BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN ĐỨC THỊNH
CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI
RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS-TS. PHAN NHẬT TĨNH
HUẾ 2014
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kì một công trình nào
khác.
Trần Đức Thịnh
ii
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn của mình, PGS-TS Phan Nhật Tĩnh. Thầy đã chọn đề tài, cung cấp
tài liệu và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Nhân đây em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong
khoa Toán học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn, các anh chị trong lớp Giải Tích K21,
khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp cũng như

1
Chương 2. Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục 15
2.1. Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1. Một số khái niệm và tính chất liên quan. . 22
2.2.2. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. 23
2.2.3. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . 25
2.2.4. Trường hợp nhân tử Lagrange không phụ thuộc vào hướng. 26
2.3. Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 . . . 33
2.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . 35
2.3.2. Điều kiện đủ cơ bản cấp 2. 37
2.4. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol. . . . . . . 41
2.4.1. Cực tiểu địa phương parabol . 41
2.4.2. Cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2. 42
Chương 3. Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương 45
3.1. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương. . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. 45
3.1.2. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . 48
3.2. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3. Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. 51
3.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . 51
3.3.2. Ví dụ . 53
3.3.3. Điều kiện đủ cơ bản cấp 2. 53
3.3.4. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. 55
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
2
LỜI NÓI ĐẦU

những kiến thức bổ trợ cho chương 2 và chương 3. Cụ thể chương này trình bày
những nội dung sau.
1.1: Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu.
1.2: Hàm số khả vi và định lý giá trị trung bình.
1.3: Garadient suy rộng trong không gian Banach.
1.4: Jacobi suy rộng trên R
n
.
1.5: Đạo hàm theo hướng.
1.6: Hàm tựa lồi, hàm giả lồi.
1.7: Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác.
Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục.
Trong chương này, dựa trên cơ sở các tài liệu tham khảo [2], [4], [5], [6], [7], [9],
[10], tác giả nghiên cứu những nội dung cụ thể sau.
2.1: Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục.
2.2: Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương.
2.3: Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
2.4: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol.
Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương.
Những nội dung được nghiên cứu trong chương này chủ yếu dựa trên cơ sở các
tài liệu tham khảo [12], [3] cụ thể nghiên cứu những vấn đề sau.
3.1: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương.
3.2: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục.
3.3: Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn
đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có
những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô
và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

(x) = 0, j = 1, 2, . . . , q
trong đó hàm f
0
: X → R được gọi là hàm mục tiêu, hàm f
i
: X → R, i =
1, 2, . . . , m và h
j
: X → R, j = 1, 2, . . . , q gọi là hàm ràng buộc. "x ∈ X" gọi là
ràng buộc tập, "f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m" gọi là ràng buộc bất đẳng thức, và
"h
j
(x) = 0, j = 1, 2, . . . , q" gọi là ràng buộc đẳng thức. Lúc này tập chấp nhận
được là
C =

x ∈ X


f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m; h
j
(x) = 0, j = 1, 2, . . . , q

Với mỗi x ∈ C, tập chỉ số tích cực I(x), tập chỉ số không tích cực J(x) được định
nghĩa tương ứng như sau
I(x) =

(x) +
m

i=1
λ
i
f
i
(x) +
q

j=1
µ
j
h
j
(x)
5
Trong trường hợp bài toán (P) không có ràng buộc đẳng thức ta kí hiệu bài
toán là (P ).
Ta nói bộ

x, λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
, µ
1

j
∇h
j
(x) = 0
1.1.2 Các khái niệm cực tiểu.
Xét bài toán (P) và x ∈ C là điểm chấp nhận được. Ta có các định nghĩa sau
Định nghĩa 1.1.
a) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương của bài toán (P)
nến tồn tại lân cận U của x sao cho f
0
(x) ≥ f
0
(x), ∀x ∈ C ∩ U.
b) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu địa phương chặt của bài toán
(P) nến tồn tại lân cận U của x sao cho f
0
(x) > f
0
(x), ∀x = x, x ∈ C ∩U.
c) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu toàn cục của bài toán (P ) nếu
f
0
(x) ≥ f
0
(x), ∀x ∈ C.
d) Điểm chấp nhận được x được gọi là cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P)
nếu f
0
(x) > f
0

