BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
Phương pháp đổi biến
A. Tóm tắt lý thuyết
Công thức đổi biến số

     
 


'
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
 
 
 
. (1.1)
1. Phép đổi biến u = u(x)
Gỉa sử cần tính
 
b
a
g x dx

. Nếu viết được



. Đặt


x x t
 ,
t K

. Chọn hai số
a
,
b K

sao cho


x a

 ,


x b

 . Khi đó, theo công thức (1.1), ta có

     
'
b
a
f x dx f x t x t dt

vào trong dấu vi phân,
1

 
);

1
1 1
1
n n
dx
d
x n x

 

(đưa
1
n
x
vào trong dấu vi phân,
n


,
2
n

);


vào trong dấu vi phân);

2
tan
cos
dx
d x
x
 (đưa
2
1
cos
x
vào trong dấu vi phân);

2
cot
sin
dx
d x
x
  (đưa
2
1
sin
x
vào trong dấu vi phân).
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm
1)

J x d x x C
       

.
Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm hoặc tính tích phân:
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
1)
2
1
x
I dx
x



;
2)
2
3
1
x
J dx
x




I x
x

  


.
2)


 
3
3
3
1
1 1
ln 1
3 1 3
d x
J x C
x

   


.
3)


 

x




2
t

,
2
x




10
t

.
Do đó




10 10
10 10 10
2 2
2 2 2
2 2
2 1

3
. 2
J x x dx
 

.
Giải
1)
   
3
3
3 3
2 2 2 2
2
2
1 1 3 45
1 1 1 1
2 2 4 8
I x d x x x        

.
2)
   


3 3
3
3
3 3
6 6



;
2)
4
2
0
cos2
1 2sin 2
x
I dx
x




.
3) [ĐHB03]
2
4
3
0
1 2sin
1 sin 2
x
I dx
x





.
Giải
1)
 
2 2
2
1
0
0 0
5 2sin
sin 1 1 ln5 ln3
ln 5 2sin
5 2sin 2 5 2sin 2 2
d x
d x
I x
x x
 



      
 
 
.
2)
 
4 4 4
4

d x
x
I dx x
x x
 


    
 
 
.
4)
2 2
4
0 0
sin cos cos cos
2 2
1 cos 1 cos
x xdx xd x
I
x x
 
  
 
 
.
Đặt
cos
t x


1 0 0 0
1 1
1
2 2 2 2 1 2 ln 1 2 2ln2
1 1 1 1
t
tdt tdt
I dt dt t t
t t t t
 
 
          
 
   
 
   
.
5) Ta thấy
 
2 2
1 cos2 1 cos2 1
cos 4sin 4 5 3cos2
2 2 2
x x
x x x
 
      . Do đó
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
x




   


.
Ví dụ 5. Tính tích phân
1) [ĐHB06]
ln5
ln3
2 3
x x
dx
I
e e


 

.
2)
  
1
ln
ln 1 ln 2
e
xdx


3
t

,
ln5
x




5
t

.
Do đó

I

  




  
5 5 5
2
3 3 3
1 2
3 2 1 2 1 2

ln ln
ln 1 ln 2
e
xd x
J
x x

 

. Đặt
ln
t x

, ta có
1
x




0
t

,
x e




1

1
0
0
1
1 2 1 1 ln3
ln ln2
3 1 2 3 2 3
t
dt
t t t

 
    
 
  
 

.
 Bài tập
Bài 1. Tìm họ nguyên hàm
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6
1)
6
7
7
x

3 2
. 2 2
x x dx


;
5)
3 4
. 4
x x dx
 ;
6)
2
1
x
dx
x 

;
7)


cos 1 sin
x xdx


;
8)



12)
 
4
cos
sin 1
xdx
dx
x 

;
13)
3
cos
sin 1
xdx
x


;
14) 2cos 3sin
x xdx


;
15) 1 2sin cos
x xdx


;
16)

x
e xdx

;
20)
2
tan
cos
x
e
dx
x

;
21)


1 2 ;
x x
e e dx



22)
2
x
x
e dx
e


2
2
0
1
x x
dx
x



. ĐS:
ln 2 1
2 2
 
.
3) [ĐHD09]
3
1
1
x
dx
e


. ĐS:
2
ln( 1) 2
e e
  
.

