Bất đẳng thức phụ
1.
, , 0a b c ≥
9( )( )( ) 8( )( )
2 2 2 2 2 2
6
a b b c c a a b c ab bc ca
a b a c b c b a c b c a abc
+ + + ≥ + + + +
⇔ + + + + + ≥
Áp dụng
9
( )( )( ) 8( )
a b c
a b b c c a ab bc ca
+ +
≤
+ + + + +
2.
, , 0a b c >
( )( )
0
2
2
a a b a c
a bc
cyc
− −
≥
+
∑

2
a b c abc a b c a b b c c a+ + − = + + − + − + −
và
1
2 2 2 2 2 2
[( ) ( ) ( ) ]
2
a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + −
Suy ra
3 3 3 2 2 2
( )[( ) ( ) ( ) ]
1
3 6
a b c a b c a b b c c a
abc abc
+ + + + − + − + −
= +
2 2 2
( ) ( ) ( )
2. 2
2 2 2 2 2 2
ab bc ca a b b c c a
a b c a b c
+ + − + − + −
= −
+ + + +
3 3 3
1
2 2 2
2. 3 [( ) ( ) ( ) ]

2 2 2
0 ( )( ) 6
2 2 2
6
a b c
a b c a b c abc
abc
a b c
+ +
− ≥ ⇔ + + + + ≥
+ +
Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì
2 2 2
( )( ) 9a b c a b c a bc
+ + + + ≥
Cách 2. (AM-GM, BCS phối hợp các bđt ngược chiều )
3 3 3 3 3 3 2
( )( )
3
2. 3
2 2 2 2 2 2 2
3
3 ( )
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
abc
a b c abc a b c
+ + + + + + + +
+ ≥
+ + + +
Ta sẽ chứng minh

a b c
+ + + +
+ ≥
+ +
Cách 1. (SOS)
Ta sử dụng hai đẳng thức sau

1
3 3 3 2 2 2
3 ( )[( ) ( ) ( ) ]
2
a b c abc a b c a b b c c a+ + − = + + − + − + −
và
1
2 2 2 2 2 2
[( ) ( ) ( ) ]
2
a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + −
Suy ra
3 3 3 2 2 2
( )[( ) ( ) ( ) ]
3
2
a b c a b c a b b c c a
abc abc
+ + + + − + − + −
= +
2 2 2
9 ( ) ( ) ( )
9. 9 .

 ÷
+ +
 
Ta chỉ cần chứng minh
9
0
2 2 2
2
2( )
a b c
abc
a b c
+ +
− ≥
+ +
2 2 2
( )( ) 9a b c a b c abc⇔ + + + + ≥
Bất đẳng thức cuối cùng đúng (AM-GM).
CÁC ÁP DỤNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI VÀ NGƯỢC DẤU TRONG BĐT CÔSI
1. Sửa đề(Chọn điểm rơi) Cho a, b. c >0 và abc =1 . Tìm GTNN của
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
2 2 2
2 2 2( 2 ) 2 2( 2 ) 2 2( 2 ) 4

1 1 1
a b b c c a
P
c a b
+ + +
= + +
+ + +
Tìm min: P = 0(chọn điểm rơi
0a b c
= = =
)
Tìm max:
1 1 1
3 ( 1)
1 1 1
P a b c
c a b
 
+ = + + + + +
 ÷
+ + +
 
4. (ImoShortlist 1998). Cho
, , 0x y z >
và
1xyz =
. CMR
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

a b c d
a
b c d
+ +
+ + ≥
+ +
, …
3 3 3 3
1
3 3
a b c d a b c d
b c d c d a a b d a b c
+ + +
⇒ + + + ≥ −
+ + + + + + + +
Ta có

[ ]
2
2
2
1 ( )( )
( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 4( )( ) 4
ab bc cd da a c b d
a b c d a c b d a c b d a c b d
= + + + = + +
 
⇒ + + + = + + + ≥ + + = + + =
 
2a b c d

( ) ( ) ( ) ( )
3 .3 ( )( )( )
a b c a b b c c a
abc a b b c c a
≥
+ + + + + + +
+ + +
7. (Iran MO 1998). Cho bốn số thực dương a, b,c ,d thỏa abcd = 1. C/m
3 3 3 3
1 1 1 1
max ,a b c d a b c d
a b c d
 
