Số hóa bởi Trung tâm Học liệu `
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
PHÙNG THỊ CHÍNH NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH
ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Hữu Công
THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
i
LỜI CAM ĐOAN
.
Phùng Thị Chính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
ii
1.3.1 Phương pháp ghép hợp 7
1.3.2 Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm 9
1.3.3 Phương pháp nhiễu xạ kỳ dị 12
1.3.4 Phương pháp cân bằng nội 13
1.3.5 Các phương pháp sử dụng phép gần đúng tối ưu 14
1.3.6 Phương pháp tối ưu theo trạng thái 15
1.4 Kết luận 17
CHƢƠNG 2. NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN GIẢM BẬC MÔ HÌNH 19
2.1 Cơ sở toán học 19
2.1.1 Phép phân tích giá trị suy biến (SVD - Singular Value Decomposition) 19
2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính 20
2.1.3 Giá trị Hankel suy biến 21
2.1.4 Chuẩn H của hệ tuyến tính 22
2.2 Thuật toán giảm bậc theo chuẩn Hankel 22
2.3 Một số ví dụ áp dụng 24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
iv
2.3.1 Ví dụ 1 24
2.3.2 Ví dụ 2 28
2.3.3 Ví dụ 3 32
2.4 Kết luận chương 2 35
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG GIẢM BẬC MÔ HÌNH TRONG LĨNH VỰC ĐIỀU
KHIỂN THIẾT KẾ - MÔ PHỎNG - THÍ NGHIỆM THỰC 37
3.1 Giới thiệu mô hình xe hai bánh tự cân bằng 37
3.1.1 Mô hình cơ khí 37
3.1.2 Mô hình toán học 38
3.2 Hệ thống điều khiển cân bằng robot theo phương pháp điều khiển bền vững định
dạng vòng H
Bảng 2.2 Kết quả giảm bậc mô hình hệ bậc 8 28
Bảng 2.3 Kết quả giảm bậc mô hình hệ bậc 5 33
Bảng 3.1 Các thông số của robot 41
Bảng 3.2 Kết quả giảm bậc bộ điều khiển bền vững 50
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
vi
DANH MỤC CÁC HÌNH
Trang
Hình 2.1 Đáp ứng bước nhảy của hệ gốc và các hệ giảm bậc 26
Hình 2.2 Đặc tính tần số của hệ gốc và các hệ giảm bậc 26
Hình 2.3 Giá trị Hankel suy biến của hệ gốc bậc 4 27
Hình 2.4 Đặc tính tần số của hệ gốc và các hệ giảm bậc 7, 5, 3, 1 31
Hình 2.5 Đặc tính tần số của hệ gốc và hệ giảm bậc 6, 4, 2 31
Hình 2.6 Giá trị Hankel suy biến của hệ gốc bậc 8 32
Hình 2.7 Đáp ứng bước nhảy của hệ gốc và các hệ giảm bậc 34
Hình 2.8 Đặc tính tần số của hệ gốc và các hệ giảm bậc 34
Hình 2.9 Giá trị Hankel suy biến của hệ gốc bậc 5 35
Hình 3.1 Kích thước robot hai bánh tự cân bằng 37
Hình 3.2 Sơ đồ đơn giản của robot 38
Hình 3.3 Đáp ứng xung của mô hình hệ thống cân bằng robot 42
Hình 3.4 Mô hình điều khiển bền vững với các thông số biến đổi 44
Hinh 3.5 Đáp ứng bước nhảy h(t) của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm bậc . 52
Hình 3.6 Đáp ứng tần số của bộ điều khiển gốc và các bộ điều khiển giảm bậc 53
Hình 3.7 Sơ đồ hệ thống điều khiển cân bằng robot sử dụng bộ điểu khiển giảm bậc 3
trong Matllab – Simulink 54
Hình 3.8 Đáp ứng bước nhảy của hệ thống điều khiển cân bằng robot sử dụng bộ
điều khiển giảm bậc 3 55
Hình 3.9 Sơ đồ mô phỏng hệ thống điều khiển cân bằng robot sử dụng bộ điều khiển
cân bằng ổn định trong những địa hình khác nhau. Để giải quyết vấn đề này,
các robot hầu hết có bánh xe rộng hoặc tối thiểu là ba điểm tiếp xúc so với
mặt đất để duy trì sự cân bằng. Tuy nhiên tăng kích thước hoặc số lượng bánh
xe sẽ làm giảm hiệu quả của hệ thống điều khiển do tăng trọng lượng xe, tăng
ma sát hoặc tăng lực kéo và tăng tổn hao năng lượng. Robot hai bánh tự cân
