Những bài toán bất đẳng thức trên VMF
ĐỀ BÀI
Bài 1. Với mọi a, b, c dương. CMR:
∑
ab
a
2
+ ab + b
2

∑
a
2a + b
Bài 2. Cho các số không âm a, b, c chứng minh rằng
∑

5a
2
+ 4bc 

3
∑
a
2
+ 2
∑
√
ab
Bài 3. Cho a; b; c không âm, chứng minh rằng:
∑



a
a + b

3
+

b
b + c

3
+

c
c + a

3
≤
3
8

a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca

2

2
+ b
2
+ c
2
+ 6 ≥ 6(a
3
+ b
3
+ c
3
)
Bài 8. Cho a
1
; a
2
; ; a
n
thuộc [0, 1] . Chứng minh rằng :

1 +
∑
a
1

2
≥ 4

∑
a

≥
16 + 4k
(a + b )
3
Bài 11. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh :
8

a
3
+ b
3
+ c
3

+ 12 ≥ (a + b + c)


2
3
√
abc + 1

2
+ 3

1
Bài 12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
∑
a
2

a
3
+ b
3
+ c
3
3
Bài 15. Cho a, b, c là các số thực không âm thõa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng
1
1 − a
2
+
1
1 − b
2
+
1
1 − c
2
+
1
1 − ab
+
1

Bài 17. Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng :
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) ≥ (a
2
+ ab + b
2
)( b
2
+ bc + c
2
)( c
2
+ ac + a

2
+ c
2
= 3a
2
b
2
c
2
. Chứng minh rằng:
ab + bc + ca −abc ≥ 2
Bài 19. Cho các số thực dương a, b, c .Chứng minh rằng:
8

a
8
+ b
8
2
+
8

b
8
+ c
8
2
+
8


+
1
c
2
+ a
2
≥
10
(a + b + c)
2
+
28abc(a + b + c)
27(a
2
+ b
2
)( b
2
+ c
2
)(a
2
+ c
2
)
Bài 21. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
√
abc(
√
a +

√
15
Bài 23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3.Chứng minh:

a + b
c + ab
+

b + c
a + bc
+

c + a
b + ca
≥ 3
Bài 24. Cho a, b là các hằng số còn x, y là các ẩn. Tìm GTLN của biểu thức
f (x; y) =
√
a
2
+ b
2
+

(
a − x
)
2
+ y
2

3
Bài 27. Chứng minh rằng
a
2
√
b
3
+ 8
+
b
2
√
c
3
+ 8
+
c
2
√
a
3
+ 8
≤ 1
Với a, b, c > 0, và a
3
+ b
3
+ c
3
= 3

3
)
+
b
4
+ c
4
bc(b
3
+ c
3
)
+
c
4
+ a
4
ca(c
3
+ a
3
)
≥ 1
Bài 30. Cho x, y, z là các số dương. CMR:
(
x + 1
) (
y + 1
)
2

3
3

y
2
z
2
+ 1
≥ x + y + z + 3
Bài 31. Cho các số a, b, c thực dương. Chứng minh rằng
a
2
+ ab + 2b
2
b
2
+ 2ab
+
b
2
+ 2c
2
+ bc
c
2
+ 2bc
+
c
2
+ 2a

2
b
2
+ b
2
c
2
+ b
2
a
2
)
3
Bài 33. Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn:

(a + b )(b + c)(c + a) > 0
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2(ab + bc + ca)
Chứng minh rằng:

ab
a
2
+ b
2

+
1
1 − c
≥
3
√
3 + 9
2
Bài 35. Cho a, b, c > 0 Chứng minh:
3 ·
9

9a(a + b)
2(a + b + c)
2
+
3

6bc
(a + b )(a + b + c)
≤ 4
Bài 36. Cho a, b, c là những số thực dương . Chứng minh rằng:
(2a + b + c)
2
2a
2
+ (b + c)
2
+
(2b + c + a)

b
2
+ ca +

c
2
+ ab ≤
3
2
(a + b + c)
Bài 39. Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Chứng minh rằng:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4

