DE.
b) AG =

 
   Câu 2. (4 điểm)Cho
a c
c b

chứngminhrằng:
a)
2 2
2 2
a c a
b c b



;
b)
2 2
2 2
b a b a
a c a
 

Câu 3.(4 điểm) Tìm
x



,
biết:
2 2
25 y 8(x 2009)
  


Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. §Ò số 2

Tuyển tập các đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 7
3


(Thêi gian lµm bµi: 150 phót.)
Câu 1. (4điểm)
a)Thựchiệnphéptính:

 
 
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3

x 1 x 11
x 7 x 7 0
 
   

Câu 3. (4điểm)
a) SốAđượcchiathành3sốtỉlệtheo
2 3 1
: :
5 4 6
.Biếtrằngtổngcácbìnhphươngcủa
basốđóbằng24309.TìmsốA.
b) Cho
a c
c b

.Chứngminhrằng:
2 2
2 2
a c a
b c b




Câu 4. (4điểm) ChotamgiácABC,MlàtrungđiểmcủaBC.Trêntiađốicủacủatia
MAlấyđiểmEsaochoME=MA.Chứngminhrằng:
a)AC=EBvà AC//BE
b)GọiIlàmộtđiểmtrênAC;KlàmộtđiểmtrênEBsaochoAI=EK.Chứngminh
bađiểmI,M,Kthẳnghàng


,vẽtamgiácđềuDBC(Dnằm
trongtamgiácABC).TiaphângiáccủagócABDcắtACtạiM.Chứngminh:
a)TiaADlàphângiáccủagócBAC
b)AM=BC
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
§Ò số 3

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
4

(Thời gian làm bài: 150 phút.)
Cõu 1. (2 điểm)
Cho A = 2-5+8-11+14-17++98-101
a) Viết dạng tổng quát dạng thứ n của A
b) Tính A
Cõu 2. ( 3 điểm) Tìm x,y,z trong các trờng hợp sau:
a) 2x = 3y =5z và
x 2y

=5
b) 5x = 2y, 2x = 3z và xy = 90.
c)
y z 1 x z 2 x y 3 1
x y z x y z





và b 0. Chứng minh c = 0
Cõu 4. ( 2 điểm) Cho 5 số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
. Gọi b
1
, b
2
, b
3
, b
4
, b
5
là hoán vị của 5 số
đã cho. Chứng minh rằng tích (a
1
- b
1
).(a

5(Thời gian làm bài: 150 phút.)

Cõu 1. (3 điểm )
a) Thực hiện phép tính:
1
4,5: 47,375 26 18.0,75 .2,4 : 0,88
3
2 5
17,81:1,37 23 :1
3 6



b) Tìm các giá trị của x và y thoả mãn:


2007 2008
2x 27 3y 10 0
Cõu 3. ( 2 điểm )
a) Chứng minh rằng:
1 1 1 1
10
1 2 3 100


b) Tìm x,y để C = - 18 -
2x 6 3y 9

đạt giá trị lớn nhất.
Cõu 4.( 3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc
cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE).
a) Chứng minh: BH = AK
b) Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao?
Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. Đề s 5

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
6
Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. Đề s 6

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
7
(Thời gian làm bài: 150 phút.)

Câu 1 . ( 2 điểm) Cho:
a b c
b c d

. Chứng minh:
3
a b c a
b c d d


Câu 4. (2 điểm) Tìm x, biết:
a)
x 3

= 5 ; b) ( x+ 2)
2
= 81; c) 5
x
+ 5
x+ 2
= 650.

Câu 5. (3 điểm) Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E BC, BH AE, CK
AE, (H,K AE). Chứng minh MHK vuông cân.

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.

Đề s 7

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
8


1)( x
2
4)( x
2
7)(x
2
10) < 0.

Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x-a + x-b + x-c + x-d với a <
b < c < d.
Câu 4. ( 2 điểm) Cho hình vẽ.
a, Biết Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C.
b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh Ax // Cy.
Câu 5. (2 điểm) Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lợt vuông
góc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
AN
2
+ BP
2
+ CM
2

= AP
2

a) Tính: A = 1 +
3 4 5 100
3 4 5 100

2 2 2 2


b) Tìm n

sao cho : 2n - 3

n + 1

Câu 2. (2 im)
a) Tìm x biết: 3x -
2x 1

= 2
b) Tìm x, y, z biết: 3(x - 1) = 2(y - 2), 4(y - 2) = 3(z - 3) và 2x+ 3y - z = 50.

Câu 3. (2 im) Ba phân số có tổng bằng
213
70
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu
của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.

