BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
NGHIÊM THỊ BÌNH

ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S Nguyễn Văn Hùng
các công trình đã có trƣớc đó.
Tôi cũng xin cam đoan rằng các nội dung tham khảo, thông tin trích dẫn
trong luận văn đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn
Nghiêm Thị Bình

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Phƣơng trình vi phân 3
1.1.1. Phƣơng trình vi phân cấp một 3
1.1.2. Phƣơng trình vi phân cấp cao 4
1.1.3. Phƣơng trình vi phân hai 6
1.1.4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. 6
1.1.5. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số. 8
1.1.6. Nguyên lý chồng chất nghiệm. 10
1.2. Mạch điện và mô hình mạch điện 11
1.2.1. Định nghĩa mạch điện: 11
1.2.2. Cấu trúc của mạch điện. 11
1.2.3. Các hiện tƣợng điện từ. 12
1.2.4. Mô hình mạch điện 12
1.2.5. Các khái niệm cơ bản trong mạch điện 13

3.2.2 Đáp ứng ép của mạch điện 33
3.3. Phƣơng trình vi phân cấp hai – mạch điện với hai phần tử tích
trữ năng lƣợng 34
3.3.1. Phƣơng trình vi phân cấp hai đối với các đáp ứng. 34
3.3.2. Đáp ứng tự nhiên của mạch điện. 35
3.3.3. Đáp ứng ép của mạch điện bậc 2. 39
3.3.4. Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 41
3.3.5. Phƣơng trình vi phân cấp 2 với Mạch RLC khi đóng vào nguồn
điện áp không đổi……………………………………………………… 43
3.4. Ứng dụng Matlab vào bài toán mạch điện. 46
KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong việc nghiên cứu các vấn đề của toán học, lĩnh vực phƣơng trình vi
phân không còn là vấn đề mới mẻ, nhƣng chúng luôn thu hút đƣợc sự quan
tâm mạnh mẽ của các nhà toán học, các nhà ứng dụng học, chúng đƣợc khai
thác rất sâu và rộng.
Ngƣời ta thấy rằng hầu hết các quy luật của khoa học tự nhiên, của kinh
tế, hay của kỹ thuật đều đƣợc phát biểu dƣới dạng các phƣơng trình vi phân.
Từ những năm 60 của thế kỷ 20, nhiều nhà nghiên cứu nƣớc ngoài đã bắt tay
vào nghiên cứu các tính chất định tính các mô hình điều khiển kỹ thuật một
cách mạnh mẽ. Đặc biệt những kiến thức về phƣơng trình vi phân đã đƣợc
ứng dụng vào ngành kỹ thuật điện.
Thật vậy, cuộc sống con ngƣời hiện nay đã gắn liền với ánh sáng của
điện, Câu hỏi đặt ra là những nguồn ánh sáng đó xuất hiện từ đâu? Cơ chế xây
dựng và hoạt động của nó nhƣ thế nào? Một phần đƣợc giải thích nhờ những

1.1.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1
Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là
( , , ') 0F x y y 
(1.1)
trong đó hàm F xác định trong miền
3
RD

Nếu trong miền D, từ phƣơng trình (1.1) ta có thể giải đƣợc
y


' ( , )y f x y
(1.2)
thì ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp 1 đã giải ra đạo hàm.
Hàm
()yx


xác định và khả vi trên khoảng
( , )I a b
đƣợc gọi là
nghiệm của phƣơng trình (1.2) nếu:
1.
( , ( ), '( )) Dx x x


với mọi
xD


( , ) ; ( , )x y D x y D   
4
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Giả sử hàm
( , )f x y
thỏa mãn điều kiện
i, Hàm
( , )f x y
liên tục trong miền D
ii, Hàm
( , )f x y
thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo y trong D
Khi đó ứng với mỗi điểm
00
( , ) Dxy
tồn tại duy nhất nghiệm
()y y x
của
phƣơng trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu
00
()y x y

Nghiệm tổng quát: Ta nói rằng hàm
( , )y x C


(1.4)
là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.2) trong miền G nếu:

n
R
. Trong
phƣơng trình (1.7) có thể vắng mặt một trong các biến x, y,
y

, …,
 
n1
y


nhƣng
 
n
y
nhất thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.7) ta giải ra đƣợc đạo hàm cấp cao nhất, tức là phƣơng trình (1.7) có
dạng:
(n) ( 1)
( , , ', ,y )
n
y f x y y


(1.8)
thì ta đƣợc PTVP cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất.