f
0
(x + td + 0.5t
2
z) ≥ f
0
(x) + Atd + 0.5t
2
z
2
, ∀t ∈ [0, ε)
trong đó x + td + 0.5t
2
z là một điểm chấp nhận được.
6
1.2 Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình.
Định nghĩa 1.2 ([7] Tr. 200). Cho X ⊂ R
n
là tập mở và f là một hàm nhận
giá trị thực xác định trên X (tức là f : X → R, sau này để đơn giản ta nói f là
hàm thực xác định trên X). Hàm f được gọi là khả vi tại x ∈ X nếu với mọi
x ∈ R
n
sao cho x + x ∈ X ta có
f(x + x) = f(x) + t(x), x + α(x, x) x
trong đó t(x) là một véc tơ n chiều, và α là một hàm thực của x sao cho
lim
x→0
α(x, x) = 0.
Véc tơ t(x) trong Định nghĩa này gọi là Gradient của f tại x và được kí hiệu là

Với mỗi v ∈ X, ta gọi đạo hàm theo hướng suy rộng của f tại x theo hướng v, kí
hiệu f
0
(x, v), được định nghĩa như sau
f
0
(x, v) = lim sup
y→x,t→0
+
f(y + tv) − f(y)
t
Do tính Lipschitz địa phương của hàm f nên giới hạn này luôn luôn tồn tại.
7
Mệnh đề 1.1. [1] Cho hàm f Lipschitz gần x với hằng số K, khi đó ta có
a) Hàm f
0
(x, ·) hữu hạn, lồi, thuần nhất dương trên X, hơn nữa,


f
0
(x, v)


≤ K v, ∀v ∈ X.
b) Hàm hai biến f
0
(·, ·) là nửa liên tục trên tại (x, v), hàm một biến f
0
(x, ·)

f(x), là một tập con của X
∗
xác định bởi
∂
C
f(x) =

ξ ∈ X
∗


f
0
(x, v) ≥ ξ, v, ∀v ∈ X

Mệnh đề 1.2 ([3] Proposition 2.1.2). Nếu f Lipschitz gần x với hằng số K thì
a) ∂
C
f(x) khác rỗng, lồi, compact yếu
∗
và ξ
∗
≤ K với mọi ξ ∈ ∂
C
f(x).
b) Với mọi v ∈ X ta có f
0
(x, v) = max

ξ, v

∗
.
1.4 Jacobi suy rộng trên R
n
.
Định lý 1.4 (Rademacher). Cho hàm f xác định trên R
n
nếu f Lipschitz địa
phương thì f khả vi hầu khắp nơi (theo độ đo Lebesgue).
8
Định nghĩa 1.6 ([10] Tr. 15). Cho f : R
n
→ R
n
là hàm véc tơ Lipschitz địa
phương tại x. Jacobi suy rộng Clarke của hàm véc tơ f tại x, kí hiệu ∂f(x) được
định nghĩa như sau
∂f (x) = co

lim
i→∞
∇f(x
i
) |x
i
∈ Ω, x
i
→ x

,

trong đó Ω là tập các điểm mà tại đó f khả vi 2 lần. Nói cách khác nó là Jacobi
suy rộng Clarke của ∇f tại x.
Tính chất 1.1. [6]
a) ∂
2
f(x) khác rỗng, lồi và compact.
b) Tập ánh xạ đa trị x ⇒ ∂
2
f(x) là bị chặn địa phương, tức là tồn tại một lân
cận V của x và hằng số K sao cho
sup

M|M ∈ ∂
2
f(x), x ∈ V

≤ K.
c) ∂
2
f là nửa liên tục trên (hoặc đóng), nghĩa là nếu x
k
→ x và M
k
→ M,
M
k
∈ ∂
2
f(x
k


