LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008 – 2009
A/ Kiến thức cần để thực hiện chủ đề:
1 Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
-/ (a+b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
-/ (a-b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
-/ a
2
– b
2
= (a-b)(a+b)
-/ (a+b)
3
= a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
-/ (a-b)

+ b
5
= (a+b)(a
4
- a
3
b +a
2
b
2
– ab
3
+b
4
)
-/ a
7
+ b
7
= (a+b)(a
6
- a
5
b +a
4
b
2
– a
3
b

)
-/ a
4
– b
4
= (a-b)(a
3
+ a
2
b +ab
2
+b
3
)
-/ a
5
– b
5
= (a-b)(a
4
+ a
3
b +a
2
b
2
+ ab
3
+b
4

A
có nghĩa ( hay xác định ) khi A
≥
0
-/ Với mọi a
∈
R thì
2
a a=
-/ Với mọi a > b > 0
⇔

a
>
b
-/ Với mọi a
≥
0, b
≥
0 ,
ab a b=
-/ Với mọi a
≥
0, b > 0 ,
a:b :a b=
-/ Với mọi b
≥
0 ,
2
a b a b=

≥
0 ,
2
1
a-b
a b
a b
+
=
−
-/ Với mọi a
≠
b, a
≥
0, b
≥
0 ,
1
a + b
a b
a b
−
=
−
-/ Với mọi a
≠
b, a
≥
0, b
≥

(2 2 2)+
8)
2
(2 2 2)−
9)
2 2 1+
10)
2 2 1−
11)
( 2 1)( 2 1)
+ +
12)
2 2 8−
Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
1)
8 2 15+
2)
10 2 21−
3)
5 24+
4)
12 140−
5)
14 6 5+
6)
8 28−
7)
9 4 2+
8)
28 6 3+

2 2
21 ( 3) (3 2)= +
. Từ đó suy ra:
A 6 2=
Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1)
2 5 125 80 605− − +
;
2)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+ −
;
3)
15 216 33 12 6− + −
;
4)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
− +
−
− +
;
5)
2 3 2 3
2 3 2 3
− +
+

12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + − +
;
13)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+ − −
;
14)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ + − −
;
15)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+ −
+
+ + − −
;
16)
( )
2
5 2 8 5
2 5 4
+ −
−
;
17)
14 8 3 24 12 3− − −

2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷ ÷
   
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20

1
3 2
+
+
1
2 1
+
2/
2
2
9 2
5
x
x
− −
−
(
x

≤
3 , x
≠
+
5
, -
5
3/
11 4 12 12 19 2 48 3
− − − +
4/

x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
7/
10 4 15 2 38 4 18 2
+ − − −
8/
3 5. 3 6 5 . 4 13 6 5 . 4 13 6 5
+ + + + + + − + +
9/
7 2 11 2 . 10 4 1 2a a
− + + + + −
Với a = 22-12
2
10/
2 1 1 4
: 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
   
− −
 ÷  ÷

14/
4 7 4 7 2
+ − − −
15/
1 2 1 2
1 1 2 1 1 2
x x
x x
+ −
+
+ + − −
Với x =
3
4
16/
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 . 3 2 . 19 8 3 3 2
+ − − +
17/
( )
2
2
4 8 32 2
: 1
2 4 2 8 2
x x
x
x x x x x x
 
+

x x
x x
+ −
+
+ + − −
với
3
4
x =
(Đề thi HSG Huyện n/học 2007-2008)
22/ Tính:
5 3 29 12 5− − −
(Đề thi HSG Huyện n/học 2006-2007)
23/ Tính:
4 7 4 7 2+ − − −
(Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006)
24/ Tính:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 3 2 19 8 3 3 2+ − − +
(Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006)
25/ Tính:
( )
2
2
4 8 32 2
: 1
2 4 2 8 2
x x
x
x x x x x x