bằng là một hướng nghiên cứu sẽ giải quyết được nhược điểm. Bởi robot hai
bánh tự cân bằng chỉ sử dụng hai bánh xe nên giảm được cả trọng lượng và
chiều rộng không gian. Tuy nhiên vấn đề khó khăn cho robot là làm cách nào
để robot có thể tự cân bằng trong những điều kiện làm việc khác nhau, đồng
thời tải trọng mang theo có thể thay đổi. Với yêu cầu của robot như trên thì hệ
thống điều khiển bền vững là thích hợp nhất để điều khiển cân bằng robot.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
2
Lý thuyết điều khiển H
2
/H
∞
là một lý thuyết điều khiển hiện đại cho
việc thiết kế các bộ điều khiển tối ưu và bền vững cho các đối tượng điều
khiển có thông số thay đổi hoặc chịu tác động của nhiễu bên ngoài. Tuy
nhiên, trong phương pháp thiết kế H
2
/H
∞
mà McFarlane và Glover lần đầu
tiên đưa ra vào năm 1992 và kể cả các nghiên cứu sau này về lý thuyết điều
khiển H
2
người sử dụng. Do đó, nghiên cứu về giảm bậc mô hình áp dụng cho điều
khiển robot hai bánh tự cân bằng có tính khoa học và thực tiễn rất lớn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
4
CHƢƠNG 1
GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢM BẬC MÔ HÌNH
1.1 Giới thiệu
Hầu hết các phương pháp điều khiển đều dựa trên cơ sở mô hình toán
học của đối tượng điều khiển và bộ điều khiển (còn gọi là hệ động học). Tuy
nhiên trong thực tiễn thường gặp những hệ động học mô tả bởi mô hình toán
học phức tạp, có bậc rất cao dẫn tới việc nắm bắt trạng thái hoạt động của hệ
phục vụ cho mục tiêu phân tích hệ gặp không ít khó khăn và càng khó khăn
khi muốn tổng hợp và điều khiển hệ. Những việc đó hiển nhiên sẽ trở nên dễ
dàng hơn khi sử dụng một mô hình đơn giản hơn, bậc thấp hơn được chọn sao
cho có các đặc điểm quan trọng của mô hình bậc cao. Do vậy vấn đề giảm bậc
mô hình được đặt ra là rất cần thiết và rất hữu ích trong việc thiết kế hệ thống
điều khiển đối tượng.
Trong thực tế, hầu hết các hệ động học có động học là phi tuyến, tuy
nhiên đa số các hệ này có thể đưa về dạng mô hình động học tuyến tính với
những giả thiết nhất định. Vì vậy, hầu hết những công trình liên quan đến
giảm bậc mô hình đã được công bố trên các tạp chí khoa học trong nước và
quốc tế đều áp dụng cho đối tượng có động học tuyến tính. Từ đây, chúng tôi
đưa ra bài toán giảm bậc mô hình cho hệ tuyến tính như sau:
1.2 Phát biểu bài toán giảm bậc mô hình
Cho một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, có
nhiều đầu vào, nhiều đầu ra, mô tả trong không gian trạng thái bởi hệ phương
trình sau:
Cxy
r
R
r
, u R
p
, y
r
R
q
, A
r
R
rxr
, B
r
R
rxp
, C
r
R
qxr
, với r n;
Sao cho mô hình mô tả bởi phương trình (1.2) có thể thay thế mô hình
mô tả bởi phương trình trong (1.1) ứng dụng trong phân tích, thiết kế, điều
khiển hệ thống.
1.3 Các phƣơng pháp giảm bậc cơ bản
Gần 50 năm qua, đã có hàng trăm công trình nghiên cứu để giải quyết
bài toán giảm bậc của mô hình bậc cao được công bố và đề xuất các phương
pháp tiếp cận khác nhau. Tuy nhiên, theo quan điểm của tác giả, đối với một
mô hình bậc cao cho trước, các phương pháp đã đề xuất trên thức tế có thể
khiển và kiểm tra của hệ trong công trình của Hyland và Bernstein [17], L
2
áp
dụng với tín hiệu đầu vào trong công trình của Nath và San[29]. Các phương
pháp tìm mô hình tối ưu bậc thấp trong miền tần số được đề xuất trong công
trình của Langholz và Bishtritz [20], Elliott và Wolovich đề xuất quy trình
tìm mô hình giảm bậc trong miền tần số [11].