5
Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm

12
( , , , , )
n
y x C C C


có các đạo hàm riêng theo
x
liên tục đến
cấp n đƣợc gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.8) trong miền G nếu
từ hệ phƣơng trình:
0 0 1
0 0 1
( 1) ( 1)
0 0 1
( , , ,
' '( , , ,

( , , ,
n
xn
nn
xn
y x C C
y x C C
y x C C




















(1.10)
Và hàm
0 0 0
12
( , , , , )
n
y x C C C


là nghiệm của phƣơng trình (1.8) ứng
với mỗi hệ số
0 0 0
1 2 n
C ,C , ,C
đƣợc xác định từ (1.10) khi

trong đó
000
, , 'x y y
là các giá trị cho trƣớc.
Điều kiện Lipschizz: Trong miền G hàm
( , , ')f x y y
thỏa mãn điều kiện
Lipschizz biến
,'yy
nếu tồn tại hằng số
0L 
sao cho:

 
1 1 2 2 1 2 1 2
( , ,y ') ( , ,y ') ' 'f x y f x y L y y y y    

Với
1 1 2 2
( , ,y ') ; ( , ,y ')x y G x y G   

Định lý về sự tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm.
Định lý 1.1. Giả sử hàm
( , , ')f x y y
thỏa mãn điều kiện
i, Hàm
( , , ')f x y y
liên tục trong miền G
ii, Hàm
( , , ')f x y y


thì (1.13) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính
cấp 2 không thuần nhất.
Và đặc biệt khi
( ) , ( )p x q x
là những hằng số thì (1.13) còn đƣợc gọi là
phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số.
Phƣơng pháp giải:
1. Giải phƣơng trình có dạng:
'' ( ) ' ( ) 0y p x y q x y  
(1.14)

Cấu trúc nghiệm của phƣơng trình phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Định lý 1.2. Nếu
12
( ), ( )y x y x

là hai nghiệm nào đó của phƣơng trình (1.14),
thì

(trong đó
12
,CC
là hằng số tùy ý ), cũng là nghiệm của phƣơng trình (1.14).
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.
Định lý 1.3. Nếu
12
( ), ( )y x y x

là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phƣơng

1.1.5. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số.
Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số là phƣơng
trình có dạng:
'' ' ( )y py qy f x  
(1.15)
trong đó:
,pq
là các hằng số,
()fx
là hàm liên tục.
Nếu
( ) 0fx

thì (1.15) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính
cấp 2 hệ số hằng số thuần nhất.
Nếu
( ) 0fx

thì (1.15) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính
cấp 2 hệ số hằng số không thuần nhất.
Phƣơng pháp giải:
1. Giải phƣơng trình
'' ' 0y p y q y  
(1.16)
Bƣớc 1. Giải phƣơng trình đặc trƣng
2
0k pk q  
, tìm đƣợc nghiệm
12
,kk

là các hằng số )
Trƣờng hợp 2. Nếu
12
,k k R
và
12
kk
lúc đó ta có hai nghiệm riêng độc lập
tuyến tính là
11
12
( ) , ( )
k x k x
k x e k x xe

Khi đó phƣơng trình có nghiệm tổng quát:
1
12
( )e
kx
Y C C x

Trƣờng hợp 3. Nếu
12
,k k R
là hai số phức liên hợp
12
,k i k i
   
   

Trong đó Y là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất,
y
là một
nghiệm riêng của phƣơng trình (1.15). Nếu
()fx
là một hàm liên tục thì cách
tìm nghiệm riêng
y
vẫn phải dùng phƣơng pháp biến thiên hằng số.
Trong chƣơng trình này ta chỉ xét
()fx
ở hai trƣờng hợp sau đây:
 
( ) (x)
( ) ( )cos ( )sin
x
n
x
nm
f x p e
f x p x x p x x e












.
Trong đó
()
n
Qx
là đa thức cùng bậc n với
()
n
Px

Để xác định hệ số của đa thức
()
n
Qx
ta đạo hàm
' ; ''yy
thay vào
phƣơng trình (1.15) ta đƣợc:
2
''( ) (2 ) '( ) ( p q)Q ( ) ( )
x
n n n n
Q x p Q x x P x e

  
     

Trƣờng hợp 2:

có dạng:
2
( )e
x
n
y x Q x



Xét phƣơng trình dạng:
 
'' ' ( )cos ( )sin
x
nm
y py qy P x x P x x e


   
(1.17)

Nếu
i


không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng
đƣợc tìm dƣới dạng:
 
( )cos ( )sin
ax
ll




.

