Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 1
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
sai xót nhất định.
()
4x y x y
ta có:
1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2a b b c a a b b c a a b c
1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2b c c a b b c c a b b c a
1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2c a a b c c a a b c c a b
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
32
32
32
a b b c a
b c c a b a b c
1 1 1 1 1 1 1
()
2 2 2 2a b c b c a c a b a b b c c a
(3)
Kết hợp (2) và (3) ta có:
Bài 3: Với a, b, c là các số dương:
1 1 1 1 1 1 1
()
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c
(4)
Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3a b c b c a c a b a b b c c a
(5)
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B A B C
Giải
Đặt
tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z
thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:
1
1 1 1 4
x y z
yz zx xy xyz
Ta có:
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1 1 1
4 4 4
Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện:
0, 1 0, 1 0, 4 0x y z x y z
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 4
x y z
Q
x y z
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 4
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
Đặt
1 0, 1 0, 4 0a x b y c z
.
Ta có:
6abc
và
1 1 4 1 1 4
a b x y
a b c
cz
abc
Vậy:
1
3
MaxQ
đạt được khi
1
2
1
xy
z
.
Tương tự ta có:
1 1 4 1 1 4
;
4 4 6 4 4 4 6 4
yz
y z y z z x z x
.
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả:
ab bc ca abc
. Chứng minh rằng:
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
Giải
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
11
2
33
4 4 4 4 6 6
44
33
3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2
1 1 1
33
2
22
3 3 4 4 2 2
22
2 2 2 2 2 2
2
xy
a b x y x y
xy
xy
;
22
y z z xb c c a
bc b c ca c a
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
x y z
ab a b bc b c ca c a
.
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t.
Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng:
1 1 1 1 1
( ) 6
9x y z x y z
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x y z
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 6
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:
yx
+ z
abc
abc
x y z x y z
. (Bất đẳng thức sơ-vac).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c
x y z
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
.
a b c a b c
x y z x y z
x y z
x y z
abc
với a, b, c là các số thực dương.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
2
2 2 2
abc
abc
abc
b c a a b c
. Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
abc
abc
b c a
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 7
Chủ biên: Cao Văn Tú
. Mặt khác theo bất đẳng
thức Bunhiacovski ta có:
2
2
4
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 3 3
1
99
9
a b c a b c aa a bb b cc c
a b c a b c a b c a b c
.
x yz zt ty b c d
a bc dc bd
; tương tự ta có :
2 2 2
3 3 3
1 1 1
;;
b c d
y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c
Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có:
3 3 3 3
2
2 2 2 2
4
1 1 1 1
3
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
B
b c a c b a
Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện
1ab bc ca Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
2
4 4 4
22
4 4 4 4 4 4
4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4
2 2 4
a b c a b c
abc
B
a b c a b c a b c
.
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski
2
4 4 4
1 ab bc ca a b c
.
Bài 15: Cho x,y, z > 0 và thoả:
2 2 2
1
3
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 4 4 4
2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 8 2 8 10
1
2 2 2
30
x y z x y z
x y z y z x z x y
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z x y z
x y z xy yz zx x y z x y z x y z
x y z
.
Bài 16: Cho a, b, c > 0 và thoả: a.b.c = 1
Chứng minh rằng:
222
3
3 3 3
a b c b c a c a b
Giải
Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
chúng bằng nhau và bằng 1.
- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt
1 1 1
;; b c . a
x y z
Đặt
1 1 1
;; b c . a
;
2
3
3
2 2 2
1 1 1
z
c b a y x
z y x
.
Do đó Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :
10
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1x y z Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả:
3x y z
. Tìm GTNN của biểu thức:
A =
2
22
y
xz
x yz y zx z xy
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
2
2
22
x y z
y
xz
x y z
x yz y zx z xy
Bài 18: Với x, y, z là các số dương và
. . 1x y z
Chứng minh rằng:
3
2
x y z
x yz y zx z xy
(1)
Bình phương hai vế bất đẳng thức:
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 11
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
2
24
2
2
2 2 2
2 2 2
44
2
2 2 2
4
2
(3)
3( )
( Vì
2
3
33ab bc ac abc
)
Đặt
2
t abc
thì
9t
( vì
3
33a b c abc
)
Ta có:
2
3 15 3 3 3.9 15 3 3 9
2.
3( 3) 12 12 3 12 12 3 2
t t t t
t t t
n
n n n n
x
xx
n
x x x x x x x x x x x x
Bài 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
abc ab bc ca
thì
3
16
111
2 3 2 3 2 3a b c b c a c a b
Giải
Từ
abc ab bc ca
suy ra
1 1 1
1
abc
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 12
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
6
13
36 6 16
111
2 3 2 3 2 3
x y z
a b c b c a c a b
Cách 2:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3
.
