Bài 1. Phương pháp hàm số
CHƯƠNG I. HÀM SỐ
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔
( )
1 2
,x x a b∀ < ∈
ta có
( ) ( )
1 2
f x f x<
2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔
( )
1 2
,x x a b∀ < ∈
ta có
( ) ( )
1 2
f x f x>
3. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một
số hữu hạn điểm ∈ (a, b).
4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại
một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).
5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm
( )
k
x x f x
′
= ⇔
đổi dấu tại điểm

{ }
1
,
M in M in , , , ,
n
x a b
f x f x f x f a f b
∈
=
• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
,
,
Min ; Max
x a b
x a b
f x f a f x f b
∈
∈
= =
• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
,
,

( )
y u x=
với đồ thị
( )
y v x=
.
2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là
phần hoành độ tương ứng với phần
đồ thị
( )
y u x=
nằm ở phía trên
so với phần đồ thị
( )
y v x=
.
3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là
phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị
( )
y u x=
nằm ở phía dưới so với phần đồ thị
( )
y v x=
.
4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ
giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị
( )
y u x=
.
5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔

≤
III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số
Bài 1. Cho hàm số
( )
2
2 3f x mx mx= + −
a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2]
b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4]
c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈
[ ]
1;3−
Giải: a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3 3
2 3 0 2 3
2
1 1
f x mx mx m x x g x m
x x
x
= + − = ⇔ + = ⇔ = = =
+
+ −
.
Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì

3
, 1;4
2
g x m x
x x
= ≥ ∀ ∈
+

[ ]
( )
1;4
Min
x
g x m
∈
⇔ ≥
.
Do
( )
( )
2
3
1 1
g x
x
=
+ −
giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔
[ ]
( )

( )
2
2 3m x x+ ≥
.
Đặt
( )
[ ]
2
3
, 1;3
2
g x x
x x
= ∈ −
+
. Xét các khả năng sau đây:
+ Nếu
0x =
thì bất phương trình trở thành
.0 0 3m = ≥
nên vô nghiệm.
+ Nếu
(
]
0;3x ∈
thì BPT
⇔
( )
g x m≤
có nghiệm

1
3
5
x
Min g x g m
∈
⇔ = = ≤
+ Nếu
[
)
1;0x ∈ −
thì
2
2 0x x+ <
nên BPT
( )
g x m⇔ ≥
có nghiệm
[
)
1;0x ∈ −

[
)
( )
1;0
Max g x m
−
⇔ ≥
. Ta có

[ ]
1;3−
(
]
)
1
; 3 ;
5
m

⇔ ∈ −∞ − +∞


U

Bài 2. Tìm m để bất phương trình:
3
3
1
3 2x mx
x
−
− + − <
nghiệm đúng ∀x ≥ 1
Giải: BPT
( )
3 2
3 4
1 1 2
3 2, 1 3 , 1mx x x m x f x x

≥
⇔ > ∀ ≥ ⇔ = = > ⇔ >
Bài 3. Tìm m để bất phương trình
( )
2
.4 1 .2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >
đúng
x∀ ∈¡
Giải: Đặt
2 0
x
t = >
thì
( )
2
.4 1 .2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >
đúng
x∀ ∈¡

( ) ( )
( )
2 2

g t
nghịch
biến trên
[
)
0;+∞
suy ra ycbt ⇔
( ) ( )
0
0 1
t
Max g t g m
≥
= = ≤
Bài 4. Tìm m để phương trình:
( )
12 5 4x x x m x x+ + = − + −
có nghiệm.
Giải: Điều kiện
0 4x≤ ≤
. Biến đổi PT
( )
12
5 4
x x x
f x m
x x
+ +
⇔ = =
− + −

− −

Suy ra:
( )
0g x >
và tăng;
( )
h x
> 0 và giảm hay
( )
1
0
h x
>
và tăng
⇒
( )
( )
( )
g x
f x
h x
=
tăng. Suy ra
( )
f x m=
có nghiệm
[ ]
( )
[ ]

3 1 1f x x x x x m= + − + − ≤
.
Đặt
( ) ( )
( )
3
3 2
3 1 ; 1g x x x h x x x= + − = + −
Ta có
( ) ( )
( )
2
2
1 1
3 6 0, 1; 3 1 0
2 2 1
g x x x x h x x x
x x
 
′ ′
= + > ∀ ≥ = + − + >
 ÷
−
 
.
Do
( )
0g x >
và tăng
1x∀ ≥

2 4 6f x x x x x m⇔ = − + + + − ≤
đúng
[ ]
4,6x∀ ∈ −
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
1
2 2 1 2 0 1
2 4 6 4 6
x
f x x x x
x x x x
− +
 
′
= − + + = − + = ⇔ =
 ÷
+ − + −
 
Lập bảng biến thiên suy ra Max
[ ]
( )
( )
4,6
1 6Max f x f m
−
= = ≤

[ ]
; 0;5f t m t≤ ∀ ∈ ⇔
[ ]
( ) ( )
0;5
max 5 6f t f m= = ≤
4
Bài 1. Phương pháp hàm số
Bài 7. Tìm m để
2 2
3 6 18 3 1x x x x m m
+ + − − + − ≤ − +
đúng
[ ]
3,6x∀ ∈ −
Giải:
Đặt
3 6 0t x x= + + − >
⇒
( )
( ) ( )
2
2
3 6 9 2 3 6t x x x x= + + − = + + −
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
2
9 9 2 3 6 9 3 6 18t x x x x≤ = + + − ≤ + + + − =
( ) ( )
( )

