Võ Quốc Bá Cẩn
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ

Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz.
I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz.
Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực và ta có
n
aaa , ,,
21 n
bbb , ,,
21
))(()(
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .,1,:: njibbaa
jiji
=∀=
II. Các bài toán áp dụng.
Bài 1
. (Jack Garfunkel)
Cho các số không âm , chứng minh bất đẳng thức

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
⋅++=
⎟
⎟
⎠


Như thế, ta chỉ cần chứng minh
16
5
)95)((
)( ≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
++
∑
cyc
cbaba
a
cba

Như điều này hiển nhiên đúng vì
0
)95)(95)(95)()()((16
1230232835243)3)(9)((
)95)((
)(
16
5

1
, chứng minh rằng
cba ,,

2
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
5
11
222
≤+++++ accbba

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
∑∑
∑∑∑∑
++
+++
=
++
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++

cyccyc
cyccyccyccyc
cba
bcbaa
cba
ba
cba
ba
cba
cba
ba
cbaba
44
)(
9
44
9
44
)44(
44
44
22
2
2
2
2
2

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
)(

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
=
++++++
+−++
=−
∑∑∑∑
∑
∑
∑
∑
∑

trong đó
01189825319751210
23322
≥+++=
∑
∑
∑
∑
cyccyccyccyc

⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⇔
∑∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyccyc
bcababcababaa

Ta có
∑∑∑
−=−
cyccyccyc
babaa
222224
)(
2
13
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng

)2)((
))(()(3
)(333
22
2222
222323

∑∑∑
−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
cyccyccyc
bcacabbcaba
2222
)2(6

Do đó bất đẳng thức tương đương
0)2)((2)2(2)(
2
1
222222
≥−+−−−++−
∑∑∑

⎝
⎛
++
+
++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

)4(
cba
cba
cba
cyc
++≤
++
+
∑

0410183065366916545
2232233445
≥−−−+++⇔
∑
∑
∑
∑
∑∑∑
cyccyccyccyccyccyccyc
cbabababcaabbaa

Không mất tính tổng quát, giả sử , bất đẳng thức tương đương với
{
cbac ,,min=
}
0)18306691654545(
32234455
≥+−−+++ Acbabaabbaba
0))(31015)(5(3
222

4
cba
ac
c
cb
b
ba
a ++
≥
+
+
+
+
+

Giải.
Bổ đề.
2222333
)(
3
1
cbacabcab ++≤++

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
2333332
33
4
)()( cbabaa
ba
a

)()(
)(
))((
)())((
2222222222222
222222222333
222
222222333
222222323232
cbaabcaccbbacba
cba
cabcab
cbaabcaccbbacabcab
cba
cabcab
cabcabcbaabc
cbaabcaccbbacabcab
cba
cabcab
cabcabcbaabccabcabcabcabaccbba
++−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++++
++
++
5
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho
,1
=
+
+
cba
đặt )10(,
3
1
2
≤≤=
−
++ qabcr
q
cabcab thì ta có
.
27
)21()1(
27
)21()1(
22
qq
r
qq −+
≥≥
+−

2
2
2
2
2
2
≥
−++−
=+−++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠


Bài 5. (Phan Thành Nam)
Cho các số không âm có tổng bằng . Đặt
cba ,,
1
,
2
3
1 −=k
chứng minh rằng
3)()()(
222
≤−++−++−+ bakcackbcbka

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+
⋅+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
∑∑
∑∑∑∑
cyccyc
cyccyccyccyc
a
cb
a
a
a


Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
()
3
3
1
)(
2
32
3
1
13
2
≤
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−
+
+

(
)
(
)
(
)
03)13(3632336329
2
≤−=+−+≤+−+ qqqqqqqr

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=== cba
hoặc
0,1
=
=
=
cba
và
các hoán vị.
Bài 6. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số dương chứng minh rằng
,,, cba
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

+
+
+++
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

2
2
2
cyc
cyccyccyccyc
bca
cba
accbba
cba
caba
bca
caba
caba
bca
caba
bca

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
2
2
1
3
)(
))()((
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

2
cbaaccbba
cabcabcba
bca
cba
cyc
+++++
+++++
≤+
+
+
⇔
∑

))()()((
3
)(
222222444
2
cbaaccbba
accbbacba
bca
cba
cyc
+++++
−−−++
≤−
+
+
⇔


7
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
0
))()()()((
))()(()(
))((
11
))((
11))((
))((
11
))((
22
222
22
2
≥
++++++
++−+−+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟

⎝
⎛
+++
+
+
−−
∑
cbacbcacabbcab
bcacabbacbbabac
cbaac
cab
b
cbacb
bca
a
b
cbba
cbacb
bca
caba
cyc

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.cba
=
=

III. Bài tập tự giải.
Bài 1. (Nguyễn Việt Anh)
Cho các số dương chứng minh rằng

22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
∑∑∑∑
cyccyccyccyc

⎛
+
∑∑∑∑
cyccyccyccyc
acbabaaaaba
222
2
23
))(22(3

Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số dương chứng minh rằng
,,, cba
2222222
)(888 cbabacacbcba ++≤+++++
Hướng dẫn.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
⎟
⎟
⎠