+ + + ≥ + + + + + +
 
 
- Ta C/m:
3 3 3 3
a b c d a b c d+ + + ≥ + + +
3
1 1 3a a+ + ≥
, …
3 3 3 3
8 3( )a b c d a b c d⇒ + + + + ≥ + + +
(1)
Và
4
8 2.4 2( )abcd a b c d= ≤ + + +
(2)
Từ (1) và (2) suy ra

2
xy yz
y
z x
+ ≥
,
xy yz zx
x y z
z x y
⇒ + + ≥ + +
, tới đây ta không sử dụng được già thiết
2 2 2 2
( ) 3( ) 9x y z x y z+ + ≤ + + =
, ngược
dấu.Từ đây ta thấy cần thiết phải bình phương hai vế bđt cần chứng minh:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 2 9 3
xy yz zx x y y z z x x y y z z x
x y z
z x y
z x y z x y
+ + ≥ ⇔ + + + + + ≥ ⇔ + + ≥
Ta có
2 2 2 2
2
2 2
2

( )x y x y x y+ ≥ +
( C/m Bđt phụ: Áp dụng BĐT
1
( ) ( )( )
2
n m n m n n m m
a b a b a b
+ +
+ ≥ + +
, ta có
5 5 4 4 2 2 2 2 2 2
1 1 1
( )( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) ( )
2 4 4
x y x y x y x y x y xy x y x y x y+ ≥ + + ≥ + + ≥ + = +
)
5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
xy yz zx xy yz zx
x xy y y yz z z zx x x y x y xy y z y z yz z x z x z x
⇒ + + ≤ + +
+ + + + + + + + + + + +
1 1 1
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )
xyz xyz xyz
xy x y yz y z zx z x xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz
= + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
z x y
x y z x y z x y z

x y y z z x x y z
Cách trình bày điêu luyện:
+ + ≥ + + + + + ≥ + + = + +
4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) ( ) 2( ) 2 ( )x y z x y z x y y z z x x yz y zx z yx xyz x y z
Với
, , , 0a b c d >
, ta có :

4 4 4
4 4 4
4 4 4
4 4 4
1 1 1
( ) ( )
1 1 1
( ) ( )
1 1 1
( ) ( )
1 1 1
( ) ( )
abc a b c abcd abc a b c d
a b c abcd
bcd b c d abcd bcd a b c d
b c d abcd
cda c d a abcd cda a b c d
c d a abcd
dab d a b abcd dab a b c d
d a b abcd
≤ =

+ + + + + +
4 4 4 4 4 4
1 1 1 1
( ) ( )abc a b c abcd abc a b c d
a b c abcd a b c abcd
≤ = =
+ + + + + + + + +
1
( ) ( )
d d
abc a b c abcd abcd a b c d a b c d
11. (Việt Nam MO ). Cho n số thực dương thỏa
1 2
1 1 1
1
1 1 1
n
a a a
+ + =
+ + +
.
C/m
1 2
( 1)
n
n
a a a n≥ −
12. (APMO 1998). Cho x, y, z là các số dương. C/m
3
2( )

xyz
   
+ +
⇔ + + + + + ≥
 ÷  ÷
   
Ta có
2 2 2
3
x y z x x y y y z z z x x x y y y z z z x
y z x y y z z z x x x y xy y z yz z x zx x y
     
     
 
+ + = + + + + + + + + = + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 
     
     
3 3 3
3 3 3x y z
xyz xyz xyz
≥ + +
.
13. (Canada MO 2002). Cho ba số dương x ,y, z . C/m
3 3 3
x y z

b c a
+ + ≥
+ + +
.
Ta có
2 2
2 2
2 2
1 1
a ab ab ab
a a a
b
b b
= − ≥ − = −
+ +
và
3ab bc ca+ + ≤
BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Chứng minh:
1.
2 2
2a b ab+ ≥
2.
2
( ) 4a b ab+ ≥
3.
2 2 2
2( ) ( )a b a b+ ≥ +