Nhóm phương pháp giảm bậc thứ ba được đề xuất trên cơ sở chọn
trùng khớp một số đặc tính khác ngoài những thuộc tính về đáp ứng. Nghiên
cứu sớm nhất là của Chen và Shieh, các tác giả đã chứng tỏ rằng nếu phát
triển một số hàm truyền của mô hình hệ bậc cao theo cách chia liên tục mẫu
số cho tử số và làm tròn, thì dẫn tới một mô hình bậc thấp có đáp ứng đối với
xung nhảy bậc bám sát được đáp ứng của mô hình gốc [7]. Sự hấp dẫn chủ
yếu của phương pháp này nằm ở chỗ tính toán đơn giản hơn so với các
phương pháp thuộc các nhóm trước. Thay vì sử dụng hàm truyền do Chen và
Shieh đề xuất, phương pháp trùng khớp theo các thời điểm do Gibarillo và
Lees [13] là một phương pháp khá hay. Nhưng, sau đó Samash đã chứng tỏ
rằng phương pháp phát triển hàm truyền và phương pháp trùng khớp thời
điểm là tương đương và chẳng qua là phương pháp lấy xấp xỉ khi tích phân
gần đúng hàm theo chuỗi của Pade [34]. Một hạn chế lớn của phương pháp
gần đúng Pade là đôi khi các mô hình bậc thấp tìm được có thể không ổn định
dù rằng mô hình gốc bậc cao ổn định. Điều này dẫn đến việc phát triển
phương pháp gần đúng Routh do Hutton và Friedlan đề xuất đối với mô hình
có một đầu vào và một đầu ra [16]. Một phiên bản dành cho hệ có nhiều đầu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
7
vào, nhiều đầu ra được Sinha và các đồng tác giả khác phát triển [37]. Một
giải pháp nhằm đảm bảo tính ổn định của mô hình bậc thấp được đề xuất trên
giữa các ma trận trong hai tập của các phương trình trạng thái thu được như
sau:
KCC
BKB
AKKA
r
r
(1.5)
Dễ dàng nhận thấy rằng luật ghép hợp không tầm thường tồn tại khi và
chỉ khi các giá trị riêng của A
r
là một tập con thuộc tập các trị riêng của A. Từ
đó, ma trận ghép hợp có thể được xác định là:
K = D[I
r
0]V
-1
(1.6)
trong đó, D là ma trận không suy biến có kích thước (r x r) và V là ma trận
hình thức của A: các cột của V là các véc tơ riêng suy rộng của A. Thường
chọn D sao cho K là một ma trận thực. Trong trường hợp riêng, khi D là một
ma trận đơn vị thì A
r
tìm được dưới dạng đường chéo hoặc dạng Jordan. Các
trị riêng của A
r
là các trị riêng của A tương ứng với r cột đầu tiên của V.
Lastman và Shinha minh chứng có cách chọn một cách tự nhiên đối với K để
được K = V [I
r
[39], [44].
Một hạn chế khác của phương pháp ghép hợp cũng như của phần lớn
các phương pháp giảm bậc là các trạng thái của mô hình giảm bậc không
mang ý nghĩa vật lý nào. Điều này dẫn đến khó khăn trong những trường hợp
mô hình giảm bậc được xét cùng với các khâu khác của một quá trình khi
chúng được liên kết với nhau thông qua biến trạng thái. Phương pháp nhiễu
xạ không suy biến do Fernando và Nicholson đề xuất [12] khắc phục được
một bước khó khăn đã nêu. Moore cũng đề xuất khái niệm tính trội động học
trong công trình nổi tiếng liên quan đến cân bằng nội [27]. Trong hệ cơ sở cân
bằng nội Moore đã phát hiện rằng thứ tự giá trị riêng trên đường chéo của các
gramian biểu thị sự đóng góp của hệ động học vào việc xác lập quan hệ giữa
đầu vào và đầu ra của hệ thống.
