Tóm tắt kiến thức cơ bản
Phần đại số
Ch ơng I
căn bậc hai - căn bậc ba
1/ Khái niệm căn bậc hai:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
+ Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng ký hiệu
là
a
và số âm là -
a
.
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết
00 =
.
+ Số a âm không có căn bậc hai, viết
a
với a < 0 không có nghĩa.
2/ Căn bậc hai số học: Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số
học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0.
+ Với hai số a và b không âm,
a
<
b
<=> a < b.
3/ Căn thức bậc hai:
+ Nếu A là một biểu thức đại số thì

dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta đợc giá trị gần đúng của
căn bậc hai cần tìm.
+ Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần
phải theo hớng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6
chữ số thì phải dời dấu phẩy trong số
N
đi 1, 2, 3 chữ số sang trái (hoặc
sang phải) và sẽ đợc
N
cần tìm.
6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:
Với hai biểu thức A, B mà B

0 ta có:
BABA .
2
=
+ Với A

0 và B

0 thì
BA
BA
2
=
+ Với A < 0 và B

0 thì
BABA

BAC
BA
C

=


+ Với các biểu thức A, B, C mà A

0,B

0,A

B ta có:
BA
BAC
BA
C


=

)(
7/ Căn bậc ba:
2
KI N THC C BN MễN TON 9
+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
=
3
KI N THC C BN MễN TON 9
Ch ơng II
Hàm số bậc nhất
1/ Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị
của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y, thì y đợc gọi là hàm
số của x, và x đợc gọi là biến số.
2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x: f(x)) trên
mặt phẳng toạ độđợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)
3/ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của
biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá
trị x
1
, x
2

(a, b) mà x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
)
+ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị
của biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá
trị x
1

+ Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) ta xác định hai điểm đặc biệt
là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm Q(-
a
b
; 0)
rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q.
6/ Hai đờng thẳng y = ax + b (a

0) và y = a

x + b

(a



0) song song với
nhau khi và chỉ khi a = a

, b

b

và trùng nhau khi và chỉ khi a = a

và b = b

.


O
y
a < 0
KI N THC C BN MễN TON 9
Ch ơng IiI
hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn
1/ Phơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn x và y là phơng trình có dạng
ax + by = c (1)
trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a

0 hoặc b

0).
+ Nếu tại x = x
0
và y = y
0
mà vế trái của phơng trình (1) có giá trị bằng
vế phải thì cặp số (x
0
; y
0
) đợc gọi là nghiệm của phơng trình đó. Đồng thời mỗi
nghiệm (x
0
; y
0
) của phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi một điểm có toạ độ(x

; y
0
) thì (x
0
; y
0
) đợc
gọi là nghiệm của hệ.
+ Nếu hai phơng trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I)
vô nghiệm.
Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó.
3/ Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có
cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phơng trình này cũng là nghiệm
của hệ phơng trình kia và ngợc lại.
Trong một hệ phơng trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phơng
trình của hệ để đợc một phơng trình mới. Phơng trình mới này cùng với một
trong hai phơng trình của hệ lập thành một hệ tơng đơng với hệ đã cho.
4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ
phơng trình mới rong đó có một phơng trình một ẩn; giải phơng trình một ẩn
này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
5/ Nhân các vế của hai phơng trình với hệ số thích hợp (nếu cần)
sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau
hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới mà hệ số
của một trong hai ẩn bằng 0, tức là đợc một phơng trình một ẩn; giải phơng
trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
Bớc 1: Lập hệ phơng trình
- Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn số và các đại lợng đã biết.
- Lập hệ hai phơng trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lợng.

Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tơng ứng của x và y.
Ngoài ra có thể vẽ bằng các cách đợc mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu
trên trang vở có dòng kẻ hoặc biết một điểm khác O(0; 0) của nó.
8
KI N THC C BN MễN TON 9
4/ a) Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là phơng
trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0. (1)
b) Có hai cách cơ bản để giải (1):
+ Phân tích vế trái (1) ra thừa số:
a(x m)(x n) = 0 <=>



=
=
nx
mx
2
1
+ Bằng cách biến đổi tơng đơng để đa (1) về dạng
2
2
2
4
4
2
a
acb

2
+
; x
2
=
a
b
2

+ Nếu

= 0 thì (1) có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b
2

+ Nếu

< 0 thì (1) vô nghiệm.
6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn:
Nếu đặt b

=
2
b
và

=
a
b
'

+ Nếu
'

< 0 thì phơng trình vô nghiệm.
9
KI N THC C BN MễN TON 9
7/ Nếu x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thì
có định lý Vi-ét:
x
1
+ x
2
= -
a
b
; x
1

8/ a) Để giải phơng trình trùng phơng ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a

0), thờng đặt
ẩn phụ t = x
2
(t

0) và đa về phơng trình bậc hai ẩn t. Lấy những nghiệm
không âm của phơng trình này và từ đó suy ra nghiệm của phơng trình đã cho.
b) Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bớc:
+ Tìm điều kiện xác định của phơng trình
+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức
+ Giải phơng trình vừa thu đợc
+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện.
c) Phơng trình tích là phơng trình có dạng A(x).B(x) = 0. Để giải ta
giải riêng biệt đối với hai phơng trình A(x) = 0 và B(x) = 0. Nghiệm của phơng
trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phơng trình trên.
9/ Để giải toán bằng cách lập phơng trình ta tiến hành theo các
bớc:
Bớc 1: Lập phơng trình:
+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;
+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;
10
KI N THC C BN MễN TON 9
+ Lập phơng trình biểu thị tơng quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã
biết.