1)
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
2)
2
( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + +
3)
2 2 2 2
3( ) ( )a b c a b c+ + ≥ + +
4)
2 2 2
2 2 ( )a b c a b c+ + ≥ +
5)
4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a+ + ≥ + +
6)
4 4 2 2 2 2 2
( )a b c a b c b a+ + ≥ + +
7)
6 6 2 3 3 3 3
( )a b c a b c a b+ + ≥ + +
8)
6 4 2 3 2 2 3
a b c a b b c ca+ + ≥ + +
9)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a a bc b ca c ab+ + ≥ + +
Bài 4. Chứng minh:
1)
3 3 2 2

4
1 0a a− + >
4)
4
1 0a a+ + >
Bài 6. Chứng minh:
1)
2
2
1 1
3
1
a a
a a
− +
≥
+ +
2)
2
2
1 1
3
1
a a
a a
+ +
≥
− +
3)
2

1
3
a ab b
a ab b
− +
≥
+ +
4)
2 2
2 2
1
3
a ab b
a ab b
+ +
≥
− +
5)
3
2 2
2
( , 0)
3
a a b
a b
a ab b
−
≥ >
+ +
Bài 8. Chứng minh:

5)
2
( ) 3 ( )ab bc ca abc a b c+ + ≥ + +
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 10. Cho
, 1.a b ab
> =
Chứng minh:
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−
Bài 11. Cho
1.ab >
Chứng minh:
2 2
1 1 2
1
1 1
ab
a b
+ ≥
+
+ +
Bài 12. Cho
1.a b+ ≥
Chứng minh:

Chứng minh:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +
Bài 17. Cho
, , 0.a b c
>
Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
3( )a ab b b bc c c ac a a b c+ + + + + + + + ≥ + +
Bài 18. Cho
0; .a b c ab≥ > ≥
Chứng minh:
2 2 2 2
.
a c b c
a c c b
+ +
≥
+ +
Bài 19. Cho
1 1 2
, , 0, .a b c
a c b
> + =

0.a b≥ ≥
Chứng minh:
2 2
( ) ( )
8 2 8
a b a b a b
ab
a b
− + −
≤ − ≤
Bài 24. Cho
, , 0, 1.a b c abc
> =
Chứng minh:
1)
5 5 2 2
( )a b a b a b+ ≥ +
2)
5 5 5 5 5 5
1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ca
+ + ≤
+ + + + + +
Bài 25. Cho
0 2,0 3,0 2, 3.c b a a b c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + =
Chứng minh:
2 2 2
4 5a b c abc≤ + + + ≤
Bài 26. Cho

   
+ + + ≤ + +
 ÷  ÷
   
Bài 29. Cho
1998 1998 1996 1996
, 0a b
a b a b
>



+ = +


Chứng minh:
2 2
2a b+ ≤
BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY)
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 30. Cho
, 0.a b
>
CMR:
1)
2a b ab+ ≥
2)
2
( ) 4a b ab+ ≥
3)

Chứng minh:
1)
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
2)
1a b ab a b+ + ≥ + +
3)
ab bc ca a bc b ca c ab+ + ≥ + +
4)
2 2 2
a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + +
Bài 33. Cho
, , 0,a b c >
Chứng minh:
1)
( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥
2)
1 1 1 8
a b c
b c a
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 34. Cho
, , 0.a b c >
Chứng minh:
1)
ab bc ca
a b c
c a b

7)
4 4 4
2 2 2
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
8)
2 2 2 2 2 2
2( )
a b b c c a
a b c
c a b
+ + +
+ + ≥ + +
Bài 35. Cho
, , 0.a b c >
Chứng minh:
1)
2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 ) (1 )a b b c c a abc+ + + + + ≥ +
2)
( ) ( ) ( )ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + ≥
Bài 36. Cho
1.a b+ ≥
Chứng minh:
1)
2 2
1
2

3
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ − + − + −
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 38. Cho
, , 0.a b c
>
Chứng minh:
1)
2 2 2
2
a b c a b c
b c a c b a
+ +
+ + ≥
+ + +
2)
2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
3)
2 2 2
3 2 3 2 3 2 5
a b c a b c