2 3
3 2
+
(Đề thi HSG Huyện n/học 2002-2003)
29/ Tính:
2
1 1
:
a
a a a a a a
+
+ + −
(0 < a
≠
1) với a =
1 2 6
3 2 2 3 5
−
− + +
(Đề thi HSG Tỉnh n/học 2006-2007)
30/ Tính:
1 1 2 1 2 1
:
1
1 1
x x x x x
x
x x x x
 
+ − + −

= (a-b)(a+b)
(a+b)
3
= a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
(a-b)
3
= a
3
-3a
2
b + 3ab
2
- b
3
a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab+b
2
)

b) Xột hiu: A 1 =
x 1 x 1 x 1
1 0
x x x

= = <
. Vy: A < 1
Cỏch 2: D thy: A =
1
1 1
x
<
vỡ:
1
0
x
>
Bài 2: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;

D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
; b)
x x x x
P = 1 1
x 1 x 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

;
c)
2
1 x 1
Q = :
x x x x x x
+
+ +
; d)
x 1 2 x 2
H =
x 2 1



+ +
+
+
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 9: Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ
ữ

+ +

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2
3
.

a) Rỳt gn biu thc A
b) Tớnh giỏ tr ca biu thc A khi
x 3 8= +
c) Tỡm giỏ tr ca x khi A =
5
HD: a) K: x 1:
2
4x
A
1 x
=

;
b)
x 3 8 1 2= + = +
. Khi ú: A = 2 ; c)
1
x 5=
;
2
5
x
5
=
Bi 9: Cho biu thc:
2
x 1 10 5
A
x 3 x 2
x x 6

b) Tỡm cỏc giỏ tr ca a C = 1
c) Khi no thỡ C cú giỏ tr dng? Cú giỏ tr õm?
HD: a) a 3, a 2; b)
2
4a
C
a 3
=
+
; c) C = 1
a 1
3
a
4
=



=

; d) C > 0
a 0
a 2
a 3







A :
a 2
a a a a
 
− + +
= −
 ÷
 ÷
−
− +
 
a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A không xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?
HD: a) A không xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1, 2.
b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:
2(a 2)
A
a 2
−
=
+
; c) có duy nhất a = 6 thỏa mãn.
Bài 13: Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
−
= −
− −

Bài 15: Cho biểu thức A =
1 1 1 1 1
:
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − + −
   
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được
1
A
x(1 x)
=
−
b)
2
1
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
= − = + = − −
c) min A = 4 khi
1
x
4
=


=
ữ

. Du "=" xy ra
1 1
x x
2 4
= =
. Vy:
1 1
max P x
4 4
= =

Bi 17: Cho biu thc
3
1 1 x x
B
x 1 x x 1 x x 1

= + +
+
a) Tỡm iu kin biu thc B xỏc nh
b) Rỳt gn biu thc B
c) Tỡm giỏ tr ca x khi B = 4
d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn dng ca x B cú giỏ tr nguyờn
HD: a) x > 1
b)
B x 2 x 1=









+

+










xx
x
x
x
x
x
11
:
1



++
+



a) Rút gọn A
b) Tìm điều kiện của x để A > 0
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất
Bài 4 : Cho biểu thức :P=
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+

a . Tìm giá trị của x để P xác định
b . Rút gọn P
c, Tìm x sao cho P>1
Bài 5 : Cho biểu thức : C

ữ

+ +

1 ,Tìm điềukiện của a để biểu thức B có nghĩa . 2, Chứng minh rằng
2
1
B
a
=

Bài 7: Xét biểuthức A =
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3

+



a) Rút gọn A
b) Tìm điều kiện của x để A > 0
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất
Bài 9 : Cho biểu thức :P=
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+

a . Tìm giá trị của x để P xác định
b . Rút gọn P
c, Tìm x sao cho P>1
Bài 10: Cho biểu thức : C
9 3 1 1
:
9


1 ,Tìm điềukiện của a để biểu thức B có nghĩa . 2, Chứng minh rằng
2
1
B
a
=

Bài 12:








