1
CÁC BÀI TOÁN CÓ NHIỀU LỜI GIẢI Võ Quốc Bá Cẩn Bài 1. (Chọn đội tuyển Rumani 1999) Cho
12
,,,
n
aa a
là các số thực
dương thỏa mãn
12
1.
n
aaa
Chứng minh rằng
12
11
11
1
1.
1
n
n a n na a

Chứng minh.

( 1) ( 1) ( 1)
n
n
n
n
a a a
a n a n a n
aa
a n a n
a
an

ta đưa được bài toán về chứng minh
2
1 2 1 2
( 1).
nn
a a a aa a n n

Do
2
12
1 1
2
n
n i j
i j n
i
i
aa a a aa

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12
1.
n
a aa

Cách 2. Giả sử bất đẳng thức đã cho sai. Khi đó tồn tại các số thực dương
12
,,,
n
aa a
thỏa mãn
12
1
n
aa a
sao cho
12
11
11
1
1,
1
n
n a n na a

hay
12
12
1.

n
n
n
n
i
i
a
an
a a a
a a a
n
a n a n a n
n
a n a n a n
an
n
an
an
a
Suy ra
1
1
1
1
(1
1.
(1
)
)
i

a n a n a n

Nhân các bất đẳng thức này lại theo vế ta thu được
11
(vô lý). Mâu thuẫn
này chứng tỏ điều giả sử ở trên là sai, hay nói một cách khác, bài toán được
chứng minh.
Cách 3. Thực hiện biến đổi tương tự như cách 1, ta phải chứng minh 3
12
12
1.
1 1 1
n
n
a a a
a n a n a n

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
1
1 1 1
1
1
1 1 2
1 2 3
1
1
1 1 1 1

n
a a a
an
a n a a
a n a a
a
a n a a a
a
a a a a
a
a

Tương tự
1
22
1 1 1
2
12
1
33
1 1 1
3
12
1
1 1 1
12
,
1
,
.

Cộng
n
bất đẳng thức trên lại theo vế, ta có ngay điều phải chứng minh.
Cách 4. Ta sẽ chứng minh mệnh đề tổng quát như sau: Nếu
12
,,,
n
aa a
là
các số thực dương thỏa mãn
12
1
n
aa a
và
1,
n
mn
thì
12
11 1
.
1
n nn nn
a m a m
n
a m m

Kết quả bài toán ứng với trường hợp
1.

a m m a m

Giả sử bất đẳng thức đúng với
2.nk
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng
với
1,nk
tức là: Nếu
12 1
,,,,
kk
aaa a
là các số thực dương thỏa
mãn
112
1
kk
aa aa
và
1
,
k
mk
thì
111 121 11
11 1 1 1
.
1
kkkk k k k
k

b
a a b m
b
a

Khi đó ta có
12
1
k
bb b
và
1
1
kk
m m k k
nên theo giả thiết quy
nạp, ta sẽ có
12
1 1
.
1
1
k k k kk
b m b m
k
mmb

Thay
i
i

1
1
k
k
kk
k
k b k
b m m
mb

Bất đẳng thức này tương đương với 5
11
1
1
1
1
1
11
(1 ) (1 )
1,
1
1 (1 )
,
1
(1 ) ( )(1 ) (1 ) 0,
k
kk


Bất đẳng thức cuối cùng đúng do
1 1 1
1
1
( 1) (1 ) (1 2 )
(1 2 ).
k k k
k
k
k k b b k b b k b kb
m b kb

Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức cũng đúng với
1.nk

Theo nguyên lý quy nạp, ta có nó đúng với mọi
2.n

Bài 2. Cho
, , ,a b c d
là các số thực dương thỏa mãn
1.abcd
Chứng
minh bất đẳng thức sau
2 2 2 2
1 1 1 1
1.
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )a b c d



Tương tự ta cũng có 6
2
1
.
( )(1 )
(1 )
x
x y xy
y

Cộng hai bất đẳng thức này lại, ta được
22
1 1 1
.
( )(1 ) 1
(1 ) (1 )
yx
x y xy xy
xy

Bổ đề được chứng minh.
Cách 2. Tiến hành biến đổi trực tiếp, ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
22
22


Từ đó suy ra
2 2 2 2
1 1 1 1 1
1.
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
ab
ab
a b c d