. ĐS:
2-2ln 3 ln 2

.
6) [ĐHA09]
 
2
3 2
0
cos 1 cos
x xdx



. ĐS:
8
15 4


.
7) [ĐHD05]
 
2
sin
0
cos cos
x
e x xdx



3
ln 2
8

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8
10)
3
6
0
sin3 sin 3
1 cos3
x x
dx
x




. ĐS:
ln5 ln3
2

.
11) [ĐHA08]
4

105
.
13) [ĐHB08]
 
 
4
4
0
sin
sin 2 2 1 sin cos
x dx
x x x



  

. ĐS:
4 3 2
4

.
14)
2
3
3
sin cos
sin cos
x x
dx


. ĐS:
ln 2
2
.
16)
 
2
3
0
cos2
sin cos 3
x
dx
x x

 

. ĐS:
1
32
.
17)
 
2
3
2
0
sin 2 1 sin
x x dx

là một hàm phân
thức hữu tỷ. Với phép đổi biến
( )
n
t f x
 , biểu thức dưới dấu tích phân trở thành


;
n
Q t t dt
.
 Phép đối biến


sin
f x a t
 (
0
a

,
;
2 2
t
 
 
 
 
 

t
 
 
 
 
 
).Phép đổi biến này được sử dụng khi
hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức
 
2
2
a f x

 
 
. Với phép đổi biến nói trên thì
 
2
2
2
2
cos
a
a f x
t
  
 
.
 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân


.
Giải
1) Ta thấy
 
1
2 2 2
0
1
3 3
2
I x x d x
  

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10

Đổi biến:
2
3
t x
 



 

t

.
Do đó
   
2
2 2
2 2 4 2 5 3
3
3 3
1 6 3 8
3 3
5 5
I t t dt t t dt t t

 
      
 
 
 
.
2) Đổi biến:
1
t x
 



2
1

Do đó

J









2 3
1 1 1
3
0 0 0
1 2 1 1 2
2 2
1 1 1
t tdt t t
t t
dt dt
t t t
    

  
  
  

1



  

.
Đổi biến:
2
1
t x
 



2 2
1
x t
 
,


2 2
1 2
d x dt tdt
   .
Đổi cận:
0
x




1 1
t
tdt tdt
dt
t t
t t
 
  
 
 
  

 
2
2
2
1
1
1 1 1 1
ln 1 ln3 ln2
1 1 6
1
dt t
t t
t
 
 
       
 
 

;
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11

3)
2
2
2
1
dx
K
x



.
Giải
1) Đổi biến
4sin
x t

,
;
2 2
t
 
 

t




sin 0
t




0
t

;
8
x 


4sin 8
t 


2
sin
2
t 


4

Đổi biến

1 3sin
x t
 
,
;
2 2
t
 
 
 
 
 



2 2 2 2
8 2 3 3 sin 3 cos 3cos
x x t t t
      ,
3cos
dx tdt

.
Đổi cận
1
2
x
 



 
   
 
.
3) Ta thấy
2
2
2
1
1
dx
K
x
x



.
Đổi biến:
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 121
sin

x x x
x

 
  
 

 



    


.
Đổi cận:
2
x 



4
t


,
2
x



    

      

    

   
4
4
6
6
1 1 1 1 1 cos
cos ln ln 2 1 ln 2 3
2 cos 1 cos 1 2 1 cos
t
d t
t t t





 
      
 
  
 

.
Ví dụ 3. Tính tích phân

xdx
K
x x


 

.
Giải
1) Đổi biến
tan
x t

,
;
2 2
t
 
 
 
 
 
suy ra
2
tan
cos
dt
dx d t
t
  và






  

.
2) Ta thấy
2
2
2
1 3 3 2 1
1 1
2 4 4 2
3
x x x x
 
 
 
   
       
 
   
 
   
 
 
 
.

dx
t
 và
2
2
3 1
1
4 cos
x x
t
    . Các
giá trị
0
và
1
của
x
lần lượt ứng với các giá trị
6

và
3

của
t
. Do đó
3
3
6
6

 
  
     
 
 
 
  
 
.
Ta có


 
2
1
1
2
1
2
1
1
1
ln 1 ln3
1
d x x
K x x
x x


 

   
 
 
 
.
 Bài tập
Bài 1. Tính tích phân
1)
1
5 2
0
1
x x dx


. ĐS:
8
105
.
2)
3
1
3
3 1 3
x
dx
x x


  

. ĐS:
468
7

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14

5)
1
15 8
0
1 3
x x dx


. ĐS:
29
270
.
6) [ĐHB04]
1
1 3ln ln
e
x xdx
x





. ĐS:
34
27
.
Bài 1. Tính tích phân
4)
 
3
2
3
2
3 3
2
9
dx
x



. ĐS:
4 3
27
.
5)
2
2
2

x dx
x


. ĐS:
2
8


.
8)
 
3
3
2
3
3
1
dx
x



. ĐS:
1 3
2

.
9)
1