1
x
2
+ 1
+
1
y
2
+ 1
+
1

2
1 + x
2

+

1 − y
2
1 + y
2

+ 2

1 − z
2
1 + z
2

≤
9
4
Bài 42. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = 4

a
3
+ b
3
+ c
3

√
1 + x
2
+
y

1 + y
2
≤
2
√
xy

1 + xy
Bài 47. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
4abc

1
(a + b )
2
c
+
1
(b + c)
2
a
+
1
(c + a )
2

∑
i=1
x
5
i
x
1
+ x
2
+ + x
n
+ x
i
Bài 49. Cho x, y, z dương. Chứng minh bất đẳng thức:
x
y + z
+
y
z + x
+
z
x + y
+ 4
√
2

xy + yz + zx
x
2
+ y

2
≤
1
4
+
4abc
(a + b )(b + c)(c + a)
Bài 52. Cho a, b > 0 thỏa mãn a
2
+ b
2
= 5. Chứng minh
a
3
+ b
6
≥ 9
Bài 53. Cho x + y + z = 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của:
T = 2
x+1
+ 3
y
+ 4
z
Bài 54. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
∑
ab
a + 2a
2
+ a

7
10
Bài 57. Cho a, b, c là các số thực dương thoã mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
a
b
+
b
c
+
c
a
≥
3
2
(a + b + c −1)
Bài 58. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn 0 ≤ a ≤ c ≤ x ≤ d ≤ b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T =

(
x − a
) (
b − x
)
+

(
x − c
) (
d − x
)

c
3
− a
3
c + a




≤
(a −b )
2
+ (b −c)
2
+ (c −a)
2
4
Bài 61. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
x
3
x
+
y
3
y
+
z
3
z
≤

.(
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
)
Bài 63. Cho x, y, z, a, b, c là các số thực dương bất kì với x + y + z = 1.Chứng minh rằng:
ax + by + cz + 2

(
xy + yz + zx
) (
ab + bc + ca
)
≤ a + b + c
Bài 64. Cho a; b; c là ba số thực dương thỏa mãn: a.b.c + 6.a + 3.b + 2.c = 24. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
M = a.b.c.(a
2
+ 3).(b
2
+ 12).(c
2

. Tìm GTNN của biểu thức
P =
x
4
(
x − 1
)
3
+
y
4
(
y − 1
)
3
6
Bài 68. Cho các số a, b, c dương. Chứng minh

(
a
2
b + b
2
c + c
2
a
) (
ab
2
+ bc

+ d
4
a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
Bài 70. Cho x, y, z ∈

0; 1

, c/m
2(x
3
+ y
3
+ z
3
) − (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3
Bài 71. Cho các số thực dương a, b, c.Cmr:



x + y +

y + z +
√
x + z)
Bài 73. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh:

a + (b −c)
2
+

b + (c −a)
2
+

c + ( a −b)
2
≥
√
3
Bài 74. Chứng minh rằng, với mọi số thực dương a, b, c thì :
3a
2
−2ab − b
2
a
2
+ b
2

a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b

≥ 1 −
8abc
(a + b )(b + c)(c + a)
Bài 76. Chứng minh với x, y, z > 0 ta có:
x + y
z +
3

4
(
x
3
+ y
3
)
+
y + z
x +
3

4

2
và x
1
y
1
> z
2
1
, x
2
y
2
> z
2
2
. Chứng minh rằng :
1
x
1
y
1
− z
2
1
+
1
x
2
y
2

2
≥
(
a + b + c
)

1
a
+
1
b
+
1
c

Bài 79. C/m bất đẳng thức:
(a
2
+ 1)(b
2
+ 1)(c
2
+ 1) ≥ (ab + ac + bc − 1)
2
7
Bài 80. Cho a, b, c, d, e, f là các số thực không âm thoả mãn ab = cd = e f = 1. Chứng minh rằng :
a
c + d + b −1
+
b

+
bc
a
+
ca
b

−2
≥
1
3


1
a
−
1
b

2
+

1
b
−
1
c

2
+

2/
∑
(
a
b + c
)
3
+
9abc
(a + b )(b + c)(c + a)
≥
∑
a
b + c
Bài 84. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a
2
3a
2
− ab + 7b
2
+
b
2
3b
2
−bc + 7c
2
+
c

a
2
√
3a
2
+ 8b
2
+ 14ab
+
b
2
√
3b
2
+ 8c
2
+ 14bc
+
c
2
√
3c
2
+ 8a
2
+ 14ac
≥
1
5
(a + b + c)