+
+
+

+


+







+
+
=
a. Rút gọn M b. Tính giá trị của a và b để M = 1
Bài 14. Cho biểu thức:
1x0;x
xxxx1
x2
1x
1
:
1x
x
1A









+
+





+
+








+


=
với
1/ Rút gọn biểu thức M 2/ Tìm ggiá trị của a để M = 0
Bài 16: Cho biểu thức :








++
+





ữ
ữ

+

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
Bài 18: Cho biểu thức : A =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a a
a a a a a
+ +
+ +
+ + + +
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dơng với mọi a .
Bài 19: Cho biểu thức : M=
( ) ( )
( )
( )
2
2 1 1
2
2
1
x x x
x

1x2
2x
3x
6x5x
9x2
P

+


+

+

=
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị của x để P<1.
c. Tìm
Zx

để
ZP

.
2. Rút gọn các biểu thức sau:
6342534284546c/C
.324324b/B
yx0;y0;x.
yx
xy2






+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
Bài 23: Cho biểu thức : P =








+


a
aa
a
aa
=



















+
+
+
1
1
1.

)
B =
12
13
:
324
12

+

+

Bài 25: Cho biểu thức P =
( )( ) ( )
( ) ( )
31
324132
2
2
+

xx
xxx

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1 +
2
c) Tìm giá trị của x để P > 1
Bài 26: a) Thu gọn các biểu thức sau :
A =

xyyx
+

a) Tìm điều kiện có nghĩa của mỗi biểu thức
b) Rút gọn A và B
c) Tính tích A.B với x =
23

và y =
23
+
Bài 28: 1/ Thực hiện phép tính:
20354

2/ Rút gọn biểu thức:
1ba,0;ba;với
1b
1a
:
1a
b21b
>


+
++
3/ Chứng minh biểu thức:
( )
13.32.2
+

++
+
=
2
1
:
1
a) Rút gọn biểu thức A . b, Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Bài 31: Cho biểu thức C =
3 3 4 5 4 2
:
9
3 3 3 3
x x x x
x
x x x x x

+ +

ữ ữ
ữ ữ

+

. Rút gọn C
Bài 32: Cho biểu thức M =
25 25 5 2
1 :
25
3 10 2 5

( )
4123
=
xmpxm

Bài 34: Cho biểu thức P =
( )
( )
( )
2 2
2
1 3 2 1
2
1 1
3 1
a a
a a a
a a

+

+
a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q =
2 1
1
a
a


Bài 35: Cho biểu thức A =
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A =
6 6
5






















+

+



+


+
=
1
2
1
1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x
x
P








+











+


+

+
+
=
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x

:
2 2
2 2 1 1
x x x x
x
x x x x x

+ +
+ +
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P > 1
c) Tính giá trị của P, biết
2 3x x+ =
d) Tìm các giá trị của x để :
( ) ( )( )
4222522
+=++
xxpx

Bài 37: Cho biểu thức P =
( )
2
1
1 1
: .
1 1 1

xy xy
x y x xy y xy

+
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ + +

a) Rút gọn P b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn
6x y+ =
Bài 39: Cho biểu thức P =
2 1
.
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x x x

+ +
+
ữ
ữ

+

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của A =
5 3

Bài 45: Cho biểu thức:
1x
2x
2x
3x
2xx
3)x3(x
P



+
+
+
+
+
=
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để
4
15
P
<
Bài 46: Cho biểu thức:








b/ Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn :
ax1)xP(
+>+
Bài 47: Cho biểu thức:











+
+
+

+
+
=
1
x1
1
x
2x
2x
1x
2xx

c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6). b) (a ; b) = (−2 ; 5). c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x
2
và hai đường thẳng: (d
1
): mx − y − 2 = 0 và (d
2
): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d
1
) và (d
2
) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d
1
) song song với (d
2
)
c) Với giá trị nào của m thì (d
1
) tiếp xúc với (P).
HD: a) M(3 ; 1); b)
3
m
2
= −
c) (d
1
) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x

Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ;
2) và B(3 ; 5)
HD: a)
2 2
AB (5 1) (4 1) 5= − + − =
b)
2 2
AB (3 2) (5 2) 5,83= + + − ≈
Bài tập
Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5).
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ.
Bài 3: Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại
điểm nằm trên trục tung.
Bài 4: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là 2005. Hãy viết phương
trình đường thẳng (d).
Bài 5: Cho hàm số : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x
2
Bài 6: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3. Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
A. Tóm tắt cách giải hệ phương trình:
a) Giải hệ bằng phương pháp thế:
B1: Dùng quy tắc thế để biến đổi hệ đã cho để được một hệ mới trong đó có một phương trình một
ẩn.
B2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.


Gi¶i:
a. Dïng PP thÕ:
2 3
3 7
x y
x y
− =


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= − = − = =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ − = = = − =
   
Vậy HPT ®· cho cã nghiƯm lµ:
2
1
x
y
=




=


- §Ĩ gi¶I lo¹i HPT nµy ta thêng sư dơng PP céng cho thn lỵi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ = −


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = − = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + = + − = = −
   
Vậy HPT cã nghiƯm lµ
2
2

+ =

2,
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =



( )
( )
2 1 2
)
2 1 1
x y
b
x y

− − =


+ + =

2 1
3
3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5 3 2 2
)




=+
=−
1
2
2
32
4)32(2
32
42
32
y
x
x
xy
xx
xy
yx
yx
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;1)
Bài 5: Giải hệ pt bằng pp thế



=
=
⇔


yx
yx
Bài 6: Giải các hệ phương trình:
1)
x 2y 3
2x y 1
+ =


− =

2)
3x 4y 2
2x 3y 7
− =


+ =

3)
x 7y 2
2x y 11
− = −


+ =

4)
2x 3y 10
3x 2y 2

3
6
3
6
93
6
32
y
x
yx
x
yx
x
yx
yx
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3;-3)
Bài 8: giải hpt:
a,



=−
=+
432
922
yx
yx
Trừ vế theo vế 2pt (TVTV) 5y=5  y=1 thay vào pt (1) có :2x+2.1 =9  x=7/2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (7/2; 1)
b,



=+
=+




=+
=+



=
=




=
=+



=
=





b
y
x
yx
yx
a
Baứi 10: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ =


Baứi 11: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh sau:

2 4
3 1
x y
x y
+ =


=

;

0,2 3 2
15 10
x y
x y
=


=

;
3 2
2 4 2007
x y
x y
=


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
=


+ =

;

2 4 2
x y
x y
+ =



+ =


Bài 12: Cho hệ phơng trình



=+
=
1
2
byax
bayx
a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=(
)3;2
Gi h phng trỡnh bng cỏch t nhõn t chung
Vd: 1,
2 3
1
1
2 5
1




+ =

+


2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK:
1, 0x y
.
Đặt
1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = + = + = =



+ = = = =


1
2

x
y

=



=

Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau bng phng phỏp t n ph:
a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5

+ =




=


b)
15 7
9
x y

2
2x 3y 3x y
3 5
21
3x y 2x 3y

+ =

+



=

+

Bài 3: GiảI các hệ phơng trình sau
a)







=


+
=

32423
yx
yx
(đk x;y

2 )

3 5
1
x y
x y

+ =


+ =


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= +


=




+ =



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

=


+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + =


+ =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y

5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




− =


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

− =

+ −



− =


−
+
+
=
−
+
+
18
2
2
1
3
0
2
1
1
2
yx
yx
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x - 5 = 3
2
+
x

1 2
1
1 1x y
+ =
+ +


3y
2
1x
3
5
3y
1
1x
2
2/
42y3x
5y2x
1/
3,



=−+
=+−
033yx
0y1x
4,
2
2
1
3
1
3
x
x




=
−
−
−
=
+
+
−
4
1
2
1
5
7
1
1
1
2
yx
yx
PP Giải hệ pt đối sứng loại I

Bµi 1: 1, Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :



