BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
DƯƠNG THỊ HẠ
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
DƯƠNG THỊ HẠ
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn
Mạnh Hùng , người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và

2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 18
2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 21
2.5. Ví dụ . . . . . . . . 26
Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ hai
đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 27
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 27
3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 28
v
3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 29
3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 32
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một môn học quan trọng của toán
học. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ bản. Thứ
nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý vì quá trình nghiên
cứu các bài toán vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm
riêng. Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm riêng
với các nghành toán học khác nhau như : Giải tích hàm, lý thuyết hàm,
tô pô, đại số, giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
hiện đại gồm có: phương trình loại Eliptic, phương trình loại Parabolic,
phương trình loại Hyperbolic. Không gian nghiệm đối với phương trình
này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng tuyến
tính. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết với
nhau. Mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra câu hỏi
nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không? có duy nhất không?
phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không?
Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng,
những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản

3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các kí hiệu
R
n
là một không gian Euclide n− chiều, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
.
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
, n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của
nó. Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Kí hiệu Ω
a,b
= Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , 0 ≤ a < b < ∞}
là trụ trong R
n+1
.
Kí hiệu Ω
∞
h
= Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)}là trụ trong
R

Ta kí hiệu u = (u
1
, , u
n
) và D
p
=
∂
|p|
∂x
p
1
1
∂x
p
n
n
là đạo hàm suy rộng cấp
p theo biến x = (x
1
, x
n
).
u
t
k
= ∂
k
u/∂t
k

(Ω) =
o
C (Ω) ∩ C
k
(Ω), ở đó
o
C
k
là tập hợp tất cả các hàm liên tục
trong Ω và có giá compact thuộc Ω.
Dãy {u
k
}
∞
k=1
hội tụ yếu đến phần tử u ∈ H nếu và chỉ nếu thoả mãn
hai điều kiện sau
i) Tồn tại một hằng số C sao cho u
k
 ≤ C với mọi k;
ii) ϕ (u
k
) hội tụ đến ϕ (u) với mọi ϕ thuộc tập hợp con trong H
∗
sao
cho bao tuyến tính các phần tử của nó trù mật trong H
∗
.
Một hàm số f đo được trên R
n

v (., t) , w (., t)
Ω
=

Ω
v (x, t) w (x, t) dx.
v, w
Ω
T
=

Ω
T
v (x, t) w (x, t) dxdt.
1.2. Một số không gian hàm
1.2.1. Không gian L
p
(Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền trong không gian R
n
và cho
0 ≤ p < +∞. Khi đó L
p
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)
khả tổng cấp p theo Lebesgue trong Ω, tức là:

Ω
|u|
p
dx < +∞.

Ω
|u (x)|
2
dx.
L
2
(Ω
T
) là không gian các hàm khả tổng bình phương trên Ω
T
với
chuẩn :
u
2
L
2
(Ω
T
)
=

Ω
T
|u (x, t)|
2
dxdt
Hơn nữa, L
p
(Ω) là một không gian đầy đủ nên L
p

∞
(0, T ; X) là
không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không gian
X, xác định trên (0, T ) sao cho
u
L
∞
(0,T ;X)
= esssup
0<t<T
u
X
< ∞.
1.2.3. Không gian Sobolev
• Đạo hàm suy rộng
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Một hàm
v (x) ∈ L
1
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (x) ∈ L
1
(Ω)
nếu:

Ω
u (x) D
p
ϕ (x) dx = (−1)
|p|

0
C
∞
(−1, 1)
T =
1

−1
|x| ϕ

(x) dx =
0

−1
−x.ϕ

(x) dx +
1

0
x.ϕ

(x) dx
= −xϕ (x)







Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp p trong miền Ω thì nó cũng có
đạo hàm suy rộng cấp p trong miền Ω

⊂ Ω . Thật vậy, giả sử u(x) có
đạo hàm suy rộng trong miền Ω là hàm v(x) và ϕ (x) là một hàm bất kì
thuộc
o
C
∞
(Ω

), Ω

là miền con của Ω. Khi coi ϕ (x) = 0 với x ∈ Ω \ Ω

ta nhận được ϕ ∈
o
C
∞
(Ω

).
8
Ta có hệ thức:

Ω

u (x) D
p
ϕ (x) dx =

β
v

, aD
α
v
1
+ bD
α
v
2
= D
α
(av
1
+ bv
2
), ở đó a, b là các
hằng số tùy ý.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy
rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo hàm
suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông
thường. Tuy nhiên, không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo
hàm suy rộng cấp p không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp
nhỏ hơn p.
• Không gian W
l
(Ω)
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n

9
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Ta định
nghĩa W
1
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L
2
(Ω) , x ∈
Ω với chuẩn :
u
W
1
(Ω)
=



|p|≤1

Ω
|D
p
u|
2
dx


1
2

nghĩa W
l,k
(e
−γt
, Ω
T
) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t) ∈
L
2
(Ω
T
) , (x, t) ∈ Ω
T
sao cho D
p
u (., t) , u
t
j
(., t) ∈ L
2
(Ω) , (0 ≤ |p| ≤ l, 1 ≤ j ≤ k)
với mỗi t ∈ (0, T) và
u
2
W
l,k
(e
−γt
,Ω
T

, Ω
T
)
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
.Ta định
nghĩa W
1,1
(e
−γt
, Ω
T
) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x, t) ∈
L
2
(Ω
T
) , (x, t) ∈ Ω
T
sao cho D
p
u (., t) , u
t
(., t) ∈ L
2
(Ω) với mỗi t ∈ (0, T )
và
u
2
W