+ 1
)
≥

x
1
+ x
2
+ + x
n
+
1
x
1
+
1
x
2
+ +
1
x
n

n
Bài 89. Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
(a + b )
2
7a
2
+ 4ab + b

2
+ bc
2
+ ca
2

+ 2012
(
ab + bc + ca
)
8
Bài 91. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng :
2

a
3
+ b
3
+ c
3

ab(a + b ) + bc(b + c) + ca(c + a)
+
ab + bc + ca
a
2
+ b
2
+ c
2

(a + b )(b + c)(c + a)
Bài 94. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
√
x +
√
y +
√
z = 1. Chứng minh rằng :
(x −1)
2
(y −1)
2
(z −1)
2
≥ 2
15
xyz(x + y)(y + z)(z + x)
Bài 95. Cho a, b, c thực dương. Chứng minh
(a + b )
2
+ (a + b + 4c)
2
≥
100abc
a + b + c
Bài 96. Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng :
x
xy + 1
+
y

1)
4(a
3
+ b
3
+ c
3
)
a
2
+ b
2
+ c
2
+
9(a + b )(b + c)(c + a)
(a + b + c)
2
≥ 4(a + b + c)
2)
4(ab + b c + ca)
a
2
+ b
2
+ c
2
+
(a + b )(b + c)(c + a)
abc

b
c
2
+ 1
+
c
a
2
+ 1
≥
3
2
9
LỜI GIẢI
Bài 1 Nguyen Minh Hai
Với mọi a, b, c dương. CMR:
∑
ab
a
2
+ ab + b
2

∑
a
2a + b
Lời giải (hoanglong2k)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
∑
a

2
2
∑
a
2
+
∑
ab
−1 ≥
∑

ab
a
2
+ ab + b
2
−
1
3

⇔−
∑
(a −b )
2
4
∑
a
2
+ 2
∑


≥ 0
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh
4
∑
a
2
+ 2
∑
ab ≥ 3(a
2
+ b
2
+ ab) ⇔ a
2
+ b
2
+ 4c
2
+ ac + bc ≥ ab
Mà theo AM-GM a
2
+ b
2
+ 4c
2
+ ac + bc ≥ 2ab + 4c
2
+ ac + bc > ab
Nên ta có điều cần chứng minh. Dấu “ =


∑

a
2a + b
+
b
2b + a

−1
Vậy là ta cần chứng minh:
∑

a
2a + b
+
b
2b + a


∑
ab
a
2
+ ab + b
2
−1
Thấy rằng nó là hệ quả của bất đẳng thức:
a
2a + b

⇔ (a −b)
2
 0

Lời giải (hoanglong2k)
Ta có :
∑
ab
a
2
+ ab + b
2
≤
∑
a
2a + b
⇔
∑
1
a
b
+ 1 +
b
a
≤
∑
1
2 +
b
a

+ x + 1)
≥ 0
Ta chứng minh
∑
x
2
(x −1)
(2x + 1)(x
2
+ x + 1)
≥
∑
x − 1
3(x + 2)
⇔
∑
(x −1)
2
(x
2
+ 4x + 1)
(2x + 1)(x
2
+ x + 1)(z + 2)
≥ 0
Nên chỉ việc chỉ ra
∑
x − 1
x + 2
≥ 0 ⇔

+
∑
a
2
2a
2
+ ab

4
3
(a −c )
2
+ (a + b + c)
2
2.
∑
a
2
+
∑
ab
 1(true)

Bài 2 Quoc Tuan Qbdh
Cho các số không âm a, b, c chứng minh rằng
∑

5a
2
+ 4bc 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: VT 
5(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
∑
a
2
√
5a
2
+ 4bc + 2
∑
a
2
√
bc
Tiếp theo là "phá căn". Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
∑
a
2

5a
2
+ 4bc 


+ c
2
(ab + b c + ca)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
5(a
2
+ b
2
+ c
2
) 

15(a
4
+ b
4
+ c
4
) + 12(ab + bc + ca) + 2(ab + bc + ca)
Đến đây dễ rồi. 
Bài 3 Viet Hoang 99
Cho a; b; c không âm, chứng minh rằng:
∑

a
2
+ bc
b
2
+ bc + c

b + c −2a
a(b + c)
=
∑
b − a
a(b + c)
+
∑
c − a
a(b + c)
=
∑
b − a
a(b + c)
−
∑
b − a
b(a + c )
=
∑
(b − a )(
1
a(b + c)
−
1
b(a + c )
) =
∑
(b − a )(
c(b − a )

2
) + 2 abc
∑
b + c −2a
a(b + c)
=⇒ (
∑
a
2
+ b
2
a + b
)
2
≥ 3
∑
a
2
+ 2
∑
c
2
(a −b )
2
(c + a )(c + b)
⇐⇒
∑
(
a
2

(
(a + b )
2
−2ab
a + b
)
2
+ 2
∑
(a
2
+ b
2
)(a
2
+ c
2
)
(a + b )(a + c)
≥ 3
∑
a
2
+2
∑
c
2
(a −b )
2
(a + c )(b + c)

a
2
+2
∑
c
2
(a −b )
2
(a + c )(b + c)
⇐⇒
∑
(a + b )
2
−4
∑
ab +
∑
(2ab)
2
(a + b )
2
+ 2
∑
(a
2
+ c
2
)( b
2
+ c

(a −b )
2
(c + a )(c + b)
+
∑
(2ab)
2
(a + b )
2
≥ 3
∑
a
2
−
∑
(a + b )
2
+ 4
∑
ab
⇐⇒ 2
∑
(a
2
+ c
2
)( b
2
+ c
2

a + b
)
2
≥ (
∑
a)
2
(1)
Nhưng theo BDT Bunhiacopxki ta có :
2
∑
(c
2
+ ab)
2
(c + a )(c + b)
+
∑
(
2ab
a + b
)
2
=
∑
(c
2
+ ab)
2
(c + a )(c + b)

∑
(a + b )
2
=
(2
∑
c
2
+ 4
∑
ab)
2
4
∑
c
2
+ 8
∑
ab
=
4(
∑
a)
4
4(
∑
a)
2
= (
∑


b
b + c

3
+

c
c + a

3
≤
3
8

a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca

2
Lời giải (binhnhaukhong)
(Bổ đề cho bài toán)
1
(1 + a )
3
+

∑
(1 −
a
3
(a + b )
3
) +
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
8(ab + b c + ac)
2
≥ 3
∑
b
3
(a + b )
3
+ 3
∑
ab
(a + b )
2
+
3(a
2

3
, r = abc.Ở đây 1 ≥ q ≥ 0.
BĐT đã cho viết lại dưới dạng:
f (r) =
3
8
(
1 + 2q
2
1 − q
2
)
2
+
108r
2
+ (15 + 20q
2
)r −(1 −q
2
)
2
(1 + q
2
)
(1 − q
2
−3r)
2
≥ 0

+ 1
+
z
2
+ 1
x
2
+ 1
Lời giải (dogsteven)
x
2
+ 1
y
2
+ 1
= x
2
+ 1 −
y
2
(x
2
+ 1)
y
2
+ 1
 x
2
+ 1 −
y

3
+ b
3
+ c
3
) (1)
Lời giải (Nguyen Hien AG)
Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1, khi đó
x + y + z = (a −1) + ( b −1) + (c −1) = 0.
Với phép đặt này thì
a
2
+ b
2
+ c
2
= (x + 1)
2
+ (y + 1)
2
+ (z + 1)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(x + y + z) + 3
= x

+ c
4
= x
4
+ y
4
+ z
4
+ 4(x
3
+ y
3
+ z
3
) + 6(x
2
+ y
2
+ z
2
) + 3.
Bất đẳng thức (1) trở thành
3(x
4
+ y
4
+ z
4
) + 6(x
3

≥ 0,
3(x
4
+ 2x
3
y + 3x
2
y
2
+ 2xy
3
+ y
4
) + x
2
+ xy + y
2
≥ 9xy(x + y)
3(x
2
+ xy + y
2
)
2
+ x
2
+ xy + y
2
≥ 9xy(x + y).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

.
Ta chứng minh
9x
2
y
2
+
(x + y)
2
4
≥ 3xy(x + y).
Cũng theo bất đẳng thức AM-GM, thì
9x
2
y
2
+
(x + y)
2
4
≥ 2

