TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9
PHẦN ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I
CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
1/ Khái niệm căn bậc hai:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
= a.
+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương ký
hiệu là
a
và số âm là -
a
.
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết
00 =
.
+ Số a âm không có căn bậc hai, viết
a
với a < 0 không có nghĩa.
2/ Căn bậc hai số học: Với số dương a, số
a
được gọi là căn bậc hai số
học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
+ Với hai số a và b không âm,
a
<
b
<=> a < b.
3/ Căn thức bậc hai:
+ Nếu A là một biểu thức đại số thì

bảng căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mười) rồi
theo dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta được giá trị gần đúng
của căn bậc hai cần tìm.
+ Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần
phải theo hướng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6
chữ số thì phải dời dấu phẩy trong số
N
đi 1, 2, 3 chữ số sang trái (hoặc
sang phải) và sẽ được
N
cần tìm.
6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:
Với hai biểu thức A, B mà B
≥
0 ta có:
BABA .
2
=
+ Với A
≥
0 và B
≥
0 thì
BA
BA
2
=
+ Với A < 0 và B
≥
0 thì

BA
BAC
BA
C
−
=
±

+ Với các biểu thức A, B, C mà A
≥
0,B
≥
0,A
≠
B ta có:
BA
BAC
BA
C
−
±
=
±
)(
7/ Căn bậc ba:
+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3= a.

=
CHƯƠNG II
3
HÀM SỐ BẬC NHẤT
1/ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá
trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y, thì y được gọi
là hàm số của x, và x được gọi là biến số.
2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x: f(x)) trên
mặt phẳng toạ độđược gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)
3/ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của
biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá
trị x
1
, x
2
∈
(a, b) mà x
1
< x
2
thì f(x
1
) < f(x
2
)
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị
của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các
giá trị x
1
, x

a
b
;
0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q.
6/ Hai đường thẳng y = ax + b (a
≠
0) và y = a
’
x + b
’
(a
’

≠
0) song song với
nhau khi và chỉ khi a = a
’
, b
≠
b
’
và trùng nhau khi và chỉ khi a = a
’
và b = b
’
.
* Hai đường thẳng y = ax + b (a
≠
0) và y = a
’

α
O
y
a < 0
1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng
ax + by = c (1)
trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a
≠
0 hoặc b
≠
0).
+ Nếu tại x = x
0
và y = y
0
mà vế trái của phương trình (1) có giá trị bằng
vế phải thì cặp số (x
0
; y
0
) được gọi là nghiệm của phương trình đó. Đồng thời
mỗi nghiệm (x
0
; y
0
) của phương trình (1) được biểu diễn bởi một điểm có toạ
độ(x
0
; y

0
)
được gọi là nghiệm của hệ.
+ Nếu hai phương trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ
(I) vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó.
3/ Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng
có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là
nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại.
Trong một hệ phương trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai
phương trình của hệ để được một phương trình mới. Phương trình mới này
6
cùng với một trong hai phương trình của hệ lập thành một hệ tương đương với
hệ đã cho.
4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ
phương trình mới rong đó có một phương trình một ẩn; giải phương trình một
ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
5/ Nhân các vế của hai phương trình với hệ số thích hợp (nếu cần) sao
cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc
đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới mà hệ số của
một trong hai ẩn bằng 0, tức là được một phương trình một ẩn; giải phương
trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã
biết.
- Lập hệ hai phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được.
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình

4/ a) Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là
phương trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0. (1)
b) Có hai cách cơ bản để giải (1):
+ Phân tích vế trái (1) ra thừa số:
a(x – m)(x – n) = 0 <=>



=
=
nx
mx
2
1
+ Bằng cách biến đổi tương đương để đưa (1) về dạng
2
2
2
4
4
2
a
acb
a
b
x
−
=

=
a
b
2
∆−−
+ Nếu
∆
= 0 thì (1) có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b
2
−
+ Nếu
∆
< 0 thì (1) vô nghiệm.
6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn:
Nếu đặt b
’
=
2
b
và
'
∆
= b
’2

−
+ Nếu
'
∆
< 0 thì phương trình vô nghiệm.
7/ Nếu x
1
và x
2
là hai nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) thì
có định lý Vi-ét:
x
1
+ x
2
= -
a
b
; x
1
.x
2
=
a
c
+ Nếu phương trình ax

0), thường
đặt ẩn phụ t = x
2
(t
≥
0) và đưa về phương trình bậc hai ẩn t. Lấy những
nghiệm không âm của phương trình này và từ đó suy ra nghiệm của phương
trình đã cho.
9
b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bước:
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình
+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức
+ Giải phương trình vừa thu được
+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện.
c) Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0. Để giải
ta giải riêng biệt đối với hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0. Nghiệm của
phương trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phương trình trên.
9/ Để giải toán bằng cách lập phương trình ta tiến hành theo các bước:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;
+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;
+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ liệu
đã biết.
Bước 2: Giải phương trình vừa lập được.
Bước 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đưa ra đáp số.
PHẦN HÌNH HỌC
CHƯƠNG I
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1/ Hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông:
10

a
2/ Tỷ số lượng giác của góc nhọn:
sin
α
=
cos
α
=
tg
α
=
cotg
α
=
α
+
β
= 90
0
(
α
và
β
là hai góc
phụ nhau) thì:
sin
α
= cos
β
, cos

C c
’
b
’
B
a
+ b = a sin B = a cos C b = c tg B = c cotg C
+ c = a sin C = a cos B c = b tg C = b cotg B
4/ Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác:
+ sin
α

1≤
; cos
α

1≤
; tg
α
=
α
α
cos
sin
; cotg
α
=
α
α
sin

a) Định nghĩa:
• Tập hợp các điểm cách điểm O cố
định một khỏng R không đổi ( R > 0) gọi là
đường tròn tâm O bán kính R.
Ký hiệu là: (O; R) hoặc (O)
• Cung tròn là một phần của đường
tròn được giới hạn bởi hai điểm.
Hai điểm này gọi là hai mút của cung. Chẳng hạn cung AC (AC), cung BC
(BC)
• Dây cung là một đoạn thẳng nối hai mút của một cung. Chẳng hạn dây
cung BC.
• Đường kính là dây đi qua tâm.
Định lý: Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.
b) Sự xác định của đường tròn: Định lý: Qua ba điểm không thẳng hàng,
bao giờ cũng chỉ vẽ được một đường tròn và chỉ một mà thôi.
c) Tính chất đối xứng:
Định lý 1: Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của
dây ấy.
Định lý 2: (Đảo của 1). Đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây
không là đường kính) thì vuông góc với dây ấy.
Định lý 3: Trong một đường tròn:
• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
• Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
• Dât lớn hơn thì gần tâm hơn.
• Dây gần tâm hơn thì lớn hơn.
2/ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
R
O
13
A

14
O
OO
’

⊥
AB, tại H là trung điểm của AB.
• Hai đường tròn tiếp xúc nhau là
hai đường tròn chỉ có một điểm
chung, điểm chung đó gọi là tiếp
điểm.
OO
’
= R + r (tiếp xúc ngoài); OO
’
= R =
r > 0 (tếp xúc trong)
• Hai đường tròn không cắt nhau
(không có điểm chung.
+ Ngoài nhau: OO
’
> R + r.
+ Đựng nhau: OO
’
< R + r
• Chú ý:
+ Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam
giác hay tam giác nội tiếp đường tròn.
+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội
tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam

tròn bằng nhau).
• Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
• Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn gọi là cung lớn hơn.
c) Điểm nằm trên cung: Điểm C nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng
tổng số đo cung AC với số đo cung CB.
d) Liên hệ giữa cung và dây:
Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng
nhau:
• Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng hau,
• Hai dây bằng nhau thì hai cung bằng nahu.
Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đương tròn bằng
nhau:
• Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
• Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
2/ Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và dây cung:
a) Góc nội tiếp:
• Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đườngtròn
16
A
và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Chẳng hạn góc BAC là góc nội tiếp của đường tròn
(O).
Định lý: Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp
bằng nửa số đo cung bị chắn.
sđ
2
1
ˆ
=CAB
sđ BC

B
. O
A
B
17
C
D
C
M
B
• Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, cung chức góc.
+ Góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong
đường tròn. Góc PNQ cũng gọi là góc có
đỉnh ở bên trong đường tròn.
+ Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên
trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.
sđ
2
1
ˆ
=BEC
(sđ CB + sđ CD)
• Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.
+ Góc BMD là góc có đỉnh ở bên ngoài
đường tròn.
+ Định lý 2: Số đo góc có đỉnh ở bên
ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai
cung bị chắn.
sđ

α
α
18
D
Q
D
M
a) Tứ giác nội tiếp:
• Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp
đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).
• Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 180
0
.
Định lý đảo. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180
0
thì nội tiếp
được đường tròn.
b) Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp.
• Đường tròn đi qua các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn
ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
• Đường tròn tiếp xác với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là
đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp
đường tròn.
Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn
ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
4/ Chu vi, diện tích hình tròn:
a) Độ dài đường tròn, cung tròn.
* Độ dài đường tròn: C = 2
π
R.