CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.Công thức cộng:
( )
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
+
+ =
−
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa
( )
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
−
− =
+
Nhớ :
cos thời cos cos, sin sin
sin thời sin cos, cos sin là cùng
tg tổng thì tổng tg ta
phép chia của một trừ thừa tg ra
Cụ thể : VT và VP ngược dấu
VT và VP cùng dấu
( )

B’
M
P
Q
sin
K
α
N
E
F
β
Vận dụng kiến thức đã học :
( )
. . .cos ;u v u v u v=
r r r r r r
. .u p i q j= +
r r r
1i j= =
r r
( )
; 2ON OM k
α β π
= − +
uuur uuuur
j
r
i
r
0
1

=
uuur
( )
. . .cos ;OM ON OM ON OM ON=
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

( )
cos cos sin sin 1. 1.cos 2k
α β α β α β π
+ = − +
 
 
cos cos sin sin
α β α β
+ =
2 2 2 2
cos sin . cos sin .
α α β β
+ +
( )
cos 2k
α β π
− +
( )
cos cos sin sin cos
α β α β α β
+ = −
( )
cos
α β

cos cos cos cos
cos cos sin sin
cos cos cos cos
α β β α
α β α β
α β α β
α β α β
+
=
−
sin sin
cos cos
sin sin
1 .
cos cos
α β
α β
α β
α β
+
=
−
1
tg tg
tg tg
α β
α β
+
=
−

α β
−
+

Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng
nghịch đảo của tg
Ví dụ : Tính cos15
0
và cotg
2
15
0
0
cos15 =
( )
0 0
cos 45 30− =
0 0 0 0
cos45 cos30 sin 45 sin 30+
2 0 2 0
sin 15 1 cos 15= −
( )
2
4 2 2
6 2 8 4 2 2 2
1 1 1
4 16 4 4
− +
 
+ + +

= − = − = = =
− − − − −
Giải

Ví dụ : Tính
sin
8
π
2 2
cos cos sin
4 8 8
π π π
= −
2 2
1 sin sin
8 8
π π
 
= − −
 ÷
 
2
cos 1 2sin
4 8
π π
= −
2
1 cos
2 2
4

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos
2
α

– sin
2
α
= 2cos
2
α – 1
= 1 – 2sin
2
α
2
2
2
1
tg
tg
tg
α
α
α
=
−
Nhớ :
sin cặp thì cặp sin cô
cos hai lấy hiệu bình cô sin bình
thêm hai cos bình trừ duy nhất

2
2
1 1
tg tg tg
tg
tg tg tg
α α α
α
α α α
+
= =
− −

a. Hệ quả 1:
2
2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
1 cos2
tg
α
α
α
α

1
t
t
t
t
t
tg
t
α
α
α
=
+
−
=
+
=
−
Chứng minh :
Chứng minh :
Vận dụng các công thức nhân
đôi ta được hệ qủa một.
b. Hệ quả 2:
cos bình không biết bằng chi ?
mẫu hai, tử tổng một và cos hai
Nhớ :

sin 2sin cos
2 2
α α

sin cos
2 2
α α
α α
=
+
2
2
2
sin
1
2
tg
tg
α
α
α
=
+
2
2
sin
1
t
t
α
=
+
2
2

α α
α
α α α α
α α
−
− −
= − = = =
+
+
2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+
Ta có :

Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :
2
5 cos
2 7sin
x
M
x
−

2
t
x
t
= = =
+
 
+
 ÷
 
2
4
4
58
5
4
95
2 7.
5
M
 
+
 ÷
 
= =
+
Giải
Áp dụng hệ qủa 2 : đặt
1
2 2

tích sin là tích nửa âm
cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ
Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng
hoặc trừ vế theo vế.

Ví dụ : Tính
2
cos cos
5 5
M
π π
=
1 2 2
cos cos
2 5 5 5 5
M
π π π π
 
   
= + + −
 ÷  ÷
 
   
 
1 3 1 3
cos cos cos cos
2 5 5 2 5 5
M
π π π π
 

1
5 5 5 5
2
2sin
5
π π π π
π
 
+
 
=
 
 
 
1 4 2 2
sin sin sin
5 5 5
4sin
5
M
π π π
π
 
= − +
 ÷
 
4
sin
sin
5

sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
( )
( )
sin
cos cos
sin
cos cos
tg tg
tg tg
α β
α β

b
α β
α β
+
=
−
=
{
{
sin sin 2sin cos
2 2 2 2 2 2
α β α β α β α β α β α β
+ − + − + −
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
sin sin 2sin cos
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =
Áp dụng tương tự với các hàm khác

Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau
M = sinx – sin2x + sin3x
M = sin3x + sinx – sin2x – sin2x
3 3
2sin cos

sin 75 15
sin 60
cos75 cos15 cos75 cos15
N
−
= =

Mở rộng cho các công thức sau :
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
i.
ii.
iii.
sin3α = 3sinα – 4sin
3
α

2sin 60
cos90 cos60
=
+
0
0
0
2sin 60
2 60 2 3
cos60
N tg= = =

Chứng minh :
sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α
= 2sinαcos
2
α + sinα(1 – 2sin
2
α)
= 2sinα(1 – sin
2
α) + sinα(1 – 2sin
2
α)
= 2sinα – 2sin
3
α + sinα – 2sin
3
α
sin3α = 3sinα – 4sin

4
π
α
 
= +
 ÷
 
2 sin sin cos cos
4 4
VT
π π
α α
 
= +
 ÷
 
2 cos
4
π
α
 
= −
 ÷
 
Tương tự cho sinα - cosα
i.
ii.
iii.
[
iv.

0
sin(90
0 _
40
0
)sin(90
0
– 20
0
)
A = sin10
0
sin30
0
cos40
0
cos20
0
0 0 0
1
.cos10 sin 40 cos40
4
A =
0 0
1
.cos10 sin80
8
A =
0 0 0
1

) + (cos60
0
+ cos120
0
) +
(cos80
0
+ cos100
0
) + cos180
0

B = [cos20
0
+ cos(180
0
- 20

)] + [cos40
0
+ cos(180
0
- 40
0
)] + [cos60
0
+
cos(180
0
- 60

B = cos180
0
= cos(180
0
– 0
0
) = – cos0
0
= -1
3.Ví dụ :CMR :
. .tgA tgB tgC tgAtgB tgC+ + =
Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:
A + B + C = π A + B = π – C
tg(A + B) = tg(π – C)
Giải :
Giải :

( )
. 1 .tgA tgB tgC tgAtgB+ = − −
. .tgA tgB tgC tgC tgAtgB+ = − +
. .tgA tgB tgC tgAtgB tgC+ + =
1 .
tgA tgB
tgC
tgAtgB
+
= −
−
(đpcm)
4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:

sin sin sinB B C A= + −
Do đó :
Tam giác ABC cân tại B