9x
2
y
2
·
(x + y)
2
4

14
Bài 8 Quoc Tuan Qbdh
Cho a
1
; a
2
; ; a
n
thuộc [0, 1] . Chứng minh rằng :

1 +
∑
a
1

2
≥ 4

∑
a
2
1

Lời giải (hxthanh)
Do a
i
∈ [0, 1] nên a
2
i
≤ a

a
2
+
∑
ab
∑
a
2
b
≥ 6
Lời giải (khanghaxuan)
Dễ chứng minh được bổ đề :
(a + b + c)
5
≥ 27(ab + bc + ca)(a
2
b + b
2
c + c
2
a)
Áp dụng vào ta có :
9(
∑
a
2
) + 27(
∑
ab)
2

+
1
a
3
+
1
b
3
≥
16 + 4k
(a + b )
3
Lời giải (maitienluat)
Chắc phải có đk a, b dương. Biến đổi BĐT đã cho thành

k
a
3
+ b
3
−
4k
(a + b )
3

+

1
a
3

3
b
3
(a + b )
−
3k
a
3
+ b
3

≥ 0
Nên BĐT sau phải đúng:

(a
2
+ ab + b
2
)
2
+ 3ab(a + b)
2
+ 3a
2
b
2

(a
3
+ b

Bài 11 hoanglong2k
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh :
8

a
3
+ b
3
+ c
3

+ 12 ≥ (a + b + c)


2
3
√
abc + 1

2
+ 3

Lời giải (dogsteven)
Thấy rằng khi thay (a, b, c) thành

a,
b + c
2
,
b + c

2n+2
= b
2n+1
, b
2n+2
= c
2n+2
=
b
2n+1
+ a
2n+1
2
Dễ thấy lim a
n
= lim b
n
= lim c
n
= t  0 và khi đổi bộ (a
k
, b
k
, c
k
) thành bộ (a
k+1
, b
k+1
, c

c
b
= y;
a
c
= z thì xyz = 1
BĐT được viết lại thành:
1
(1 + x)
2
+
1
(1 + y)
2
+
1
(1 + z)
2
+
2
(x + 1)(y + 1)(z + 1)
≥ 1
Giả sử (y −1)(z − 1) ≥ 0 theo Dirichlet thì (y + 1)(z + 1) ≤ 2(yz + 1)
Và theo một kết quả quen thuộc thì:
1
(1 + y)
2
+
1
(1 + z)

1 + x
=
1 + m
2
;
1
1 + y
=
1 + n
2
;
1
1 + z
=
1 + p
2
=⇒ m + n + p + mnp = 0;
⇐⇒
∑
(
m + 1
2
)
2
+
∏
(m + 1)
4
 1 ⇐⇒ m
2



b
c + a
+

c
a + b

2

b
2
(c + a ) + c
2
(a + b )

 (b + c)
3
Mà a(b + c)
2
−b
2
(c + a ) −c
2
(a −b ) = bc(2a − b −c)  0 nên

b
c + a
+

≥ 8
3
√
abc + 3
3

a
3
+ b
3
+ c
3
3
Lời giải (Hoang Nhat Tuan)
Trước tiên chứng minh bổ đề:
∑
a
3
∑
a
2
+
8abc
∑
ab
≤
11
9

∑

bc + 2bc
√
bc + 13a
3
−11abc ≥ 3.
3
√
52abc −11abc ≥ 0 (luôn đúng)
Tương tự với S
b
và S
c
thì BĐT (∗) được chứng minh
Ở bài toán chính, ta chuẩn hóa a + b + c = 3 thì cần chứng minh:
8
3
√
abc + 3
3

∑
a
3
3
≤ 11
Áp dụng BĐT Holder thì:

∑
a
3

3
√
9
3
√
abc

3
Để ý rằng với a + b + c = 3 thì
∑
a
2
+
8
3
∑
ab ≤ 11
Từ đó kết hợp tất cả những điều trên lại với nhau => ĐPCM 
Bài 15 Nguyen Minh Hai
Cho a, b, c là các số thực không âm thõa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh rằng
1
1 − a
2
+