⇔ = ≤ − + ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ − ≥
Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007)
Tìm m để phương trình
4
2
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
có nghiệm thực.
Giải: ĐK:
1x ≥
, biến đổi phương trình
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ − + =
+ +
.
Đặt
[
)
4
4
1
2
1 0,1
1 1

2
2 8 2x x m x+ − = −
luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.
Giải: Điều kiện:
2x ≥
.
Biến đổi phương trình ta có:
( ) ( ) ( )
2 6 2x x m x⇔ − + = −
( ) ( ) ( )
2 2
2 6 2x x m x⇔ − + = −
( )
( )
( )
3 2 3 2
2 6 32 0 2 V g x 6 32x x x m x x x m⇔ − + − − = ⇔ = = + − =
.
ycbt
( )
g x m⇔ =
có đúng một nghiệm thuộc khoảng
( )
2;+∞
. Thật vậy ta có:
( ) ( )
3 4 0, 2g x x x x
′
= + > ∀ >
. Do đó

Chương I. Hàm số – Trần Phương
Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai
nghiệm thực phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m+ + − + − =
Giải: Đặt
( )
[ ]
4 4
2 2 2 6 2 6 ; 0;6 f x x x x x x= + + − + − ∈
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1
, 0;6
2
2 6
2 6
f x x
x x
x x
   
′
= − + − ∈
 ÷
 ÷
−

u x v x x

> ∀ ∈

⇒ = =


< ∀ ∈


( )
( )
( ) 0, 0,2
( ) 0, 2,6
(2) 0
f x x
f x x
f
′
 > ∀ ∈

′
⇒ < ∀ ∈


′
=

Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt
⇔

)
(
)
3
3
3
1 1 1 1
3 3x x x x u u
x x x
x
+ = + − × + = −
và
1 1 1 1 1
2 . 2 ; 2 . 2u x x x v y y
x x x y y
= + = + ≥ = = + ≥ =
Khi đó hệ trở thành
( )
3 3
5
5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =

+ =

.
Lập Bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
với
2t ≥
t
−∞
– 2 2 5/2 +
∞
( )
f t
′
– –
0
+
( )
f t
+
∞
22
2
7/4
+
∞
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm
7
2 m 22
4
m⇔ ≤ ≤ ∨ ≥

( )
y g u=
là một đoạn thẳng với
2, 2u
 
∈ −
 
nên
( )
2, 2
Min 0
u
g u
 
∈ −
 
≥

( )
( )
2
2
2 0 2 2 1 0 2 1
2 2 1 0 2 1
2 0
g x x x
x x x
g

 

( ) ( )
2
2 2 6 5 0f u a u a a⇔ = − + − + ≥
trong đó
(
)
( )
2
2
1
0 3
2 4
b c
u bc a
+
≤ = ≤ = −
.
Như thế đồ thị
( )
y f u=
là một đoạn thẳng với
( )
2
1
0; 3
4
u a
 
∈ −
 

 
.
Vậy
2 2 2
4a b c abc+ + + ≥
. Đẳng thức xảy ra
1a b c⇔ = = =
.
7
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984):
Cho
, , 0
1
a b c
a b c
≥


+ + =

. Chứng minh rằng:
7
2
27
ab bc ca abc+ + − ≤
.
Giải:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 1 1 2a b c a bc a a a bc a a a u f u+ + − = − + − = − + − =

f a a
 + −
= − ≤ = <
 
 
và
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
3 2
7 7
1 1 1 1 1
1 2 1 2
4 4 27 4 3 3 27
f a a a a a− = − + + = − + − ≤

Do đồ thị
( )
y f u=
là một đoạn thẳng với
( )
2
1

3
a b c⇔ = = =

Bài 15. Chứng minh rằng:
( ) ( )
2 4,a b c ab bc ca+ + − + + ≤ ∀
[ ]
, , 0,2a b c ∈
.
Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có
( ) ( ) ( )
[ ]
2 2 4, , , 0, 2f a b c a b c bc a b c= − − + + − ≤ ∀ ∈
Đồ thị
( )
y f a=
là một đoạn thẳng với
[ ]
0,2a ∈
nên
( ) ( )
( )
{ }
Max 0 ; 2f a f f≤
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
[ ]
0 4 2 2 4; 2 4 4 4, , , 0, 2f b c f bc f a a b c= − − − ≤ = − ≤ ⇒ ≤ ∀ ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
0 1 1 1 1 1 1 1 1f b c d b c d g b c d b c d c d
= − − − + + + ⇔ = − − − + − − + +
Đồ thị
( )
[ ]
, 0,1y g b b= ∀ ∈
là một đoạn thẳng nên
[ ]
( ) ( )
( )
{ }
0,1
Min 0 , 1
b
g b Min g g
∈
=
Ta có
( )
( ) ( ) ( )
1 1 1; 0 1 1 1 1g c d g c d c d cd
= + + ≥ = − − + + = + ≥
⇒
( ) ( )
[ ]
0 1, 0,1f g b b= ≥ ∀ ∈
. Vậy