−
(x, u) = lim inf
t→0
+
f(x + tu) −f(x)
t
.
9
Định nghĩa 1.9 ([12] Definition 2). Cho X ⊂ R
n
và f : X → R. Đạo hàm theo
hướng (Dini) của f tại x ∈ X theo hướng u ∈ R
n
, kí hiệu f

(x, u), là phần tử
thuộc R, được định nghĩa như sau
f

(x, u) = lim
t→0
+
f(x + tu) −f(x)
t
(1.2)
Hàm f được gọi là khả vi theo hướng (Dini) trên X nếu f

(x, u) tồn tại với mọi
x ∈ X và mọi u ∈ R

+
2
t
2

f(x + tu) −f(x) − t ∇f(x), u

Hàm f được gọi là khả vi cấp 2 theo hướng (Dini) trên X nếu f

(x, u) tồn tại
với mọi x ∈ X và bất kì hướng u ∈ R
n
.
1.5.2 Đạo hàm theo hướng Hardamard .
Định nghĩa 1.11 ([12] Definition 4). Cho X là một tập mở trong không gian
Banach E. Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương. Đạo hàm cấp 2 theo
hướng Hadamard dưới của f tại x theo hướng d ∈ E, kí hiệu f

H
−
(x, d), là phần
tử thuộc R được định nghĩa như sau
f

H
−
(x, d) = lim inf
(t,d

)→(0


H
(x, d) = lim
(t,d

)→(0
+
,d)
2
t
2

f(x + td

) − f(x) − tf
0
(x, d)

.
Hàm f được gọi là khả vi cấp 2 theo hướng Hadamard tại x theo hướng d ∈ E
nếu f

H
(x, d) tồn tại với mọi x ∈ X và bất kì hướng d ∈ E.
10
1.6 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi.
1.6.1 Hàm tựa lồi.
Định nghĩa 1.13. [7] Một hàm thực f xác định trên tập X ⊂ R
n
được gọi là







=⇒ f

(1 − t)x + ty

≤ f(x).
hoặc
∀x, y ∈ X
∀t ∈ [0, 1]

=⇒ f

(1 − t)x + ty

≤ max

f(x), f(y)

.
Định nghĩa 1.15. [7] Một hàm thực f xác định trên tập X ⊂ R
n
được gọi là
tựa lồi chặt tại điểm x ∈ X nếu
∀y ∈ X
f(y) < f(x)




=⇒ f

(1 − t)x + ty

< f(x).
11
hoặc
∀x, y ∈ X
∀t ∈ (0, 1)

=⇒ f

(1 − t)x + ty

< max

f(x), f(y)

.
1.6.2 Hàm giả lồi.
Định nghĩa 1.17. [7] Cho hàm f : X → R với X là tập mở trong R
n
. Hàm f
được gọi là giả lồi tại x ∈ X nếu nó khả vi tại x và
∀y ∈ X
∇f(x), y −x ≥ 0


(x, y −x) < 0.
Mỗi hàm 2-giả lồi chặt là 2- giả lồi.
12
Định nghĩa 1.20 ([8] Definition 1 - Tr. 249). Cho X ⊂ R
n
là tập mở, f : X → R
và n là một số nguyên dương. Hàm f được gọi là giả lồi cấp n trên X (gọi tắt
là n-giả lồi) nếu với mọi x, y ∈ X mà f(y) < f(x) thì tồn tại một số nguyên
dương m ≤ n sao cho f
(i)
−
(x, y − x) = 0 với mọi số nguyên dương i < m và
f
(m)
−
(x, y −x) < 0.
Trong đó f
(m)
−
(x, y − x) = lim inf
t→0
+
m!
t
m

f

x + t(y − x)