−1) ≥ 3
⇐⇒
∑
a
2
1 − a
2
+
∑
ab
1 − ab
≥ 3
⇐⇒
∑
a
2
a
2
+ b
2
+ c
2
− a
2
+
∑
ab
a
2
+ b

+ c
2
+
∑
ab
a
2
+ b
2
+ c
2
− ab
=
∑
a
4
a
2
b
2
+ a
2
c
2
+
∑
(ab)
2
ab(a
2

a
2
b
2
=
(
∑
a
2
+
∑
ab)
2
∑
a
2
b
2
+
∑
ab(a
2
+ b
2
) + a bc(
∑
a)
(1)
Ta cần chứng minh :
(

≥ 3abc(
∑
a) + 3
∑
a
2
b
2
+ 3
∑
ab(a
2
+ b
2
)
⇐⇒ (
∑
a
2
)
2
+ 2(
∑
a
2
)(
∑
ab) + (
∑
ab)

(a −b )(a − c) + b
2
(b − c)(b −a) + c
2
(c − a )(c −b) ≥ 0
BDT này đúng vì đó là Schur bậc 4
Do đó
(
∑
a
2
+
∑
ab)
2
∑
a
2
b
2
+
∑
ab(a
2
+ b
2
) + a bc(
∑
a)
≥ 3 (2)

1
√
3

Bài 16 macroreus101
1) Cho a, b, c thực dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh
∑

a
2
+ 2ab
b
2
+ 2c
2
≥
1
a
2
+ b
2
+ c
2
2) Cho a, b, c thực dương thỏa a + b + c = 3. Chứng minh
∑
a
b
3
+ ab
≥ 3

a
2
+2ab+b
2
+2c
2
2
= 2
∑
a
2
+ 2ab
(a + b )
2
+ 2c
2
≥ 2
∑
a
2
+ 2ab
2(a
2
+ b
2
) + 2c
2
=
∑
a

a
b(a + b
2
)
=
∑
a + b
2
−b
2
b(a + b
2
)
=
∑
1
b
−
∑
b
a + b
2
≥
∑
1
b
−
∑
b
2

1
b
−
1
4
∑
1
a
−
3
4
=
3
4

∑
1
a
−1

≥
3
4

9
∑
a
−1

=

2
) ≥ (a
2
+ ab + b
2
)( b
2
+ bc + c
2
)( c
2
+ ac + a
2
)
(a
2
+ ab + b
2
)( b
2
+ bc + c
2
)( c
2
+ ac + a
2
) ≥ 3(ab + bc + ca)(a
2
b
2

a
2
b
2
).
Khai triển A, B, C ta được : A = 3
∑
a
4
b
2
+ 3
∑
a
2
b
4
+ 9a
2
b
2
c
2
,
B =
∑
a
2
b
2

Đầu tiên ta sẽ chứng minh : A ≥ B
⇐⇒ 2
∑
(ab)
2
(a
2
+ b
2
) + 6(abc)
2
≥
∑
a
3
b
3
+ abc
∑
a
3
+ 2abc
∑
ab(a + b ) (∗)
(∗) đúng theo AM-GM do :
∑
a
4
b
2

b
2
(a
2
+ b
2
) ≥ 2
∑
a
3
b
3
⇐⇒
∑
a
4
b
2
+
∑
a
4
c
2
≥ 2
∑
a
4
bc = abc
∑

a
3
b
3
+ 3abc
∑
ab(a + b)
⇐⇒
∑
a
2
b
2
(a
2
+ b
2
) + 3(abc)
2
+ abc
∑
a
3
≥ abc
∑
ab(a + b ) + 2
∑
a
3
b

+ b
2
+ c
2
= 3a
2
b
2
c
2
. Chứng minh rằng:
ab + bc + ca −abc ≥ 2
Lời giải (nhungvienkimcuong)
Đổi biến

1
a
,
1
b
,
1
c

→ (x, y, z) thì có x
2
y
2
+ y
2


3 − x
2
y
2
2xy
= (2
√
xy −1)

1 − (2
√
xy + 1)

3 − x
2
y
2
2xy

với xy ∈

1,
√
3

dễ thấy (2
√
xy + 1)


