Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)

Nội dung

7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
7.2 – Chéo hóa ma trận.
7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.
7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.
7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.
7.6 – Dạng toàn phương
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

v
Av
u
Au
Ví dụ.
3 2
1 0
A

 

 
 
1

5 2 5 20

    
 
    

    
Au
Ví dụ
1 6
5 2
A
 

 
 
6
5
u
 

 

 
3
2
v
 

 

u
 
   
 

 
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Giải. Xét hệ phương trình
1
Ax x


Ví dụ.
3 4
6 5
A
 

 
 
1 2
1; 3
 
  
Số nào là trị riêng của A?
1 1
2 2
3 4
1


 
khi đó
1
.


Ax x
Vậy là trị riêng.
1

Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng.
2

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Hệ thuần nhất có nghiệm khác không
Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương
trình đặc trưng.


Giả sử là trị riêng của ma trận A
0

0 0 0 0
0 :
x Ax x

   
0 0 0


 
A I
(Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo )

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.
Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của
phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại.
Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR (chẳng hạn)
1

1
( ) 0.

 
A I X
bằng cách giải hệ phương trình
Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng
với trị riêng
1
.

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng
tương ứng với trị riêng đó.
Định nghĩa
Không gian nghiệm của hệ được gọi là
Định nghĩa
không gian con riêng ứng với TR , ký hiệu

2 4 2
1 1 3
 
 

 
 
 
A
det( ) 0
A I

 
Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của
các kgian con riêng ứng.
Lập phương trình đặc trưng của A:
3 1 1
2 4 2 0
1 1 3




  

2 1
( 2) ( 6) 0
 
   
BĐS = 2

   
 
   
 
 
   
   
 
 
   
 
Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát
1 0
0 , 1
1 1
 
   
 
   
 
   
   
 
 
   
 
là cơ sở của kgian
con riêng
1
2


1
dim( ) 2
E


Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con
riêng ứng với trị riêng
2
6.


7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Ví dụ.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
 
 
 

 
 
 


   

A

0


Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của
TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớn hơn hoặc bằng n -1.
1

Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

1) là trị riêng của A
0

Ví dụ. Cho là trị riêng của ma trận vuông A.
0

1) Chứng tỏ là trị riêng của ma trận A
m
.
0
m

2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng của A
-1.
0
1

0 0 0 0
0 :
x Ax x


 
det( )
B I


1
det( )
P AP I


 
1 1
det( )
P AP P IP

 
 
1
det( ( ) )
P A I P


 
1
det( ).det( ).det( )
P A I P


 

a a
 
 

 
 
 

  

11 1
1
n
n nn
p p
P
p p
 
 

 
 
 

  



*1 *2 *
n

n
P P P
11 11
1
1 1
1
n n
n nn nn
n
a a p
AP
a a p
p
p
  
  

  
  
  
 
   
 
 
Cột thứ nhất của AP là:
7.2 Chéo hóa ma trận

A P PD
 
1



*1
1
P


Vậy
*1 1 *1
AP P


Hay là trị riêng của A.
1

là véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng
*1
P
1
.

7.2 Chéo hóa ma trận

Hoàn toàn tương tự ta thấy:
Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A.
Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng của A.
Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêng
của A) độc lập tuyến tính.
Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n
véctơ riêng độc lập tuyến tính.

2
( ) 0.
A I X

 
Nếu BHH của bằng 2, thì BHH của cả hai trị riêng bằng
BĐS của chúng, suy ra A chéo hóa được để tạo nên ma trận P.
2
2


Trong trường hợp này, ta chọn đủ 3 VTR độc lập tuyến tính: 1
VTR ứng với và 2 VTR ứng với .
1

2

7.2 Chéo hóa ma trận

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác
định bội đại số của từng trị riêng.
Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n.
Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị
riêng. Tìm cơ sở của các không gian con riêng. Xác định
bội hình học của trị riêng.
Bước 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS
của TR này thì A không chéo hóa được.
Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được. Ma trận P có
các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tử
trên đường chéo chính của D là các trị riêng.


Bước 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A
1
1


Cơ sở :
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
v
2
2

 
Cơ sở :
2 3
1 1
1 ; 0
0 1
u u
 
   

   
 
7.2 Chéo hóa ma trận

Bước 3.
BHH của
2
2
dim( ) 2
E


 
= BĐS của .
2

BHH của
1
1
dim( ) 1
E


 
= BĐS của .
1

Vậy A chéo hóa được.
1 1 1
1 1 0

A
 
 
   
 
 
 
3 2 2
0 det( ) 3 4 ( 1)( 2)
A I
    
         
1
1
1
1
u
 
 
 
 
 
 
2
1
1
0
u

 

A
 
 
 


 
 
  
 
b) Tính A
100
2 2
0 det( ) ( 5) ( 3)
A I
  
    
1 2
8 16
4 4
;
1 0
0 1
u u
 
   
   
   
 
   