KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2014
Câu 1(4 điểm):
Giải hệ phương tr
ình:
3
3
2x 2y 2x y 2xy 1 1
3y 1 8x 2y 1
x 0

     


   





Câu 2 (4 điểm): Cho dãy
1
( )
n n
a



2
n
a a a
n
n
   
  
.
Câu 3 (4 điểm): Gọi
, ,AD BE CF
là ba đường phân giác trong của tam giác
ABC
vuông ở
A
.
Đoạn thẳng
AD
cắt
EF
tại
K
. Đường thẳng qua
K
song song với
BC
cắt
,AB AC
lần lượt ở
,M N
. Chứng minh rằng:


     


   





(Quảng Trị)
3
3
2 2 2 2 1 1 (1)
3 1 8 2 1 (2)
x y x y xy
y x y

     


   


(1)

      
2 1 2 1 2 1 1 0x y x y      
ĐK: (2x + 1)(y + 1)


6 1 2x x  
3
1
4 3
2
x x  
NX: x >1 không là nghiệm của phương trình
Xét 0
x 
1: Đặt x = cos

với
0
2

 
Ta có:
1
cos3
2
 
2
9 3
2
9 3
k
k
 

 

1đ
Câu 2 (4 điểm): Cho dãy
1
( )
n n
a


:
2
1 1
5 10
1; 1
5
n n
n
n
a a
a a n
a

 
   

.
ĐỀ SỐ 1
a) Chứng minh dãy
( )
n
a

2
5 10 10
( ) ( 5)
5 5
x x
f x x x
x x
 
   
 
.
Suy ra
 
2
10
3
'( ) 1 0 [1; ]
2
5
f x x
x
    

, như vậy
( )f x
nghịch biến trên
đoạn
1
[ ;1].
2


.
1,0
Kết hợp công thức xác định dãy ta
đư
ợc
2
2
5 10
5 5
5
2
5 10
5
c c
b
c
b c
b b
c
b

 





  


a a

  
1k 
1 2 2 1 2
5 5
2
2
k k
a a a a k


     
(1)
Như vậy bất đẳng thức đúng với
2n k
.
Trường hợp
2 1n k 
, chú ý
2 1
5 5
2
k
a



, kết hợp với (1) thu được:
1 2 2 1 2 2 1

lần lượt ở
,M N
. Chứng minh rằng:
 
2 2
.
2
MN AB AC

 
(Chu Văn An-Hà Nội)
Đặt
, ,BC a CA b AB c  
ta có
 
2
2 2 2
2
b c
a b c

  
suy ra
2
b c
a


.
1,0

 
1 1 2 2
( ) ( )
2
2 2
2
MN b c b c AB AC
b c
a

     



.
0,5
Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các hàm số
:f  
thoả mãn
 
   
2 2
, , (1)f x y xf x yf y x y     
(Thái Bình)
Đáp án:
Cho
0x 
, từ
 
1

   
       
2 2
, ,
f x y xf x yf y
yf y yf y y f x f x x
   
            
       
, ,yf y yf y y f x f x x           
, chứng tỏ
f
là hàm số lẻ. Do đó với mọi
0, 0x y 
ta có
   
 
       
     
 
 
   
       
, 0, 0 **
f x y f x y f x f y f x f y
f x f x y f y
f x y y f x y f y
f x y f x f y x y
        
   

     
 
     
   
 
2
2
2
1 2 1
1 1 2 1
1 1 2 1
1 ,
, ,
f x f x x
x f x f x f x f
x f x f xf x f x f
f x xf x
f x ax x a
   
     
     
   
    

 
Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng
từ các số đó có thể chọn được một số số có tổng bằng 100.
(Yên Bái)
Đáp án:
Nếu tất cả các số bằng nhau thì tất cả các số là 2. Khi đó ta lấy 50 số 2 sẽ có tổng