2
≤ (a + b + c)
10

1
9a
+
1
9b
+
1
9c

9
Lời giải (khanghaxuan)
Trước hết ta sẽ chứng minh :
∑
8

a
8
+ b
8
2
≤
a
2
b
Thật vậy :
a

2
+

2 −
√
2ab)
Nên : 8
8

a
8
+ b
8
2
≤
8a
2
b
(Cauchy cho 8 số ). Vậy :
∑
8

a
8
+ b
8
2
≤
a
2

9
((
∑
a)(
∑
1
a
)
9
−9
9
) =
A
∑
a
9
9
∑
(a −b )
2
ab
(∗∗)
Trong đó : A = t
8
+ 9t
7
+ + 9
7
t + 9
8

8

a
8
+ b
8
2
+
∑
(a −b )
2
(b + c)
ab
≤ (
∑
a)
10
(
∑
1
9a
)
9
2.
∑
8

a
8
+ b

+ a
2
≥
10
(a + b + c)
2
+
28abc(a + b + c)
27(a
2
+ b
2
)( b
2
+ c
2
)(a
2
+ c
2
)
Lời giải (dogsteven)
Chuẩn hóa a + b + c = 1 và đặt q = ab + bc + ca, r = abc
(INEQ) ⇐⇒ f (r) = 10r
2
+

20(1 − 2q) −
82
27

2
+ 1
+
1
a
2
+ 1 
10
(a + 1 )
2
Hai bất đẳng thức này dùng biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số. 
Bài 21 tác giả
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
√
abc(
√
a +
√
b +
√
c) ≥ (a − b + c)(a + b −c) + (−a + b + c)(a + b −c) + ( −a + b + c)(a − b + c)
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 22 tác giả
Chứng minh bất dẳng thức này đúng với mọi tam giác ABC :
2
√
2

sin

b + c
a + bc
+

c + a
b + ca
≥ 3
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 24 tác giả
Cho a, b là các hằng số còn x, y là các ẩn. Tìm GTLN của biểu thức
f (x; y) =
√
a
2
+ b
2
+

(
a − x
)
2
+ y
2

x
2
+ y
2

3
+ b(c + a −b )
3
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 27 tác giả
Chứng minh rằng
a
2
√
b
3
+ 8
+
b
2
√
c
3
+ 8
+
c
2
√
a
3
+ 8
≤ 1
Với a, b, c > 0, và a
3

Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 29 tác giả
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. CMR
a
4
+ b
4
ab(a
3
+ b
3
)
+
b
4
+ c
4
bc(b
3
+ c
3
)
+
c
4
+ a
4
ca(c
3

3
3

x
2
y
2
+ 1
+
(
z + 1
) (
x + 1
)
2
3
3

y
2
z
2
+ 1
≥ x + y + z + 3
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 31 tác giả
Cho các số a, b, c thực dương. Chứng minh rằng
a
2

2
)
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 32 tác giả
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
(a
2
b + b
2
a + a
2
c + c
2
a + b
2
c + c
2
b)
2
≥ 4(ab + bc + ba)(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ b
2

+

ca
c
2
+ a
2
≥
1
√
2
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 34 tác giả
Cho 3 số a, b, c dương,thỏa mãn:a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 CMR:
1
1 − a
+
1
1 − b
+
1
1 − c
≥

2
+
(2b + c + a)
2
2b
2
+ (c + a)
2
+
(2c + a + b)
2
2c
2
+ (a + b)
2
≤ 8
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 37 tác giả
Cho a, b, c, d ∈ R và phân biệt: Chứng minh rằng có 2 số x, y ∈ a, b, c, d (x = y) sao cho:
1 + xy
√
1 + x
2

1 + y
2
>
1
2


1
x
2
+ 1
+
1
y
2
+ 1
+
1
z
2
+ 1

≥ 10
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 40 tác giả
Cho a, b, c ∈ [0, 1].Tìm GTLN của :
P =
a
3
+ 2
b
2
+ 1
+
b

+ 2

1 − z
2
1 + z
2

≤
9
4
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 42 tác giả
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = 4

a
3
+ b
3
+ c
3

+ 15abc
Lời giải (noname)
GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG 
Bài 43 tác giả
Cho x, y, là các số thực x ≥ y ≥ z ≥ 1 , 3x
2
+ 3y

25