TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA & LUYỆN THI THÀNH ĐẠT “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

10 – BÀI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HƯỚNG DẪN

1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn:
Ta đặt
2
2
2
y z x
a
x b c
x z y
y c a b
z a b
x y z
c
+ −

=

= +



 ÷
 
   
(đúng)
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
a b c
⇔ = =
2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3x y z+ + =
.
Chứng minh :
3
xy yz zx
z x y
+ + ≥
Hướng dẫn:
Đặt
xy
a
z
yz
b
x
zx
c
y

=

. Chứng minh:
1 4 9
36
x y z
+ + ≥

Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có thể đặt:
a
x
a b c
b
y
a b c
c
z
a b c

=

+ +


=

+ +


=


2
1
3
3
1
2
x
b a
y
c a
z

=


=


⇔ ⇒ =
 
=



=


4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh:
( )( )( )xyz x y z y z x z x y≥ + − + − + −
Hướng dẫn:

   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   
Hướng dẫn:
Do
1abc
=
nên ta có thể đặt
x
a
y
y
b
z
z
c
x

=



=



=



Ta đặt
1
1
1
a
x
b
y
c
z

=



=



=


với
, , 0x y z >
và do
1abc =
nên
1xyz =
Nên BĐT
2 2 2

⇔ + + ≥ ≥ =
 ÷
+ + +
 
Vậy BĐT đuợc chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
1a b c
⇔ = = =

7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:
2xyz x y z= + + +
.
Chứng minh :
3
2
x y z xyz+ + ≤
Hướng dẫn:
Từ
1 1 1
2 1
1 1 1
xyz x y z
x y z
= + + + ⇔ + + =
+ + +
Ta đặt
1 1 1
, ,
1 1 1
a b c

≤ +
 ÷
+ + + +
 

1
.
2
b c b c
c a a b b a c a
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 

1
.
2
c a c a
a b b c c b a b
 
≤ +
 ÷
+ + + +
 
Nên
1 3
. . .
2 2

3
+b
3
≥ ab(a+b)
a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3
Hướng dẫn:
a) a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b
⇔ 2a
2
+2b
2
+2≥ 2ab+2a+2b
⇔(a
2
-2ab+b
2
)+(a
2
-2a+1)+(b

2
+d
2
+e
2
-a(b+c+d+e)≥ 0
⇔
0
4444
2
2
2
2
2
2
2
2
≥








+−+




bab
a
⇔
0
2222
2222
≥






−+






−+






−+



+b
3
- ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)
2
(a
2
-2ab+b
2
) ≥ 0
⇔ (a+b)
2
(a-b)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
3
+b
3
≥ ab(a+b)
d) a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3
⇔ (a
4
- a



+






+
4
3
2
2
2
bb
a
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3

9. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)
2

+(a-c)
2
+(b-c)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
b) a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2
)≥ 6abc
⇔ a
2
+a
2
b
2
+b
2
+b

2
)≥ 6abc
10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 .
Chứng minh rằng: a
4
+b
4
≥ a
3
+b
3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 .
Chứng minh rằng: a
4
+b
4
+c
4
≥ a
3
+b
3
+ c
3
Hướng dẫn:
a) a
4
+b
4
≥ a







+
b
b
a
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b =
2
1
b) a
4
+b
4
+c
4
≥ a
3
+b
3
+ c
3
⇔3 ( a
4
+b
4
+c









+






+−+








+




