BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN CHÍ THÂN

PHƯƠNG PHÁP TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 19 tháng 02 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Chí Thân
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5
1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Không gian vecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach . . 10
1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Không gian L
2
[a; b] . 16
1.6. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2. XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG . . 18
2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert . 18
2.2. Xấp xỉ tốt nhất trong L
2
[a; b] bằng các đa thức đại số . 21
2.3. Xấp xỉ tốt nhất trong L
2
[a; b] bằng hệ đa thức trực giao . . 24
2.3.1. Định nghĩa đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Có rất nhiều phương pháp để xấp xỉ hàm và một trong những phương
pháp có nhiều ứng dụng là phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xấp xỉ trung
bình bình phương và ứng dụng của nó, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc
sĩ của mình
“Phương pháp trung bình bình phương và một số ứng dụng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày hệ thống lý thuyết về xấp xỉ trung bình bình phương và
nêu một số ứng dụng của nó.
Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert, xấp xỉ tốt nhất
trong L
2
[a; b], phương pháp bình phương tối thiểu.
Một số ứng dụng của nó trong các ví dụ khác nhau.
3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương.
Phạm vi nghiên cứu: Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert,
không gian L
2
[a; b] và phương pháp bình phương tối thiểu.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, tìm hiểu tư liệu trong sách, báo.
Sử dụng các phương pháp của giải tích.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu của đề tài.
5. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống và rõ ràng một số vấn đề của lý
thuyết xấp xỉ trung bình bình phương.
Ứng dụng của lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương để giải và
sáng tạo một lớp bài toán.

→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.3. Một dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X, d)
được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
5
Định nghĩa 1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.
Định lý 1.1. Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là không
gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy
đủ (X, d). Giả sử {x
n
} là một dãy cơ bản trong F tức là
lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
Suy ra {x
n
} là một dãy cơ bản trong X.

, r) = {x ∈ X : d (x, x
0
) ≤ r}, r ∈ R
+
là không gian metric đầy đủ.
6
Định nghĩa 1.5. Cho hai không gian metric tùy ý (X, d
1
) và (Y, d
2
).
Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) sao
cho ∀x
1
, x
2
∈ X ta đều có
d
2
(A(x
1
), A(x
2
)) ≤ αd
1
(x
1
, x
2
) ,

3
, x
2
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x
2
, x
1
) ≤ α
2
d (Ax
0
, x
0
) ,
. . .
d (x
n+1
, x
n
) = d (Ax
n
, Ax
n−1
) ≤ αd (x
n
, x

n+k−1
=
α
n
− α
n+p
1 − α
d (Ax
0
, x
0
) ≤
α
n
1 − α
d (Ax
0
, x
0
) .
Vì 0 ≤ α < 1 nên lim
n→∞
d (x
n+p
, x
n
) = 0, ∀p ∈ N
∗
nghĩa là (x
n

≤ αd (x
n−1
, x
∗
) + d (x
n
, x
∗
) , ∀n = 1, 2,
7
Cho n → ∞ ta được d (Ax
∗
, x
∗
) = 0 hay Ax
∗
= x
∗
, nghĩa là x
∗
là điểm
bất động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y
∗
∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì
d (x
∗
, y
∗
) = d (Ax

2) (x + y) + z = x + (y + z);
3) Tồn tại phần tử trung hòa θ ∈ X sao cho x + θ = x;
4) Với mỗi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x là (−x) ∈ X sao cho
x + (−x) = θ;
5) (α + β)x = αx + βx;
6) α(x + y) = αx + αy;
7) α(βx) = (αβ)x;
8) 1x = x;
với 1 là phần tử đơn vị.
Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một vecto, các điều kiện trên được
8
gọi là các tiên đề về không gian vecto.
Định nghĩa 1.7. Giả sử X là một không gian vecto. Tập con X
1
của
X được gọi là một không gian vecto con của không gian X nếu X
1
cùng
với hai phép toán cảm sinh của X trên X
1
tạo thành một không gian
vecto.
Định nghĩa 1.8. Cho X là một không gian vecto. Biểu thức dạng
α
1
x
1
+ α
2
x

n
x
n
= θ.
Nếu đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi α
1
= α
2
= . . . = α
n
= 0
thì ta nói hệ n vectơ đó độc lập tuyến tính.
Nếu tồn tại một bộ số α
1
, . . . , α
n
với
n

i=1
α
2
i
> 0 sao cho đẳng thức
trên được thỏa mãn thì ta nói rằng hệ n vecto trên phụ thuộc tuyến
tính.
Định nghĩa 1.10. Hệ vô hạn các phần tử {x
i
}
i∈I

kiện:
i) A(x
1
+ x
2
) = A(x
1
) + A(x
2
) ∀x
1
, x
2
∈ X.
ii) A(αx) = αA(x) ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.
1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.14. Cho X là không gian vecto trên R. Chuẩn trong X,
ký hiệu ., là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn các tiên đề
sau
i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) αx = |α|x;
iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.
10
Số x gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x.
Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không
gian đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.
Định lý 1.4. Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, đặt
d (x, y) = x −y, ∀x, y ∈ X (1.1)
Khi đó, d là một metric trên X.
Nhận xét 1.1. Từ định lí 1.4 ta có mọi không gian tuyến tính định

tử trong X.
Ví dụ 1.4. a) R
n
- Không gian vectơ Euclide n-chiều là không gian
Banach với chuẩn
x =

n

i=1
x
i
2
, ∀x ∈ R
n
.
b) C[a; b] - Không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là không gian
11
Banach với chuẩn
x = max
t∈[a;b]
|x (t)|, ∀x ∈ C
[a;b]
.
1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.18. Cho không gian vecto X trên R. Ánh xạ
ϕ : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau được gọi là một tích vô hướng trên X:
i) ϕ(x, x) ≥ 0 ∀x ∈ X;
ϕ(x, x) = 0 ⇔ x = θ.

Định lý 1.6. (Định lý Pythagore)
Cho không gian Hilbert X. Nếu x, y ∈ X và x⊥y thì
x + y
2
= x
2
+ y
2
.
Định nghĩa 1.22. Một hệ {e
n
}
n≥1
các phần tử của không gian Hilbert
X gọi là hệ trực chuẩn nếu e
i
, e
j
 = δ
ij
, trong đó
δ
ij
=



1 i = j
0 i = j
i, j = 1, 2 . . .

1
e
1

,
13
. . . . . .
e
n+1
=
x
n+1
−
n

i=1
x
n+1
, e
i
e
i




x
n+1
−
n

y
1
= x
1
y
2
= x
2
− x
2
, e
1
e
1
. . . .
y
n+1
= x
n+1
−
n

i=1
x
n+1
, e
i
e
i
. . . . . . . .

Giả sử e
1
, . . . , e
n
trực giao từng đôi một, ta thấy rằng vì e
i
, e
i
 = 1
nên y
n+1
, e
i
 = x
n+1
, e
i
 − x
n+1
, e
i
e
i
, e
i
 = 0, tức là y
n+1
⊥e
i
và do

gian Hilbert X nếu duy nhất vecto không trực giao với tất cả các phần
tử của hệ, nghĩa là: x⊥e
n
(n = 1, 2, . . .) ⇒ x = θ.
Định lý 1.9. Cho {e
n
}
n≥1
là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
X.
Các mệnh đề sau là tương đương:
a) {e
n
}
n≥1
là hệ trực chuẩn đầy đủ.
b) x =
∞

n=1
x, e
n
e
n
, ∀x ∈ X.
c) x
2
=
∞


i
e
i




≤




y −
N

i=1
a
i
e
i




với a
1
, a
2
, , a
N

2
dx = 0.
Định lý 1.11. Với f = f (x) ∈ L
2
[a; b], đặt
f =


b

a
p(x)[f(x)]
2
dx


1
2
.
Khi đó, . là một chuẩn trên L
2
[a; b] và cùng với chuẩn đó thì
L
2
[a; b] là không gian Banach.
Định lý 1.12. Với f(x), g(x) ∈ L
2
[a, b], khi đó
f, g =
b

0
2
+
+∞

k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx), trong đó các số
a
0
=
1
π
π

−π
f(x)dx;
a
k
=
1
π
π

−π
cos kx.f(x)dx;
b

m=0
(a
m
cos mx + b
m
sin mx).
Định lý 1.14. Cho f(x) ∈ L
2
[−π; π] và ε > 0. Khi đó tồn tại hàm h(x)
liên tục, tuần hoàn với chu kì 2π sao cho
π