⎜
⎝
⎛
+
∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyc
cba
cba
a
cba
cba
cbaacba
210051
)8(
51
210051
)8(
)210051(8
22
2
22
2
22

Ta chỉ cần chứng minh
2
22
)(
210051
)8(

++ xyx
z
zxz
y
yzy
x

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
6
3
32
2
)(8)32()32)(1(
1
zyxzyxxzyxyzyx
yzy
x
cyccyccyc
++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≥
⎟

zyxyzzyxyzyxxzyx
3227
)32)(9)(3)(()(8

Ta có
∑∑∑
∑∑∑∑
−−−
+++++=
++
−
cyccyccyc
cyccyccyccyc
zyxzyxyzx
zyxyxyxyxyxxy
zyx
VPVT
32234
22233244244
979324
261543926)(4

Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được
∑
∑
∑
∑
∑∑∑
++≥+++++
cyccyccyccyccyccyccyc

++
+
++
+
++ acac
c
cbcb
b
baba
a

Giải.

9
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Đặt
c
a
z
b
c
y
a
b
x === ,,
thì ta có
1,0,,
=
> xyzzyx
. Khi đó, bất đẳng thức trở thành

y
m
pn
x === ta phải chứng
minh
1
7
442248
4
≥
++
∑
cyc
pnpnmm
m

Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
3333442248
2
442248
4
)()7(
7
pnmpnpnmmm
pnpnmm
m
cyccyc
++≥
⎟
⎟

symsym
pnmnmpnmpnmnm

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cba
=
=
hoặc các số
thỏa
cba ,, +∞→+∞→
c
b
b
a
,
và các hoán vị.
Bài 3
. (Phan Thành Việt)
Cho các số dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng
cba ,,
2
3
333
22
3
22
3
22
3
≥

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑∑∑∑
cyccyccyccyc
abacaba
ba

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⇔
cyccyccyc
cabacbaaba
322
3
2
))(3()(34

0786122723129
2222332433422456
≥−−−+−−++⇔
∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
cbacbacbabcababababaa
cyccyccyccyccyccyccyccyc

Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng
07561227289
222233243342245
≥−−−+−++
∑

1
=
=
=
cba11
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Phần 3. Các bài toán về kỹ thuật bình phương.
I. Các bài toán mẫu.
Bài 1
. (Vasile Cirtoaje)
Với mọi số thực thì
cba ,,
)(3)(
3332222
accbbacba ++≥++
Giải.
Viết lại bất đẳng thức như sau
033
23222224
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

)(
2
1

∑
∑∑
∑∑∑∑∑
−+−=
−+++−−=
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
cyc
cyccyc

Nên bất đẳng thức tương đương
0)2)(()2(
2
1
)(
2
1
222222
≥−+−−−++−
∑∑∑
cyccyccyc
bcacabbabcacabba

0)2(
2
1
222
≥+−−−⇔
∑
cyc
bcacabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.
Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Với mọi số thực thì
cba ,,
(
)
)(3)(13
333444

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∑∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyccyc
bcababcababaa

Chú ý rằng
∑∑∑
−=−
cyccyccyc
babaa
222224
)(
2
1

∑
∑∑
∑
∑
∑∑∑
−+−=
−+++−−=
−−=−=−
cyc

)2(
6
1
)(
2
1
222222
≥−+−−−++−
∑∑∑
cyccyccyc
bcacabbabcacabba

0)2(
3
1
2
1
2
22
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−−⇔
∑

≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟

−+−=
−+++−−=
−−=−=−
cyc
cyccyc
cyccyccyccyccyc
bcacabba
bacabcabbabc
babcbcacbbcaba
)2)((
3
1
))((
3
1
)(
)(
22
2222
222323

∑
∑∑
∑
∑
∑
∑∑∑
−+−−=
−++−−=
−=−=−=−

⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⇒
∑∑∑∑∑

∑∑∑
−+=−
cyccyccyc
bccaabbcaba
2222
)561145(
5282
1

Do đó, bất đẳng thức tương đương với
0)561145(
5282
35
)561145)(()(43
222222
≥−++−+−+−

172
369
)561145)(86(
172
1
22222
≥−+−++−⇔
∑∑
cyccyc
bacbccaabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.0
=
=
= cba

II. Bài tập tự giải.
Bài 1
. (Vasile Cirtoaje)
Với mọi số thực
cba ,,

14
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
)(2
333333444
accbbacabcabcba ++≥+++++
Bài 2. (Phạm Văn Thuận)
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọ thực i

=
+++
++
≥
++
++
=
+
+
=+
cyccyc
cyccyccyccyc
acabba
acabbaba
bcbaaba
bcbaaba
baba
baba
baba
baba
ba
ba
ba
322
))((2
)()(
))()((2
)(
))((2
)(

∑∑
+≥++⇔
cyccyccyccyccyc
cbacbabcacbaba
2233352425
222

02
19
6
19
4
19
9
22423223252525
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