SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THCS
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I. ( 3,0 điểm) Cho
12
12
2
1
+
−
=x
. Tính giá trị của biểu thức sau:
A =
( )
2014
2
3
34519345
22
21
35544)144(






Câu III. ( 4,0 điểm)
1. Cho parabol (P):
2
2xy
−=
và đường thẳng (d):
2−+= aaxy
. Tìm số nguyên
a
sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB =
5
.
2. Cho



≥++
>
1032
0,,
cba
cba
, chứng minh rằng :
2
131
8
9
4
3

Sở giáo dục và đào tạo
Hng yên
đề chính thức
Hớng dẫn chấm
đề thi chọn học sinh giỏi THCS
Năm học 2013 - 2014
Môn toán lp 9
( Hớng dẫn chấm gồm 4 trang)

Chỳ ý: 1) Hng dn chm ny trỡnh by cỏc bc gii v cỏch cho im tng phn ca mi
cõu. Bi lm ca hc sinh yờu cu phi chi tit, lp lun cht ch. Nu hc sinh gii cỏch khỏc
m ỳng thỡ chm im tng phn tng ng.
2) Vic chi tit húa ( nu cú) thang im trong hng dn chm phi bo m khụng lm
sai lch hng dn chm v phi c thng nht thc hin trong t chm.
Cõu Hng dn chm v kt qu im
Cõu I
3,0
im
Cho
12
12
2
1
+

=x
,
tớnh A =
(
)

=
2
)12(
2
1

=
2
12

122 = x

212 =+ x0144
2
=+ xx
(a)
1,0
Do ú:
11)144(144
23345
=++=++ xxxxxx
0,5
=+++
35544
345
xxxx
3

122
2
1
21
22
21
2
=−=
−
=
+
−
⇒ x
x
xx
x
0,5
Do đó A =
( )
10141
2014
3
19
=++
0,5
Câu II.1
2,0
điểm
Tìm các số nguyên
yx,





=
=
⇔
1
0
x
x
0,5
Với
0=x
thì (*)
0)1(
≤−⇔
yy

10 ≤≤⇔ y




=
=
⇒
1
0
y




−=+−
+=−
)2(9218252
)1(24
22
33
yxyx
yxyx
Nhân vế trái của (1) với vế phải của (2) và nhân vế phải của (1) với vế trái của
(2) ta có:

)218252)(2()4)(9(
2233
yxyxyxyx +−+=−−

⇔
0)218252)(2()4)(9(
2233
=+−+−−− yxyxyxyx

⇔

031328
3223
=+−+ yxyyxx

0,5


)1;1();1;1();(
−−=
yx
( thử vào hệ thấy thỏa mãn)
0,5
Với
xy 4
=
tìm được
)0;0();( =yx
( thử vào hệ không thỏa mãn)
0,5
Với
xy
3
2
−
=
tìm được
)0;0();(
=
yx
( thử vào hệ không thỏa mãn)
Vậy hệ có nghiệm
)1;1();1;1();(
−−=
yx

0,5

a
x
−
−=
là hoành độ các điểm A, B
0,5
Khi đó A
)2;1(
−−
; B
)
2
)2(
;
2
2
(
2
−
−− aa

Do đó AB =
5

⇔
AB
2
= 5
⇔


)4(
222
=
−
+
−
⇔
aaa

048178
234
=−−+−⇔ aaaa

0)256)(2(
23
=++−−⇔ aaaa




=++−
=
⇔
0256
2
23
aaa
a
0,5


cba
cba
, chứng minh rằng :
2
131
8
9
4
3
≥+++++
cba
cba
Sử dụng bất đăng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

2
1
≥+
a
a

2
3
)
1
(
4
3
≥+⇒
a
a

1
≥+⇒
c
c
1,0
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta có:
4
1
8
9
4
3
4
1
2
1
4
3
≥+++++
cba
cba
(3)
0,5
Từ
1032 ≥++ cba
ta có
2
5
4
32

0,5
Câu IV
6,0
điểm
I
H
I
K
A
B
C
M
D
E
1.
Ta có:
0
90=∠=∠ ADHAEH

⇒

AEHD
nội tiếp (5)
0,5
5
Lại có: Tứ giác
BEKI
nội tiếp
ABCEKI ∠−=∠⇒
0

AEKD
nội tiếp (6)
1,0
Từ (5) và (6) suy ra
DKHEA ,,,,
thuộc một đường tròn.
0,5
2.
Ta có:
0
90
=∠=∠
BDCBEC

⇒
Tứ giác
BEDC
nội tiếp
ABCADE
∠=∠⇒
(7)
Từ (6)
⇒

AKEADE
∠=∠
(8)
Từ (7) và (8)
AKEABC
∠=∠⇒

ICDIDC ∠=∠⇒
0,5

AID
∆
có
ICKKCDICDIDCIACDIA
∠+∠=∠=∠=∠+∠
Mà tứ giác
DKIC
nội tiếp
KCDDIA ∠=∠⇒
Do đó
ICKIAC
∠=∠
(11)
0,5
Tứ giác
AEKD
nội tiếp
KEDIAC ∠=∠⇒
(12)
0,5
Từ (11) và (12) suy ra
ICKKED
∠=∠

MEKC
⇒
nội tiếp.

⊥
AB; GN
⊥
OB; GP
⊥
OA.

∆
OAB đều cạnh bằng 4 có đường cao
32
2
34
=
⇒
GA =
3
34
0,5
Các tứ giác GMBN, GMAP, GPON nội tiếp trong đường tròn đường kính
GB, GA, GO đều bằng
3
34
.
0,5
Theo nguyên lý Điriclê có ít nhất 2 điểm trong 4 điểm đang xét nằm trong
hay trên cạnh một trong 4 tứ giác nói trên, giả sử tứ giác đó là GMBN
⇒

khoảng cách giữa hai điểm đó không vượt quá đường kính GB =
3