−π
[f(x) −h(x)]
2
dx < ε.
17
Chương 2
XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH
PHƯƠNG
2.1. Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert
Bài toán. Cho H
0
là không gian con đóng hữu hạn chiều của không
gian Hilbert H và x là phần tử cho trước thuộc H. Tìm h
0
∈ H
0
sao cho
x − h

0
thì x − h
0
⊥h.
Lấy θ = h ∈ H
0
tùy ý. Khi đó ta có
x − h
0
+ αh
2
≥ x − h
0

2
, ∀α ∈ R
⇔ α
2
h
2
+ 2α x −h
0
, h ≥ 0, ∀α ∈ R.
Vế trái là tam thức bậc hai theo α, bất phương trình có nghiệm
với mọi α ∈ R nên ∆

= x − h
0
, h
2

= x − h
0

2
+ h
0
− h
2
⇒ x − h
2
≥ x − h
0

2
, ∀h ∈ H
0
(do h
0
− h ∈ H
0
nên x − h
0
⊥h
0
− h).
Vậy h
0
= arg min
h∈H
0

2
= x − h
2
+ h
2
− h
1

2
= x − h
2

2
+ h
2
− h
1

2
.
Vì x − h
1
 = x − h
2
 = d(x, H
0
) nên h
2
≡ h
1

j
, ∀j =
1, n
⇔ x − h
0
, e
j
 = 0 ∀j = 1, n
⇔ x, e
j
 − h
0
, e
j
 = 0 ∀j = 1, n
⇔





n

i=1
c
i
e
i
, e
j

e
i
ta cần giải
hệ (2.1) ở trên, ngoài ra ta có ước lượng bình phương sai số còn gọi là
phương sai
ρ
2
n
= x − h
0

2
, n = dim H
0
.
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Hệ {e
1
, . . . , e
n
} trực giao nghĩa là e
i
, e
j
 = e
i

2
δ
ij

0

2
, (h
0
∈ H
0
; x − h
0
⊥H
0
)
nên ρ
2
n
= x − h
0

2
= x
2
− h
0

2
= x
2
−
n


0
, x − h
0
 = x − h
0
, x − x −h
0
, h
0

⇒ ρ
2
n
= x − h
0
, x = x
2
− h
0
, x = x
2
−
n

i=1
c
i
x, e
i
. (2.3)

x
2
− ρ
2
n

= 0
(2.4)
20
Vì {c
1
, . . . , c
n
, −1} là nghiệm không tầm thường của hệ (2.4) nên hệ (2.4)
có định thức bằng 0. Nghĩa là
det












e
1

n
, e
1
 e
n
, e
2
 ··· e
n
, e
n
 x, e
n

x, e
1
 x, e
2
 ··· x, e
n
 x
2
− ρ
2
n






, e
2
, . . . , e
n
, x)
G(e
1
, e
2
, . . . , e
n
)
.
2.2. Xấp xỉ tốt nhất trong L
2
[a; b] bằng các đa thức
đại số
Xét không gian Hilbert L
2
[a; b], sự hội tụ trong L
2
[a; b] được gọi
là sự hội tụ trung bình với trọng p(x). Kí hiệu P
n
là không gian con
của L
2
[a; b] sinh bởi {1, x, . . . , x
n
} thì dim P

dx = inf
Q
n
∈P
n
y − Q
n
(x)
Các hệ số {a
i
}
n
i=0
của đa thức xấp xỉ tốt nhất P
n
(x) được tìm từ
hệ phương trình:
21













1
············
c
n
a
0
+ c
n+1
a
1
+ + c
2n
a
n
= b
n
(2.5)
với c
i
=
b

a
p(x)x
i
dx, b
i
=
b


c
1
··· c
n
b
0
c
1
c
2
··· c
n+1
b
1
··· ··· ··· ··· ···
c
n
c
n+1
··· c
2n
b
n
b
0
b
1
··· b
n
y, y




c
0
c
1
··· c
n
c
1
c
2
··· c
n+1
c
2
c
3
··· c
n+2
··· ··· ··· ···
c
n
c
n+1
··· c
2n



x
i
.
Trước hết ta tính
c
k
=
1

−1
x
k
dx =
1 − (−1)
k+1
k + 1
(k = 0, 10)
22