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.a b c d

Cách 2. Đặt
5 5 5
4 2 3 3 2 2 4
1 1 1
,,x y z
a b c ab c a bc
và
1,t
ta dễ dàng
kiểm tra được
2 2 2 2
, , , .
yz zt tx xy
a b c d
x y z t
Thay bất đẳng thức đã

( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ),
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ).
x yz z tx x y x z z t z x
x y z t x z
y zt t xy y z y t t x t y
x y z t y t

Kết hợp với trên, ta suy ra
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
()
1.
( )( ) ( )( )
x y z t
x yz y zt z tx t xy
x y z t
x y z t x z x y z t y t

Cách 3. Đặt
1, ,x y a z ab
và
,t abc
ta dễ thấy
,,
yz

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 ( ) ( )
x x t y y x z z y t t z
P
x y x t y z y x z t z y t x t z
x y z t x y yz zt tx
x y z t x t y z
x y z t x t y z
x y z t
2 2 2
1.
( ) ( )x t y z
8
Cách 4. Đặt
4 4 4 4
1 1 1 1
, , ,a b c d
x y z t

( , , , 0)x y z t
thì ta cũng
có
1.xyzt

3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 2 3 3
4
2 2 ,
33
2
.
33
sym
sym
y z t
x yzt x x y
y z z t t y
y z t x y

Phép chứng minh hoàn tất.
Bài 3. (Olympic Toán Ukraine 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực
dương
, , , , , ,a b c x y z
bất đẳng thức sau đây luôn được thỏa mãn
2
( ) 4( )( ).ay az bz bx cx cy ab bc ca xy yz zx

Chứng minh.
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
2
( ) ( )
4 ( ) ( )
( ) ( )


Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
2 2 2
11
( ) ( ) .b z c y b c
zy

Từ đó suy ra
22
()
.
11
b z c y b c yz b c
b c y z
zy

Phép chứng minh được hoàn tất.
Cách 2. Lấy căn bậc hai của hai vế và chú ý rằng
( )( ) ( ),ay az bz bx cx cy a b c x y z ax by cz

ta có thể viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng
2 ( )( ) ( )( ).ax by cz ab bc ca xy yz zx a b c x y z

Đến đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )( ) 2( ) 2( )
[ 2( )][ 2( )]
( )( ) .
VT a b c x y z ab bc ca xy yz zx

a b c ab bc ca x y z xy yz zx
a b c x y z
a b c x y z

Bài 4. (IMO 2008) Cho
,, 1x y z
và
1.xyz
Chứng minh rằng
2 2 2
1.
1 1 1
x y z
x y z

Chứng minh.
Cách 1. Đặt
, , ,
1 1 1
x y z
a b c
x y z
khi đó ta có
,,.
1 1 1
a b c
x y z
a b c

Do giả thiết

bc ca ab
x y z
a b c
(chẳng hạn
33
3
1 1 1
,,a b c
x y z
). Khi đó,
bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng thuần nhất là
4 4 4
2 2 2 2 2 2
1.
( ) ( ) ( )
a b c
a bc b ca c ab

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 11
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
()
.
( ) ( ) ( )
a b c
VT
a bc b ca c ab


Đến đây, với chú ý ở đẳng thức
0xy yz zx
trong đó
( )( ), ( )( ), ( )( ),x a b a c y b c b a z c a c b

ta thấy
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( ) ( ) 2( )
( ) ,
a b a c x y z x y z xy yz zx
x y z

mà
( )( ) ( ) ( ) ( ),x y z a b a c a a c b b a c c b
nên từ
trên, ta có ngay điều phải chứng minh.
Bài 5. Cho
,,A B C
là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng
2 2 2
cos cos cos 1
.
cos 1 cos 1 cos 1 2
A B C
A B C

Chứng minh.
Cách 1. Đặt

1
( )( )
1
.
2( ) 2( )
x
x x x
Ax
x
Ax
x
x x x
x
xx
xx
x y x z
x
xx
x
x y x z

Tương tự ta cũng có
2 3 3
2
2 3 3
2
cos
,
cos 1 2( ) 2( )
cos

cos , cosx A y B
và
coszC
thì ta có
, , 0x y z
và
2 2 2
2 1.x y z xyz
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 2 2
2 2 2
1.
1 1 1
x y z
x y z