Câu 4.(3 im ) Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba
điểm B, I, C thẳng hàng.


(Thời gian làm bài: 150 phút.)
Câu 1. Tính :
a) A =
100
.
99
1

4
.
3
1
3
.
2
1
2
.
1
1

.
b) B = 1+
)20 321(
20
1
)4321(
4
1
)321(

Câu 4. Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác
ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 90
0

), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đờng thẳng BC. Chứng minh rằng:
a) BI=CK; EK = HC;
b) BC = DI + EK.

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
x 2001 x 1

.

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. Đề s 10


x 5
324

+
x 349
5

= 0
b)
5x 3

7
Câu2.(3 điểm)
a) Tính tổng:
0 1 2 2007
1 1 1 1
S
7 7 7 7





b) CMR:
1
!
100

a)Tính góc AIC
b) CM : IP = IQ
Câu 5. (1 điểm) Cho
2
1
B
2(n 1) 3


. Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất.
Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.

Đề s 11

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
12



(Thời gian làm bài: 150 phút.)


(x
0

)
Câu 3 . (1 điểm) Tìm x biết :
2.
5x 3

- 2x = 14
Câu 4 . (3 điểm)
a) Cho

ABC có các góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; 3 . Các góc ngoài tơng ứng tỉ lệ
với các số nào .
b) Cho

ABC cân tại A và Â < 90
0
. Kẻ BD vuông góc với AC . Trên cạnh AB
lấy điểm E sao cho : AE = AD . Chứng minh :
1) DE // BC;
2) CE vuông góc với AB .

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
Đề s 12

Cõu 3. (2 điểm). Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 trang.

Cõu 4. ( 3 điểm) Cho

ABC vuông tại B, đờng cao BE Tìm số đo các góc nhọn của
tam giác , biết EC EA = AB.

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. Đề s 13

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
14
(Thời gian làm bài 150 phút.)

Cõu 1. (2 điểm) Cho
A x 5 2 x.



= m không đổi. Chứng minh : Đờng trung trực của MN đi qua một điểm cố định.

Cõu 5.(1,5 điểm ) Tìm đa thức bậc hai sao cho :




f x f x 1 x.

áp dụng tính tổng :
S = 1 + 2 + 3 + + n.

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. Đề s 14

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
15(Thời gian làm bài: 150 phút.)


đều
Câu 5. (1,5 điểm ) Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây,
Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dới đây đúng một nửa và sai 1
nửa:
a)Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2.
b) Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3.
c) Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4.
Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn.
Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.

Đề s 15

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
16(Thời gian làm bài 150 phút.)
Câu 1. (2 điểm ) Tìm x, biết:
a)
3x 2 x 7

; b)
2x 3 5

b) Chứng minh IM = IN

Câu 4. (3 điểm) Cho M,N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và Ac của tam giác
ABC. Các đờng phân giác và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đờng thẳng MN
lần lợt tại D và E các tia AD và AE cắt đờng thẳng BC theo thứ tự tại P và Q. Chứng
minh:
a) BD
AP;BE AQ; b) B là trung điểm của PQ
c) AB = DE.
Câu 5. (1 điểm) Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A=
14 x
4 x


Có giá trị lớn
nhất? Tìm giá trị đó.

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.

Đề s 16

2006
+ (- 7)
2007
. Chứng minh rằng: A chia
hết cho 43.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủđể m
2
+ m.n + n
2
chia hết cho 9 là: m, n
chia hết cho 3.

Câu 3. (3,5 điểm) Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau nh thế nào,biết nếu
cộng lần lợt độ dài từng hai đờng cao của tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5.

Câu 4. ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A. D là một điểm nằm trong tam giác, biết

ADB
>

ADC
. Chứng minh rằng: DB < DC.

Câu 5. ( 1 điểm ) Tìm GTLN của biểu thức: A =
x 1004

-
x 1003

.

a) Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỷ
lệ với 1, 2, 3.
b) Chứng minh rằng: Tổng A=7 +7
2
+7
3
+7
4
+ +7
4n
chia hết cho 400 (n

N).

Câu 3. (1 điểm ) Cho hình vẽ , biết

+

+

= 180
o
chứng minh Ax// By.
A

x

C



Đề s 18

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
19
(Thời gian làm bài: 120 phút.)

Cõu 1. (2,5 điểm ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
90 72 56 42 30 20 12 6 2
Cõu 2. (2,5 điểm ) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
x 2 5 x
Cõu 3. (4 điểm ) Cho tam giác ABC. Gọi H, G,O lần lợt là trực tâm , trọng tâm và giao
điểm của 3 đờng trung trực trong tam giác. Chứng minh rằng:

a) AH bằng 2 lần khoảng cách từ O đến BC
b) Ba điểm H,G,O thẳng hàng và GH = 2 GO

Cõu 4. (1 điểm ) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong
(Thời gian làm bài: 120 phút.)