−γt
, Ω
T
) = W
0,0
(e
−γt
, Ω
T
)
10
1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Cauchy với ε
Cho a, b là các số thực dương và ε > 0. Khi đó
ab ≤ εa
2
+
b
2
4ε
.
Chứng minh.
Ta có
ab = (2ε)
1
2
a.
b
(2ε)
1

b
2
4ε
Bất đẳng thức được chứng minh.
• Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz
Cho u, v ∈ R
n
. Khi đó, ta có
|uv| ≤ |u| |v| .
Chứng minh.
Cho ε > 0 và ta có:
0 ≤ |u ± εv|
2
= |u|
2
± 2εuv + ε
2
|v|
2
.
Do đó
±uv ≤
1
2ε
|u|
2
+
ε
2
|v|

Khi đó
u (t) ≤ ϕ (t) + L

t
t
0
e
L(t−s)
ϕ (s) ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Hơn nữa, nếu ϕ (t) có đạo hàm ϕ

(t) khả tích trên [t
0
, T ) thì
u (t) ≤ ϕ (t
0
) e
L(t−t
0
)
+ L

t
t
0
e
L(t−s)
ϕ

(t) − Ly(t)) e
−Lt
≤ ϕ(t)e
−Lt
.
Ta có z (t
0
) = y(t
0
) = 0 và do đó:
z(t) ≤
t

t
0
e
−Ls
ϕ(s)ds ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Suy ra
y(t) ≤
t

t
0
e
L(t−s)
ϕ(s)ds ∀t ∈ [t
0





t
t
0
+ L
t

t
0
e
L(t−s)
ϕ

(s)ds
= −ϕ (t) + ϕ(t
0
)e
L(t−t
0
)
+ L
t

t
0
e
L(t−s)

L(t−t
0
)
, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Đặc biệt nếu ϕ (t) ≡ 0 trên [t
0
, T ) thì ta có
u (t) ≤ L
t

t
0
u (s) ds ⇒ u (t) ≡ 0, ∀t ∈ [t
0
, T )
14
Chương 2
Bài toán biên có điều kiện ban đầu
thứ hai đối với phương trình truyền
sóng trong miền không trơn
Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm
suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai đối với phương
trình truyền sóng trong miền không trơn, ta nhận được kết quả về tính
giải được của bài toán trong trụ Ω
∞
h
với đáy có biên không trơn và thỏa
mãn điều kiện Lipschitz.

. Hơn nữa giả sử rằng a
ij
(i, j = 1, , n) là liên tục đều với x ∈ Ω theo
biến t ∈ [h, ∞).
Kí hiệu
N (x, t, ∂) =
n

i,j=1
a
ij
(x, t) cos (x
i
, ν)
∂
∂x
j
.
15
Ở đây ν là vector pháp tuyến ngoài của mặt S
∞
h
ta nhận được bài
toán sau trong trụ Ω
∞
h
.
Xét trong miền trụ Ω
∞
h

= const > 0, ta luôn có bất đẳng thức sau:
n

i,j=1
a
ij
(x, t) ξ
i
ξ
j
≥ µ
1
|ξ|
2
. (2.4)
2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng
Định nghĩa: Cho f ∈ L
2
(Ω). Khi đó hàm u (x, t) được gọi là nghiệm
suy rộng của bài toán (2.1) − (2.3) trong không gian W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) nếu
u (x, t) ∈ W
1,1
(e

= f, η
Ω
T
h
. (2.5)
đúng với mọi hàm thử η = η (x, t) ∈ W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) sao cho η (x, t) = 0
với t ≥ T .
16
Đặt
B (u, u) (t) = −
n

i,j=1

a
ij
u
x
j
(., t) , u
x
i
(., t)

2
(Ω)
. (2.6)
Chứng minh
Từ điều kiện (2.4) và từ bất đẳng thức Cauchy ta có:
µ
n

i=1
u
x
i

2
L
2
(Ω)
≤
n

i=j=1

a
ij
u
x
j
, u
x
i

L
2
(Ω)
với 0 < ε < µ, C (ε) > 0. Từ bất đẳng thức này ta nhận được
(µ − ε)
n

i=1
u
x
i

2
L
2
(Ω)
≤ −B (u, u) (t) + C (ε) u
2
W
0
(Ω)
hay là
n

i=1
u
x
i

2

x
i

2
L
2
(Ω)
≤ C
1

−B (u, u) (t) + u
2
W
0
(Ω)

.
17
Vậy nên:
u
2
W
1
(Ω)
≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1) u
2

W
1
(Ω)
≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1)

ε u
2
W
1
(Ω)
+ C
2
u
2
L
2
(Ω)

≤ −C
1
B (u, u) (t) + (C
1
+ 1) ε u
2
W
1

2
L
2
(Ω)
Chọn 0 < ε < min

µ,
1
C
1
+1

và đặt
µ
0
=
1 − (C
1
+ 1) ε
C
1
> 0, λ
0
=
(C
1
+ 1) C
2
C
1





∂a
ij
∂t





≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0.
Khi đó bài toán (2.1) − (2.3) có không quá một nghiệm suy rộng trong
W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) với γ > 0.
Chứng minh
Giả sử bài toán (2.1) − (2.3) có hai nghiệm suy rộng u
1
và u
2
trong
W
1,1

b
u (x, τ) dτ, h ≤ t ≤ b
0 , b ≤ t ≤ T
Thì η (x, t) ∈ W
1,1

e
−γt
, Ω
T
−∞

, η (x, T ) = 0 và η
t
(x, t) = u (x, t) , ∀t ∈
[h, b].
Thế u = η
t
vào (2.5),ta được:
−
n

i,j=1

a
ij
η
x
j
t

i

Ω
b
h
+ 2Re η
tt
, η
t

Ω
b
h
= 0. (2.8)
19