Thay
2 2 2
12x y z xyz
và để ý rằng
22
2
2 (1 )
,
11
x x x
x
xx
ta có
thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng

và
3
.
2
x y z
Từ đó dẫn đến
2 2 2 2 2 2
3
3
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 )
3
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
3
(1 )(1 )(1 )
99
2.
33
3
2
x x y y z z x y z x y z
x y z x y z
xyz
x y z
xyz xyz
xyz
x y z

Cách 3. Thay
2 2 2
cos

bc b c a bc ca c a b ca ab a b c ab

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
2 2 2 2
2 2 2
()
.
( ) ( ) ( ) ( )
a b c
VT
bc b c ca c a ab a b abc a b c

Mà
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) 0a b c bc b c abc a b c a a b a c

theo bất đẳng thức Schur bậc 4 nên kết hợp với trên, ta có ngay điều phải
chứng minh. 14
Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, , ,a b c
ta luôn có
33
1 1 1 3
.
( 1) ( 1) ( 1)
1
a b b c c a

a b c abc

Bây giờ, để ý rằng
( 1)( 1)( 1) ( 1) ( ),a b c abc a b c ab bc ca

3
3
2 2 2
33a b c ab bc ca abc a b c

và hàm số
()
t
ft
tk
luôn tăng với mọi
, 0.tk
Do đó, ta dễ dàng thu
được
3
3
2 2 2
3
3
2 2 2
2
3
3
2 2 2
33

abc
15
Từ đó, ta được
3
3
33
3
33
1 1 1 3
.
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
abc
abc
a b b c c a abc
abc abc

Cách 3. Đặt
3
,abc k
khi đó ta dễ dàng chứng minh được tồn tại các số
dương
,,x y z
sao cho
, , .
ky kz kx
a b c


Bất đẳng thức được chứng minh xong.
Bài 7. Cho
, , ,a b c d
là các số thực thỏa mãn
1.ad bc
Chứng minh
2 2 2 2
3.a b c d ac bd

Chứng minh.
Cách 1. Thay
3 3( )ad bc
vào, ta viết được bất đẳng thức dưới dạng
2 2 2 2
3( ),a b c d ac bd ad bc

tương đương
2 2 2 2
3 3 .a b c d a d c b c d

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 16
22
22
33
3 , 3 .
44

13
( ) ( ) .
44
a c ac a c a c
b d bd d b d b

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
2 2 2 2
3( ) ( ) ( ) 3( ) 4 3.a c d b a c d b

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được
22
22
3( ) ( ) 2 3( )( ),
( ) 3( ) 2 3( )( ).
a c d b a c d b
a c d b a c d b

Từ đây suy ra
2 3 ( )( ) ( )( ) 4 3( ) 4 3.VT a c d b a c d b ad bc

Cách 3. Sử dụng giả thiết
1,ad bc
ta có
2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) 1.a b c d ac bd ad bc ac bd

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2

x x x x
xx

Bài toán được chứng minh xong.
Bài 8. (Chọn đội tuyển Iran 2009) Cho
,,a b c
là các số thực dương thỏa
mãn
3.a b c
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3
.
4
2 2 2a b b c c a

Chứng minh.
Cách 1. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
.
2
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được
2
2 2 2 2 2 2

18
Bất đẳng thức cuối đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( ) .a b a c a bc a b c ab bc ca

Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.a b c

Cách 2. Tương tự như cách 1, ta phải chứng minh
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
,
2
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a

tương đương
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
.
2
2( ) 2( ) 2( )
( ) ( ) ( )
a b b c c a

2 2 2 2
41
12 ( ) ( ) ( ) ( )
33
a b a b c a b a b

và
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( )
12
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b b c c a

nên bất đẳng thức này tương đương với
2 2 2
2 2 2 2 2 2
6 6 6
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0.a b b c c a
a b b c c a

Với giả thiết
,a b c
ta thấy ngay bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng
nếu
22
6,ab
và vì thế bài toán của ta cũng được chứng minh trong
trường hợp này. Xét trường hợp ngược lại
22

,,x y z
là các số thực
dương, thì
1 1 1 3
.
2( )
x y z
y z z x x y xy yz zx x y z