Câu 1.(3 điểm ) Chứng minh rằng:
A = 220
11969
+ 119
69220
+ 69
220119
chia hết cho 102.

Câu 2.(3 điểm ): Tìm x, biết:
a)
x x 2 3

;
b)
3x 5 x 2
Câu 3. (3 điểm ) Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA,
AB. Các đờng trung trực của tam giác gặp nhau tai 0. Các đờng cao AD, BE, CF gặp nhau
tại H. Gọi I, K, R theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC.
a) Chngminh: H0 và IM cắt nhau tại Q là trung điểm của mỗi đoạn.

(Thời gian làm bài: 150 phút.)
Cõu 1. (2 điểm ) Cho biểu thức A =
x 5
x 3



a) Tính giá trị của A tại x =
4
1

b) Tìm giá trị của x để A = - 1
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Cõu 2. (3 điểm )
a) Tìm x biết:
7 x x 1


b) Tính tổng M = 1 + (- 2) + (- 2)
2
+ +(- 2)
2006

c) Cho đa thức: f(x) = 5x
3
+ 2x
4
x
2
+ 3x

Đề s 21

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
22
(Thời gian làm bài: 150 phút.)

Câu 1. (3 im )
1)Tính:
a)
2015
2
1













6.29.4
8810
945



3) Biểu diễn số thập phân dới dạng phân số và ngợc lại:
a)
33
7
; b)
22
7
; c) 0, (21); d) 0,5(16).
Câu 2. (2 im ) Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở đợc 912 m
3
đất.
Trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m
3
đất. Số học
sinh khối 7, 8 tỉ lệ với 1 và 3. Khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối.
Câu 3. (3 im )
a)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
2
3
(x 2) 4 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (x+1)
2
Đề s 22

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
23

(Thời gian làm bài: 150 phút.)
Câu I. (2 im)
1) Cho
a 1 b 3 c 5
2 4 6


và 5a - 3b - 4 c = 46 . Xác định a, b, c
2) Cho tỉ lệ thức :
a c
b d

. Chứng minh :
2 2 2 2
2 2
2a 3ab 5b 2c 3cd 5d
2b 3ab 2d 3cd

3
1
3
1
3
1
Câu III. (1,5 im) Đổi thành phân số các số thập phân sau :
a) 0,2(3) ; b) 1,12(32).

Câu IV. (1,5 im ) Xác định các đa thức bậc 3 biết : P(0) = 10 ; P(1) = 12; P(2) = 4;
p(3) = 1.

Câu V . (3 im ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Dựng ra phía ngoài 2 tam giác
vuông cân đỉnh A là ABD và ACE . Gọi M;N;P lần lợt là trung điểm của BC; BD;CE .
a) Chứng minh : BE = CD và BE với CD ;
b) Chứng minh tam giác MNP vuông cân.

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
Đề s 23

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
24



Cõu 2. (1,5 im)
a) So sánh: 2
30
+ 3
30
+ 4
30
và 3.24
10

b) So sánh: 4 +
33
và
29
+
14

Cõu 3. (2 im) Ba máy xay xay đợc 359 tấn thóc. Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ
với 3:4:5, số giờ làm việc của các máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất các máy tỉ lệ nghịc với
5,4,3. Hỏi mỗi máy xay đợc bao nhiêu tấn thóc.

Cõu 4. (1 im) Tìm x, y biết:
a)
3x 4

3 b)




. Tính f(2).

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.
Đề s 24

Tuyn tp cỏc thi chn hc sinh gii mụn Toỏn 7
25
(Thời gian làm bài: 150 phút.)

Câu 1 (2 im) Tìm x, y, z

Z, biết
a)
x x

= 3 - x
b)
x 1 1
6 y 2 c) 2x = 3y; 5x = 7z và 3x - 7y + 5z = 30
Câu 2 (2 im)

45 phút. Sau khi đi đợc
5
1
quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3km/h nên đến B lúc
12 giờ tra. Tính quãng đờngAB và ngời đó khởi hành lúc mấy giờ ?
Câu 4 (3 im) Cho
ABC

có

A
> 90
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối
của tia IB lấy điểm D sao cho IB = ID. Nối C với D.
a) Chứng minh
AIB CID


b) Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng I là
trung điểm của MN
c) Chứng minh AIB


AIB BIC


d)Tìm điều kiện của
ABC