Hàm f được gọi là giả lồi cấp 2 trên X nếu f giả lồi cấp 2 tại mọi x ∈ X.
1.6.3 Một số ví dụ.
Từ Định nghĩa 1.20, ta có mỗi hàm n-giả lồi là (n + 1)-giả lồi. Ví dụ 1.1 sau cho
thấy điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.1 ([8] Example 1 - Tr. 249). Xét hàm f
n
: R → R với n ≥ 2 là số nguyên
dương, được định nghĩa như sau
f
n
(x) =



x
n
, x ≥ 0
(−1)
n−1
x
n
, x < 0
.
Tại x = 0 ta có f là n-giả lồi nhưng không (n − 1)-giả lồi.
Ví dụ 1.2.
a) Hàm f : R → R, f(x) = x
3
là khả vi, tựa lồi chặt nhưng không giả lồi. Nói
riêng tại x = 0 ta có f là 3-giả lồi nhưng không 2-giả lồi.
b) Hàm f : R → R đồng biến, hoặc nghịch biến trên tập xác định là tựa lồi.

ξ
∗
= sup

ξ, v


v ∈ E, v ≤ 1

.
Định nghĩa 1.22. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và µ
n
, µ ∈ X
∗
.
Ta nói rằng µ
n
hội tụ yếu
∗
đến µ, và viết µ
n
w∗
//
µ , nếu
∀x ∈ X, lim
n→∞
µ
n
, x = µ, x
Định nghĩa 1.23. Giả sử X là một không gian tôpô, f : X → R là hàm thực mở

Xét bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập sau
(P ) :







f
0
(x) −→ min
x ∈ X
f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, . . . , m
trong đó X ⊂ R
n
và f
i
, i = 0, 1, . . . , m, là các hàm thực xác định trên X. Các kết
quả đưa ra ở đây đều thu được từ bài toán không trơn dựa trên đạo hàm cấp 2
theo hướng. Để có được điều kiện tốt hơn, ta thừa nhận rằng nhân tử Lagrange
phụ thuộc vào hướng.
Tập chấp nhận được là S =

x ∈ X


f

2.1 Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục.
Trong mục này ta giả sử rằng f
i
, i = 0, 1, . . . , m, là các hàm thực xác định trên
không gian Euclide hữu hạn chiều R
n
.
15
Bổ đề 2.1 ([7] Theorem 9.1.4). Cho X là tập mở trong R
n
, f là hàm thực xác
định trên X, f khả vi và tựa lồi tại điểm x ∈ X. Khi đó ta có
∀y ∈ X, f(y) ≤ f (x) =⇒ ∇f(x), y −x ≤ 0 (2.1)
Chứng minh. Lấy y ∈ X tùy ý. Nếu x = y thì rõ ràng (2.1) đúng. Nếu x = y, vì
X là tập mở nên có hình cầu mở B
δ
(x) = {z|z −x < δ} trong X. Với mỗi µ sao
cho µ ∈ (0, 1) và µ <
δ
y − x
, xét x = x + µ(y − x) = (1 −µ)x + µy, ta có
x − x = µ y − x < δ ⇒ x = (1 − µ)x + µy ∈ B
δ
(x) ⊂ X
Do f tựa lồi tại điểm x ∈ X nên
y ∈ X
f(y) ≤ f(x)
µ ∈ (0, 1), µ <
δ
y − x

f(x) ≤ f(x)
∀t ∈ (0, 1]
(1 − t)x + tx ∈ X











=⇒ f

(1 − t)x + tx

≤ f(x).
Suy ra f

(1 − t)x + tx

− f(x) ≤ 0. Do f khả vi tại x nên với mọi t ∈ (0, 1] ta có
t ∇f(x), x − x + α

x, t(x −x)

tx − x = f


i
(i ∈ I(x)) là tựa lồi tại x. Nếu mỗi hướng tới hạn d ∈ R
n
tồn tại nhân
tử Lagrange không âm λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
sao cho
λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0,
L

(x, d) ≥ 0
trong đó L(x) = f
0
(x) +
m

i=1
λ
i
f
i

λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m, (2.3)
∇L(x) = 0 (2.4)
L

(x, d) ≥ 0. (2.5)
Với mỗi i ∈ J(x) ta có f
i
(x) < 0 nên từ (2.3) suy ra λ
i
= 0, ∀i ∈ J(x). Từ giả
thiết (2.4) ta có
0 = ∇L(x), x − x
= ∇f
0
(x), x −x +
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x), x −x
= ∇f
0
(x), x −x +