Nhân hai vế của bất đẳng thức này cho
xy yz zx
và để ý rằng
,
xy yz zx yz
x
y z y z

ta viết được nó dưới dạng
3( )
.
2( )
yz zx xy xy yz zx
y z z x x y x y z

Nhân tiếp hai vế cho
x y z
rồi sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
( ) ( )
,
4
20
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 3 3
2 ( 1)( 1) 2( 3)
33
2( ) 3 2( 3)
33
.
2( 3)
2( ) 3
3
a b c
a b a b a b c
a b c
a b a b c a b c
a b c
a b c
ab
a b c

Vậy ta chỉ cần chứng minh
2 2 2

4( 12 63)(6 )
q
q
q
q
q
q q q

Bất đẳng thức cuối đúng do
2
()
3.
3
a b c
q ab bc ca

Bài 9. Cho
, , ,a b c d
là các số thực thỏa mãn
2 2 2 2
( 1)( 1)( 1)( 1) 16.a b c d

Chứng minh rằng
3 5.ab ac ad bc bd cd abcd

Chứng minh.
Cách 1. Để ý rằng
2 2 2 2
2 2 2
( 1)( 1) (1 ) ( ) ,

1,
()
1
1.
sym
sym
sym
sym
sym
sym
a i abcd i abc i ab i a i
abcd i abc ab i a
abcd ab i a abc
a i abcd i abc i ab i a i
abcd i abc ab i a
abcd ab i a abc

Do đó tích
( ) ( )a i a i
có dạng
22
( )( ) ,A Bi A Bi A B

từ đây suy ra
22
2
16 1 1 ,
sym sym
abcd ab a abc abcd ab


,,a b c
là các số thực dương.
Chứng minh rằng
1.
a b c a b b c
b c a b c a b

Chứng minh.
Cách 1. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
( 2 )
1 2 .
( )( )
a b c a b b c a b c
b c a b c a b a b b c

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2 2 2 2 2
22
2
()
1
( 2 )
.
( )( )
a b c a b c b a b c b
b c a ab bc ca
b ab bc ca b
a b c
a b b c

2 2 , 2 2 ,
()
.
ac bc ac bc b b
c c c b
b a b a c c
c c b c b
b
a a b a b
23
Cách 3. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
1,
2
.
( ) ( ) ( )
a a b b c c b
b b c c b c a a b a b
ac b bc a b
b b c c b c a a b a b

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2
2
()
( ) ( )
( ) ( ) ( )

ac
xy
bb
ta có
11
, , .
11
c y a b x b c y
a x b c y a b x

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
1 1 1
1.
11
y x y
x
y x y x

Sau khi khai triển và rút gọn, ta được
3 2 2 3 2 2 2
2 2 .x y x x y y x y xy xy

Bất đẳng thức cuối này đúng vì theo AM-GM, ta có
3 2 3 2 3 3
2 2 2 2
, 2 , 2 .
22
x y x x y x y y
x y xy x y xy



nên ta chỉ cần chứng minh
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ).
a b b c c a a b c a c
b c a a b b c

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
2
2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
a b b c
a b b c a c
b c b c b c

Suy ra ta chỉ cần chứng minh
2 2 2
( ) ( ) ( )( )
.
( )( )
a c a c a b c a c
b c a a b b c

Bất đẳng thức cuối này đúng vì
1 1 ( )
0.
( )( ) ( )( )
25
3
3
33
6 2 2 10 3 3
( 1 1)( 1)( 1 ) ( 2) ,a a a a a a a a a a

từ đó suy ra
63
3 2 2
2 2 3
1.
( 2) 1 1
aa
a
a a a a a a

Bằng cách thiết lập hai bất đẳng thức tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta
có thể đưa bài toán về chứng minh
2 2 2
1 1 1
1.
1 1 1a a b b c c

Đặt
2 2 2
,,
yz zx xy

Bài toán được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.a b c

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có
4 2 2 2 2 2 3
( )( )( ) ( 2 ) ,a b c b c a b c a c b a bc

suy ra
4 2 2 2
2
22
.
2
a b c a bc
a b c
a bc

Từ đó, ta được
2 2 2
2 2 2
.
a bc b ca c ab
VT a b c
a b c a b c a b c

Cách 3. Trước hết, ta sẽ chứng minh
2 2 2
.
2 2 2