2 3 9 9 4a b c a c b c b c a c b c b c a b c
suy ra điều phải chứng minh.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.
Bài 20: Cho
, , 0
1
x y z
x y z
. Chứng minh rằng:
2 2 2
9
1 1 1 10
x y z
P
x y z
Giải
Đặt
2 2 2
t x y z
từ điều kiện
1
3
t
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi ta có:
3 3 3 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 3 1
13
3
1
( )(57 9)
99
3
3 10 3 10 10
t t t t
P
t
tt
t
tt
tt
tt
P
tt
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y
yy
x x z z
y y z z z z x x x x y y
Đặt
; ; ; b c a x x y y z z
Ta có
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c ab bc ca
. Nên ta có:
2P
. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
abc
. Hay
x=y=z=1 x x y y z z Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng. Chøng minh r»ng:
2
3
ba
c
ac
b
cb
aTuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!
ba
c
ac
b
cb
a
ba
cba
ac
cba
(1 4 )( ) (1. 4. ) ( )
17
a b c
b c a
a a a a
b b b b
Tương tự
22
22
1 1 4 1 1 4
( ); ( )
17 17
b b c c
c c a a
Do đó:
1 4 4 4 1 36
( ) ( )
17 17
1 9 135 3 17
()
4( ) 4( ) 2
17
S a b c a b c
a b c a b c
Email:
2 2 2 2 2
22
22
22
1 1 1 1 9
(1. 9. ) (1 9 )( ) ( )
82
1 1 9 1 1 9
: ( ); ( )
82 82
1 9 9 9 1 81
( ) ( )
82 82
1 1 80
( ) 82
82
x x x x
y y y y
TT y y z z
z z x x
S x y z x y z
x y z x y z
x y z
x y z x y z
Bài 26: Cho x,y,z> 0 và
1 1 1
4
x y z
. Tìm giá trị lớn nhất của
1 1 1
2x 2 2z
P
y z x y z x y
Giải
Ta có
1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1
;
2 2 16
:
1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
;
2 16 2 16
1 4 4 4
1
16
x y x y y z y z x y y z x y y z x y z x y z x y z
TT
x y z x y z x y z x y z
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Dự đoán x=y=z = 2 và
33
8 .8 64 4
x x x x
nên :
3
22
3
22
3
22
33
222
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4
8 8 8 3 8 .8 .8 3 8 .8 .8 192
x x x x x
y y y y y
z z z z z
x y z x y z
Cộng các kết quả trên => đpcm.
x y y y z yz
z x z
xy xy xy yz yz yz z z z
S
xy yz zx
x y z
Bài 28: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22
1
11
x y xy
P
xy
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 29: Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:
3 3 3
abc
ab bc ca
b c a
Giải
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 17
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Cách 1:
2
3 3 3 4 4 4 2 2 2 2
()
ab bc ac
a b c a b c a b c
ab bc ac
b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac
Giải
2 3z 5 3 5 2 5
1 1 2 1 3z
2 3z 5 3 5 2 5
1 1 1 3
1 1 2 1 3z
1 1 1 9
2 3z 6 3 24. 3
1 1 2 1 3z 2 3z 3
9 51
24. 3
21 7
y z x x y
xy
y z x x y
xy
xy
x y x y
Có
1 8 1 8 1 8 2 10 10
( ) .3 2. .
9 9 9 9 3 3 3 3
a a a
A a A
a a a
Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:
3abc
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
abc
a b b c c a
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 18
2
+
ca
2
Mà a
3
+ ab
2
2a
2
b ;b
3
+ bc
2
2b
2
c;c
3
+ ca
2
2c
2
a Suy ra 3(a
2( )
abc
abc
abc
t = a
2
+ b
2
+ c
2
, với t
3.
Suy ra
9 9 1 3 1
34
2 2 2 2 2 2 2
t t t
Pt
tt
P 4 a = b = c = 1
Bài 33: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn
a2bc
cộng các vế lại
Bài 34: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
3 3 3
4( )15Pabc abc
.
Giải
Có
22 2
()( )( )aabcabcabc
(1) ,
22 2
()( )( )bbcabcabca
(2)
22 2
()( )( )ccabcabcab
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra
abc
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế
4( )153.(8)328abcabc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
3
abc
.
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi
2
3
abc Bài 35: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
3 3 3
21
3
94
a b c abc
.