1.3.2 Phương pháp trên cơ sở trùng khớp tại các thời điểm
Một phương pháp tiếp cận khác để thu được mô hình giảm bậc đã đề
xuất trên cơ sở chọn trùng khớp đáp ứng xung của mô hình giảm bậc với đáp
ứng xung của mô hình gốc tại các điểm thời gian. Phương pháp phân tích liên
tục phân số hàm truyền do Chen và Shieh đề xuất [7] là phương pháp sớm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
10
nhất thuộc loại này dù rằng sự liên hệ giữa phương pháp trùng khớp tại các
thời điểm với phương pháp gần đúng Pade được phát hiện bởi Samash [34].
Sau đó, dạng tổng quát của phương pháp này áp dụng đối với hệ có nhiều đầu
vào và nhiều đầu ra đã được Hichkin và Sinha phát triển [15].
Đối với các hệ thống động học được biểu diễn bởi phương trình trong
(1.1) ma trận hàm truyền được cho bởi:
G(s) = C(sI – A)
-1
B (1.7)
trong đó, J
i
= CA
-(i+1)
B (1.11)
Và, nếu hàm g(t) là biến đổi Laplace ngược của G(s) thì:
0
1
)!()1()(
i
ii
Jidttgt
(1.12)
trong đó, i là một số nguyên dương; J gắn với giá trị thời điểm của ma trận
xung qua một hệ số nhân.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
11
Kết hợp phương trình trong (1.9) và phương trình trong (1.10), thấy
rằng:
J
i
= J
i+1
với i>1 (1.13)
sao cho việc sử dụng “thông số Markov suy rộng” có thể bảo gồm cả J
i
.
Để xác định được mô hình bậc thấp, các ma trận A
)(
jikkki
jkkk
jkkk
ij
jjj
jjj
jjj
kH
(1.14)
Nếu i> và j> là tương ứng với các chỉ số quan sát và điều khiển của
mô hình gốc của hệ, thì hạng của H
ij
(k) là n, và khả hiện vật lý tối thiểu bậc n
dễ dàng tìm được bằng cách theo quy trình đưa về dạng Hermite chuẩn do
Rozsa và Sinha đề xuất [32]. Nếu quá trình đó được dừng lại sau r bước với
r<n
j
, thì khả hiện vật lý thành phần có m tham số Markov suy rộng được trùng
khớp bắt đầu từ J
k
, trong đó:
m = r/q + r/p (1.15)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
12
ở đây, p và q có ý nghĩa là số đầu vào và đầu ra của hệ như phương trình (1.1).
2
biểu diễn cho các trạng thái thuộc mode nhanh):
uBxAxAx
uBxAxAx
22221212
12121111
(1.16)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
13
Đối với một hệ thống hoạt động ổn định, các trạng thái thuộc mode
“nhanh” suy giảm nhanh hơn cá trạng thái thuộc mode “chậm”. Vì vậy, sau
thời gian quá độ, có lý để cho đạo hàm x
2
bằng 0. Điều đó cho phép loại sự có
mặt của x
2
ra khỏi phương trình trong (1.16) để thu được:
uBAABxAAAAx .)(.
2
1
22121121
1
2212111
(1.17)
Mô hình giảm bậc biểu diễn bởi phương trình trong (1.17) bây giờ có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
14
gramian điều khiển và quan sát động học của hệ trong tư duy hệ hở. Việc
tương đương hóa hai ma trận đường chéo như thế cho phép xác định được
một ma trận không suy biến T, từ đó xác đinh được một biến đổi tổ hợp
*
Txx
có thể chuyển mô hình gốc biểu diễn trong hệ cơ sở bất kỳ (1.1) thành
một hệ tương đương biểu diễn theo hệ tọa độ trong không gian cân bằng nội
như sau:
**
1*1*
CTxy
BuTATxTx
(1.20)
Từ không gian cân bằng trên, mô hình bậc thấp có thể tìm được bằng
cách loại bỏ các trị riêng ít đóng góp vào sự tạo dựng mối quan hệ giữa đầu
vào và đầu ra của hệ.