1.1.6. Nguyên lý chồng chất nghiệm.
Giả sử cho phƣơng trình :
12
'' ' ( ) ( )y p y q y f x f x   
(1.18)
Trong đó
,pq
là những hàm số của
x
, hoặc những hằng số.
Nếu
1
()yx
là một nghiệm riêng của phƣơng trình
1
'' ' ( )y p y q y f x  

Nếu
2
()yx
là một nghiệm riêng của phƣơng trình
2
'' ' ( )y p y q y f x  

Thì Nguồn điện: Là nguồn dùng để cung cấp năng lƣợng điện hoặc tín hiệu
điện cho mạch, nguồn đƣợc biến đổi từ các dạng năng lƣợng khác sang điện
năng.
Ví dụ máy phát điện (biến đổi cơ năng thành điện năng), ắc quy (biến đổi
hóa năng sang điện năng).
Phụ tải: Là thiết bị nhận năng lƣợng điện hay tín hiệu điện. Phụ tải biến
đổi năng lƣợng điện sang các dạng năng lƣợng khác.
Dây dẫn: Là thiết bị làm nhiệm vụ truyền tải năng lƣợng điện từ nguồn
đến nơi tiêu thụ.
Ngoài ra còn có các phần tử khác nhƣ: Phần tử làm thay đổi áp và dòng
điện trong các phần khác của mạch (nhƣ máy biến áp, máy biến dòng), phần
tử làm giảm hoặc tăng cƣờng các thành phần nào đó của tín hiệu (các bộ lọc,
bộ khuếch đại),…
1.2.2. Cấu trúc của mạch điện
Nhánh: Là tập hợp gồm nhiều phần tử ghép nối tiếp trong đó mạch điện
đƣợc ghép có cùng một dòng điện.
Nút: Là điểm nối của ba nhánh trở lên.
Tải
Nguồn

I
-
+
E
Hình 1.1



di
UL
dt

(Hình 1.3 )
R
i→
Hình 1. 2. Kí hiệu điện trở

13
Phần tử điện dung: Là phần tử đặc trƣng cho hiện tƣợng tích phóng năng
lƣợng điện trƣờng, quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên hai cực tụ điện
du
iC
dt

, là thông số cơ bản của mạch điện, đặc trƣng cho quá trình tích
phóng năng lƣợng điện trƣờng (Hình 1.4 )
Phần tử nguồn: Là phần tử đặc trƣng cho hiện tƣợng nguồn. phần tử
nguồn gồm phần tử nguồn áp và phần tử nguồn dòng.
Phần tử thực: Phần tử thực của mạch điện có thể đƣợc mô tả gần đúng
bởi một hay nhiều phần tử lý tƣởng đƣợc ghép với nhau theo một cách nào
đó.

14
Điện áp
Điện áp giữa hai điểm A và B là công cần thiết để làm dịch chuyển một
đơn vị điện tích (1 culong) từ A đến B.
Điện áp ký hiệu là: U (vôn)
Công suất
Xét mạch điện chịu tác động ở hai đầu một điện áp
U
, qua đó sẽ có dòng
điện
I
, Công suất tức thời đƣợc đƣa vào mạch điện (đƣợc hấp thụ bởi mạch
điện):
P( ) .ItU

Đơn vị công suất là watt (w)
P( )t
là một đại lƣợng đại số nên có thể âm hoặc dƣơng tại thời điểm
t

nào đó. Nếu
P0
thì tại thời điểm
t
đó phần tử thực sự hấp thụ năng lƣợng
với công suất là
P
,
còn nếu
P0

Nguồn áp còn biểu diễn bằng sức điện động
e( )t

Hình 1.6. Nguồn sức điện động mắc nối tiếp
b
e
1
e
2
e
3
a

e
t d
= e
1
+e
2
-e
3
b
a

15
e( )t
: Chiều đi từ điểm có hiệu điện thế thấp đến điểm có hiệu điện thế cao.
u( )t
: Chiều đi từ điểm có hiệu điện thế cao đến điểm có hiệu điện thế thấp.
Nguồn dòng điện ghép song song

IA
R


j
3
j
2
j
1

j
t d
= j
1
-j
2
-j
3
i
i i

i


1 2 3
0i i i  

hoặc
1 2 3
0i i i   

Trong đó nếu ta quy ƣớc các dòng điện đi tới nút mang dấu dƣơng thì
các dòng điện rời khỏi nút mang dấu âm và ngƣợc lại.
Định luật Kirchhoff II: Là định luật chỉ rõ các mối liên hệ giữa điện áp trong
một vòng kín, đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, tổng đại số điện áp rơi
trên các phần tử bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng.
11
nm
kj
kj
Ue

  


Định luật Kirchhoff II phát biểu lại nhƣ sau:
Các điện áp đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, và tổng đại số các điện
áp rơi trên các nhánh bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng. trong
đó các suất điện động và dòng điện nào có chiều trùng với chiều đi của vòng
sẽ mang dấu dƣơng, ngƣợc lại. (Hình 1.10)
i

17
Chƣơng 2
ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN

2.1. Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện
2.1.1. Điều kiện đầu của mạch điện
Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng
số tích phân dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái này phụ thuộc
vào các đại lƣợng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lƣợng.
Dựa vào tính chất:
Hiệu điện thế ngang qua tụ điện và dòng điện chạy qua cuộn dây không
thay đổi tức thời là:
(0 ) (0 )CC
vv


và
(0 ) (0 )LL
ii



Nếu mạch không tích trữ năng lƣợng ban đầu thì
(0 ) (0 )
0
CC
vv



là
0
I

thì ở
0t 
giá
trị đó cũng là
0
I

ta thay bằng một nguồn dòng điện.
Các kết quả trên đƣợc tóm tắt lại trong bảng nhƣ sau: .

18
Phần tử với điều kiện đầu
Mạch tƣơng đƣơng
Giá trị đầu
R

RL

Mạch hở
(0 ) I (0 ) 0
LL
I    



0
te
c
cc
du
u C i C
dt
   
(mạch hở)
và
0
te
L
LL
di
i C u L
dt
   
(mạch nối tắt)
Do đó, ở trạng thái thƣờng trực DC, tụ điện đƣợc thay bằng một mạch hở
và cuộn dây đƣợc thay bằng một mạch nối tắt.
Kết luận: Đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một
khóa K, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch kia.
Bài toán 2.1: Xác định hiệu điện thế
()vt
trong mạch (Hình 2.1a). Biết rằng
mạch đạt trạng thái thƣờng trực trƣớc khi mở khóa K. (b) (c) (Hình 2.1b) là mạch tƣơng đƣơng của (Hình 2.1a) ở thời điểm
0t 
, tức
mạch (Hình 2.1a) đạt trạng thái thƣờng trực, tụ điện tƣơng đƣơng với mạch
hở và điện trở tƣơng đƣơng của phần mạch nhìn từ tụ về bên trái:
3(2 4)
8 10( )
3 (2 4)
t
R

   


và hiệu điện thế
(0 )v 
xác định nhờ cầu phân thế
10
và
15

10

10
( ) 40. (V)
t
v t e



Kết luận: Hàm
()vt
giảm dần theo thời gian, đây chính là đặc trƣng của
quá trình tụ xả điện, sau khi đấu điện trở song song với nguồn tụ sẽ xả điện,
thời gian càng lâu thì điện áp hai đầu tụ sẽ xả về bằng 0.

v(0-)
+
-
100
K
15()
3()
4()
8()
2()
+
-
v(t)
1F
10()
+
-

Xác định dòng
(t)i
này (tƣơng ứng với thời gian
0t 
).

(a) (b)

Gọi
()vt
là hiệu điện thế hai đầu tụ lúc
0t 
, Áp dụng định luật Kirchhoff I
cho mạch (Hình 2.2 b)

0
dV V
C
d t R

hay
1
0
dV
V
d t RC


Đây là phƣơng trình vi phân cấp 1 thuần nhất và có nghiệm là:
()

()it
xác định bởi:

0
()
( ) e
t
RC
tV
it
RR



khi
0t 
,
0
(0 )
V
i
R


Hình 2.2