Giải
3 3 3
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
3
*3
ó 3 ( )( )
1
11
à
2 6 6
1 1 1 1 1 1 1 2
0.
3 3 3 3 6 3 6 9
b c abc a b c ab bc ca
abc
m ab bc ca P a b c
a b c a b c P
3 3 3
3 3 3 2 2 2
2
2 2 2
*3
( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 ) 1 4( ) 8a 0
1
) 2a (3)
4
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(6 2 )(6 2 )(6 2 ) 216 72( ) 24( x) 8x
8
24 ( x) (1)
3
mà 9 2x 2 2xz 9
x xz 36 3x 3 3xz (2)
8
ê x xz 24 (
3
xyz x y z x y z x y z
x y z x y z xy yz z yz
xyz xy yz z
x y z x y z y yz
x y z y yz y yz
N n xyz x y z y yz
2
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
22
1342 1342 0; 1342 1342 0; 1342 1342 0a b a b a b
Thật vậy:
22
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1342 1342 0 2.1342. 2.1342 0 (1)
1342 1342 0 1342a 1342 1342 0 (2)
2.1342. 2.1342 1342a 1342 1342 0
3.1342. 3.1342 2.2013. 3.1342
2013. 2013.
a b a b a b
a b ab b
a b a b ab b
a b ab a b a b
a b a b
4 4 2 2
2
2 2 2 2
2
2
22
2
2
22
4 2 4 2
4
1 3 6 1 3
1 3 4 1 3
2x 8x 10 4 x 4x 3
2( 2) 2 4 ( 2) 1
4( 2) 8( 2) 4 4( 2) 8( 2) 4
8( 2) 8 8
A x x x x
A x x x x
A
A x x
A x x x x
Ax
1 1 1
;;
1 x 1 y 1 z
y y x y x y y x y y y x y
y xy x y z
y xy x y z
z x y
dpcm
y x y z z x y z x x y z
Bài 40: Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
Giải
2 2 2
1 1 1 3 3 3 3 3
a+b
=
a+b
ab
−
4
a+b
=
( )
a+b
2
−4ab
ab(a+b)
=
( )
a−b
2
ab(a+b)
0
VT VP. Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra a = b.
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 22
Chủ biên: Cao Văn Tú
2
+ 2|ab| + b
2
a
2
+ 2ab + b
2 |ab| ab (đúng với mọi a, b).
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Dấu “=” xảy ra ab 0.
Bài 43: Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh bất đẳng thức:
2
2 2 2
33
a b c a b c
Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng
đúng.
Dấu “=” xảy ra a = b = c.
Bài 44: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:
12
a b c
a b b c c a
Giải
Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức:
1
2
a b c
a b b c c a
a b c
a b b c c a
a b c a b c
b c b c c a a b c a b c a b c
Chứng minh bất đẳng thức
2
a b c
b c b c c a
Bài 45: Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh:
a
3
+ b
3
1
4Giải
Ta có: a
3
+ b
3
= (a + b)(a
0 (2)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có:
2(a
2
+ b
2
) 1 a
2
+ b
2
1
2
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ! 24
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Lại từ (2) 2ab a
2
+ b
=
1
4
(đccm)
Dấu “=” xảy ra a = b =
1
2
Bài 46: Chứng minh rằng, với a, b là hai số khác 0 và cùng dấu thì:
a
b
+
b
a
2 Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử a b
Khi đó a = b + c (c 0)
Vì c 0 nên ta có:
2 2 2
1 1 1 2
a b b c b c b bc c b b bc
b a b b c b b c b b c b b c
2
2 2 2 2
1 1 4 4
4
x xy y xy x xy y xy
xy
(vì x + y 1)
Bài 48: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng: ab +
bc + ca + a + b + c 6.
Giải
Ta có: ab + bc + ca a
2
+ b
2
4
a
b c b a c c a b Giải
Giả sử
2
22
4
a
b c b a c c a b
Khi đó, ta có:
2
22
2
22
2
4
20
4
0
2
a
b c b a c c a b
a
b c ab ac bc
= 2
3
= 8, 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 2
n
> 2n + 1.
Mệnh đề đúng với n = 3.
2. Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k N, k 3). Khi đó 2
k
> 2k + 1
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là
2
k+1
> 2(k + 1) + 1. Thật vậy, 2
k+1
= 2.2
k
> 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp)
2
k+1
> 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k 3)
Vậy mệnh đề đúng với mọi k 3.
3. Kết luận: 2
Copyright: Tài liệu đại học ©