Phương pháp cân bằng nội cũng đã được phát triển đối với bài toán cần
phải xem xét theo tư duy hệ kín. Cụ thể, Jonekheere và Silverman đã chứng
minh tính bất biến theo hệ tọa độ của tập giá trị riêng đặc trưng cho hệ trong
cấu trúc vòng kín và đề xuất mô hình giảm bậc đối với bộ bù trừ động học
[19]; Mustafa và Glover đề xuất một sự kết hợp giữa phương pháp cân bằng
nội với phương pháp H để xác định tham số bộ điều khiển giảm bậc và đề
xuất phương án bù trừ trong miền tần số [28].
1.3.5 Các phương pháp sử dụng phép gần đúng tối ưu
Thay vì tìm mô hình giảm bậc mô hình bảo toàn các giá trị riêng quan
trọng của mô hình gốc bậc cao, người ta có thể bỏ qua điều kiện bảo toàn đó
áp dụng
với sai số đầu ra (hệ phương trình thu được từ việc cho đạo hàm bậc nhất của
hàm tiêu chí theo các biến số bằng không), Hyland và Bernstein đã phát hiện
thấy sự tồn tại một phép chiếu tối ưu [17]. Qua các thành phần cấu thành phép
chiếu tối ưu đó, quan hệ giữa tham số của mô hình giảm bậc được xác lập
theo các tham số của mô hình gốc. Hơn nữa, điều kiện để mô hình giảm bậc
có tính điều khiển và kiểm tra đối với một mô hình gốc điều khiển và quan sát
được cũng được xác lập qua điều kiện về hạng của các ma trận thích hợp và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
16
hai phương trình Lyapunov biến dạng ghép nhau trong hệ phương trình chiếu
tối ưu (OPEQ). Ý nghĩa của việc xác định các điều kiện cần theo tiêu chí tối
ưu L
2
đối với bài toán giảm bậc mô hình dưới dạng OPEQ nằm ở tính đa
nghiệm của bài toán tối ưu vì hiệu quả của việc ghép hai phương trình
Lyapunov biến dạng trong OPEQ có thể thấy giống như kết quả của một điều
kiện ràng buộc thêm với tiêu chí L
2
. Từ đó, điều kiện đủ đối với bài toán giảm
bậc mô hình có thể thu được, khi áp dụng cả tiêu chí L
2
và điều kiện giới hạn
H đinh trước [18]. Tuy nhiên, khi áp dụng OPEQ do Hyland và Bernstein
phát triển sẽ gặp rất nhiều khó khăn, trở ngại. Thứ nhất, nhu cầu biết trước
tham số của mô hình gốc bậc cao đòi hỏi thực hiện quá trình nhận hệ động
học trước khi tiến hành giảm bậc. Thứ hai, mô hình gốc yêu cầu phải ổn định
và phải đồng thời điều khiển và quan sát được, nhưng thực tế hệ động học sau
hình giảm bậc. Từ đó, qua việc thừa số hóa ánh xạ không đồng dạng, thay vì
phép chiếu tối ưu xiên, phép chiếu tối ưu trực giao được xác lập và OPEQ đối
với bài toán giảm bậc của mô hình có dạng mới, đơn giản hơn. Hiệu ứng của
phép thừa số hóa ánh xạ không đồng dạng đã được tác giả chứng minh có tác
dụng như đã dùng thêm một điều kiện ràng buộc nữa thêm vào quá trình giải
hệ có các phương trình điều kiện Lyapunov ghép với nhau. Tuy nhiên, tầm
quan trọng của phương pháp do San đề xuất trong quá trình xây dựng OPEQ
nằm ở chỗ bảo toàn được ý nghĩa vật lý đặc trưng bởi các trạng thái mong
muốn của hệ gốc trong các trạng thái của mô hình giảm bậc.
1.4 Kết luận
Một mô hình đối tượng hay bộ điều khiển phức tạp, bậc cao thì sẽ gây
khó khăn cho việc thiết kế hệ thống điều khiển. Vì vậy, việc giảm bậc mô
hình để thu được mô hình đơn giản hơn mà vẫn đảm bảo sai số trong phạm vi
cho phép đồng thời bảo toàn một số đặc tính quan trọng của hệ gốc như tính
ổn định và thụ động có ý nghĩa lớn.
Các phương pháp khác nhau tìm mô hình giảm bậc đối với một mô
hình đối tượng hoặc bộ điều khiển phức tạp, bậc cao đều có những ưu điểm,
hạn chế riêng và được sử dụng theo nhu cầu một cách thích hợp. Trong đó,
Copyright: Tài liệu đại học ©