0
(x, x −x) < 0. Do đó
L

(x, x −x) = f

0
(x, x −x) +

i∈I(x)
λ
i
f

i
(x, x −x)
<

i∈I(x)
λ
i
f

i
(x, x −x)
17
=

i∈I(x),λ
i

(x)
t
2
/2
Do f
i
, i ∈ I(x) tựa lồi tại x nên f
i
(x + t(x − x)) ≤ f
i
(x) = 0 với mọi i ∈ I(x) và
với mọi t ∈ [0; 1] đủ nhỏ. Từ đây suy ra L

(x, x − x) < 0 điều này mâu thuẫn với
(2.5). Vậy x là một cực tiểu toàn cục của bài toán (P ).
• Định lý 2.1 là sự tổng quát hóa kết quả của Định lý 2.2 sau đây do Mangasarian
đưa ra trong [7] vì mọi hàm giả lồi khả vi đều là 2-giả lồi.
Định lý 2.2 ([7] Theorem 10.1.2). Cho X ⊂ R
n
là tập mở, f
i
(i = 0, 1, . . . , m)
là các hàm thực xác định trên X và x là điểm chấp nhận được. Giả sử f
i
(i ∈
{0}∪ I(x)) khả vi tại x, f
0
giả lồi tại x, và f
i
(i ∈ I(x)) tựa lồi tại x. Nếu tồn tại


f
i
(x) = 0

; J(x) =

i ∈ {1, 2, . . . , m}


f
i
(x) < 0

Theo giả thiết ta có λ
i
f
i
(x) = 0, ∀i = 1, . . . , m suy ra λ
i
f
i
(x) = 0, ∀i ∈ J(x) mà
f
i
(x) < 0, ∀i ∈ J(x) nên λ
i
= 0, ∀i ∈ J(x). Lấy x ∈ S tùy ý thì f
i
(x) ≤ 0, i =

i
(x), x −x +

i∈J(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x
=

i∈I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0
Nhưng theo giả thiết ta có
0 = ∇L(x) = ∇f
0
(x) +
m

i=1
λ
i
∇f
i
(x)
18

(x), ∀x ∈ S.
Vậy x là một cực tiểu toàn cục của bài toán (P ).
Ví dụ 2.1. Xét bài toán đơn giản sau



f
0
(x) → min
f
1
(x) ≤ 0
, trong đó các hàm
f
0
: R → R, f
1
: R → R được định nghĩa tương ứng như sau
f
0
(x) =



x
2
nếu x ≥ 0
−x
2
nếu x < 0

f
0
, f
1
khả vi tại x và khả vi cấp 2 theo mọi hướng hạn d tại x. Hàm mục tiêu
f
0
(x) là 2-giả lồi tại x = 0. Hàm ràng buộc f
1
(x) = −x là tuyến tính nên tựa lồi
tại x. Từ đó với mỗi hướng tới hạn d ta có
λf
1
(x) = 0, ∇L(x) = 0,
L

(x, d) = f

0
(0, d) = lim
t→0
+
2f
0
(td)
t
2
= 2d
2
≥ 0.

(x) = x
3
là tựa
lồi và giả lồi cấp 3 tại x = 0 nhưng không giả lồi cấp 2 tại x = 0. Hàm Lagrange
là L(x) = x
3
+ λx. Tập các hướng tới hạn tại x = 0 là {d ∈ R


d ≤ 0}. Điểm dừng
duy nhất là x = 0 với nhân tử Lagrange λ = 0. Từ đó với mỗi hướng tới hạn d
ta có
λf
1
(0) = 0, ∇L(0) = 0,
19
L