b

a
2/ Tỷ số lợng giác của góc nhọn:
11
Cạnh kề
Cạnh đối
Cạnh đối
Cạnh kề
KI N THC C BN MễN TON 9
sin

=
cos

=
tg

=
cotg

=

+

= 90
0
(

và

3/ Hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông: A
Trong tam giác vuông ABC,
A

= 90
0
ta có hệ thức:
c h b
C c

b

B
a
+ b = a sin B = a cos C b = c tg B = c cotg C
+ c = a sin C = a cos B c = b tg C = b cotg B
4/ Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lợng giác:
+ sin


1
; cos


1
; tg

=



Cạnh đối
Cạnh huyền
Cạnh kề
Cạnh huyền
KI N THC C BN MễN TON 9
Ch ơng II
đ ờng tròn
1/ Định nghĩa, sự xác định, tính chất dối xứng của đờng tròn:
13
KI N THC C BN MễN TON 9
a) Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm O cố
định một khỏng R không đổi ( R > 0) gọi là
đờng tròn tâm O bán kính R.
Ký hiệu là: (O; R) hoặc (O)
Cung tròn là một phần của đờng tròn
đợc giới hạn bởi hai điểm.
Hai điểm này gọi là hai mút của cung. Chẳng hạn cung AC (AC), cung BC
(BC)
Dây cung là một đoạn thẳng nối hai mút của một cung. Chẳng hạn dây
cung BC.
Đờng kính là dây đi qua tâm.
Định lý: Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn.
b) Sự xác định của đờng tròn: Định lý: Qua ba điểm không thẳng hàng, bao
giờ cũng chỉ vẽ đợc một đờng tròn và chỉ một mà thôi.
c) Tính chất đối xứng:
Định lý 1: Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây
ấy.
Định lý 2: (Đảo của 1). Đờng kính đi qua trung điểm của một dây (dây
không là đờng kính) thì vuông góc với dây ấy.

tròn cắt nhau tại một điểm:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp
tuyến.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán
kính đi qua hai tiếp điểm.
4/ Vị trí tơng đối của hai đờng tròn: (Ba vị trí tơng đối)
Hai đờng tròn cắt nhau (có hai điểm chung)
15
O
KI N THC C BN MễN TON 9
Định lý: Hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm vuông góc với dây chung và
đi qua trung điểm của dây chung ấy.
OO



AB, tại H là trung điểm của AB.
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau là
hai đờng tròn chỉ có một điểm
chung, điểm chung đó gọi là tiếp
điểm.
OO

= R + r (tiếp xúc ngoài); OO

= R =
r > 0 (tếp xúc trong)
Hai đờng tròn không cắt nhau
(không có điểm chung.

1/ Góc ở tâm. Cung và dây:
a) Định nghĩa:
Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn
Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360
0
với số đo của cung nhỏ có
chung hai đầu mút vơíi cung lớn đó.
Số đo của nửa đờng tròn bằng 360
0
.
b) So sánh hai cung: (chỉ so sánh hai cung trên một đờng tròn hay hai đờng
tròn bằng nhau).
Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn gọi là cung lớn hơn.
c) Điểm nằm trên cung: Điểm C nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng
tổng số đo cung AC với số đo cung CB.
d) Liên hệ giữa cung và dây:
Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay hai đờng tròn bằng
nhau:
Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng hau,
Hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nahu.
Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay hai đơng tròn bằng nhau:
Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
2/ Góc nội tiếp Góc giữa tiếp tuyến và dây cung:
a) Góc nội tiếp:
17
KI N THC C BN MễN TON 9
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờngtròn và

sđ AB
Hệ quả: Trong một đờng tròn góc tạo
bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc
nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng
B
. O
A
B
18
C
A
D
C
M
B
KI N THC C BN MễN TON 9
nhau.
BDABAC


=
c) Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn:
Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn, cung chức góc.
+ Góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong đ-
ờng tròn. Góc PNQ cũng gọi là góc có
đỉnh ở bên trong đờng tròn.
+ Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên
trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.
sđ

M nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới góc

(0
0
<

< 180
0
) là hai cung chứa góc


dựng trên đoạn AB
3/ Tứ giác nội tiếp. Đờng tròn nội ngoại tiếp:
a) Tứ giác nội tiếp:
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đ-
ờng tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 180
0
.
Định lý đảo. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180
0
thì nội tiếp
đợc đờng tròn.
b) Đờng tròn ngoại tiếp, đờng tròn nội tiếp.
Đờng tròn đi qua các đỉnh của một đa giác đợc gọi là đờng tròn ngoại
tiếp đa giác và đa giác đợc gọi là đa giác nội tiếp đờng tròn.
Đờng tròn tiếp xác với tất cả các cạnh của một đa giác đợc gọi là đờng
tròn nội tiếp đa giác và đa giác đợc gọi là đa giác ngoại tiếp đờng tròn.
Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đờng tròn ngoại
tiếp, có một và chỉ một đờng tròn nội tiếp.

2
nR
π
hay S =
2
R

21