(0, d) = f

0
(0, d) = lim
t→0
+
2f
0
(td)
t
2
= lim

0
(x) ≤ f
0
(x). Kết hợp với f
0
2-giả lồi chặt tại x
ta được ∇f
0
(x), x −x ≤ 0. Do f
i
(i ∈ I(x)) khả vi và tựa lồi tại x nên theo Bổ
đề 2.1 ta có với f
i
(x) ≤ 0 = f
i
(x), ∀i ∈ I(x) thì ∇f
i
(x), x −x ≤ 0, ∀i ∈ I(x). Từ
đây ta có x − x là hướng tới hạn tại x.
Theo giả thiết của định lí ta có tồn tại nhân tử Lagrange không âm λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
sao cho
λ
i
f
i

∇f
i
(x), x −x (2.10)
Vì ∇f
0
(x), x −x ≤ 0 và

i∈I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0 nên từ (2.10), ta có ∇f
0
(x),
x−x = 0 và ∇f
i
(x), x −x = 0, ∀i ∈ I(x) hay ∇f
i
(x), x −x = 0, ∀i ∈ I(x), λ
i
> 0.
Mặt khác f
0
là 2-giả lồi chặt tại x nên f

0
(x, x −x) < 0. Do đó
L


t→0
+
f
i
(x + t(x − x)) − f
i
(x) − t ∇f
i
(x), x −x
t
2
/2
=

i∈I(x),λ
i
>0
λ
i
lim
t→0
+
f
i
(x + t(x − x)) − f
i
(x)
t
2
/2

0
, λ
1
, . . . , λ
m
) = 0 và
λ
i
f
i
(x) = 0, i = 1, 2, . . . , m,
∇L(x) = 0,
L

(x, d) ≥ 0
ở đây L(x) =
m

i=0
λ
i
f
i
(x) thì x là một cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ).
Chứng minh. Giả sử x không phải là cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ), khi
đó tồn tại x ∈ S, x = x mà f
0
(x) ≤ f
0
(x). Với mọi i ∈ I(x) ta có f

đó suy ra được
0 =
m

i=0
λ
i
∇f
i
(x), x −x =

i∈{0}∪I(x)
λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0 (2.11)
Vì λ
i
∇f
i
(x), x −x ≤ 0 với mọi i ∈ {0}∪I(x) nên từ (2.11) suy ra λ
i
∇f
i
(x), x −x
= 0 với mọi i ∈ {0}∪I(x). Do đó với mọi i ∈ {0}∪I(x), λ
i
> 0 ta có ∇f
i

điều này mâu thuẫn. Vậy x là một cực tiểu toàn cục chặt của bài toán (P ).
2.2 Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương.
Trong mục này ta xây dựng điều kiện cần cho cực tiểu địa phương của bài toán
(P ) với giả thiết các hàm khả vi liên tục.
2.2.1 Một số khái niệm và tính chất liên quan.
Xét bài toán (P ). Lấy x ∈ S là điểm chấp nhận được. Ta có các khái niệm sau:
Định nghĩa 2.2. Ta gọi v ∈ R
n
là véc tơ tiếp xúc với S tại x nếu tồn tại một
dãy {x
k
} ⊂ S và một dãy số dương {t
k
} hội tụ về 0 sao cho
v = lim
k→∞
x
k
− x
t
k
.
Định nghĩa 2.3. Tập hợp các véc tơ tiếp xúc với S tại x, được kí hiệu là T (S, x),
gọi là nón tiếp xúc với S tại x. Vậy
T (S, x) =

lim
k→∞
x
k

∈ S, ∀k

Xét M(R
n
, R
n
) là không gian các ma trận vuông n ×n. Xét f : R
n
→ R
n
là hàm
véc tơ liên tục, f = (f
1
, f
2
, . . . , f
m
). Với mỗi v = (v
1
, v
2
, . . . , v
n
) ∈ R
n
ta xét hàm
hợp (vf): R
n
→ R được định nghĩa như sau
(vf)(x) = v, f(x) =

∗
f(x)
Mv, u, ∀u ∈ R
n
Khi đó ta nói rằng hàm f có giả Jacobi ∂
∗
f(x) tại x.
22