+ +
+ + ≥ ∈
+ + + +
Bài 39. Cho
, , 0.a b c
>
Chứng minh:
1)
3 3 3 2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
2)
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
3)
3 3 3 2 2 2
2 3 2 3 2 3 5
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥

*
( , )
a b c a b c
n m N
nb mc nc ma na mb n m
+ +
+ + ≥ ∈
+ + + +
Bài 40. Cho
, , 0.a b c >
Chứng minh:
1)
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
2) Cho abc = 1. Chứng minh:
i)
2 2 2
3
2
a b c
b c c a b a
+ + ≥
+ + +
ii)
3 3 2
2 2 2

+ ≥
− +
3) Nếu
0a b> ≥
thì
2
4
3
( )( 1)
a
a b b
+ ≥
− +
4) Nếu
0a b c> > >
thì
1
4
( )( )
a
c a b b c
+ ≥
− −
5) Nếu
1a >
thì
3
27 5
2
2( 1)( 1)

1 1 1 1
3
1 1 1 1a b c d
+ + + ≥
+ + + +
thì
1
81
abcd ≤
3) Nếu
1 2
, , , 0,
n
a a a ≥
và
1 2
1 1 1
1
1 1 1
n
n
a a a
+ + + = −
+ + +
thì
1 2
2
1

( 1)

 ÷
  
 
5) Nếu
1 2
, , , 0
n
a a a >
và
1 2
1 1 1 1

2007 2007 2007 2007
n
a a a
+ + + =
+ + +
thì
1 2

2007
1
n
n
a a a
n
≥
−
HD:
1)

abc
a b c a b c
≥ ⇒ ≤
+ + + + + +
Bài 43. Cho
3 3 3
, , 0, 3.a b c a b c> + + =
Chứng minh:
1)
3a b c+ + ≤
2)
2 2 2
3a b c+ + ≤
3)
4 4 4
3a b c+ + ≥
4)
5 5 5
3a b c+ + ≥
5)
6 6 6
3a b c+ + ≥
6)
7 7 7
3a b c+ + ≥
7)
8 8 8
3a b c+ + ≥
8)
3 ( 3)

( , , )
m m m n n n
n n n m m m
a b c a b c m n m n N+ + ≥ + + ≥ ∈
5)
( , , )
m m m n n n
a b c a b c m n m n N+ + ≥ + + ≥ ∈
Bài 45. Cho
, , 0.x y z >
Chứng minh:
1 1 1
( 1) 6
x y z
xyz x y z
x y z y z x
 
+ + + + + + ≥ + + +
 ÷
 
Bài 46. Cho
3
, , 0, .
4
a b c a b c> + + =
Chứng minh:
3 3 3
3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤
Bài 47. Cho
, , 0.a b c >

, , , 0a b c d
>
và
1 1 1 1 1
.
6 6 6 6 2a b c d
+ + + ≥
+ + + +
Bài 51. Chứng minh:
1) Nếu
[ ]
, 0,1a b∈
thì:
(1 )(1 ) 1.
1 1
a b
a b
b a
+ + − − ≤
+ +
2) Nếu
[ ]
, 0,2a b∈
thì:
8
2 (2 )(2 ).a b
a b
≥ + − −
+
3) Nếu

1 1 1
6.
1 2ab a b
+ + ≥
−
2) Nếu
, 0, 1a b a b
> + =
thì
2 2
1 1 1
6.
a b
a b
+ + ≥
+
3) Nếu
1
, 0,
2
a b a b> + =
thì
2 2
1 10 10
48.
a b
a b
+ + ≥
+
4) Nếu

a b c
+ + >
− − −
3) Nếu
, , 0a b c
>
th ì
a b c a b c
a b b c c a b c c a a b
+ + < + +
+ + + + + +
Bài 54. Cho
, , 0a b c
>
v à
1.abc =
Ch ứng minh:
1)
1 1 1
1.
2 2 2a b c
+ + ≤
+ + +
2)
1 1 1
1.
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
3)

3.
ab bc ca
c a b
+ + ≥
Bài 57.Cho
, , 0.a b c
>
Chứng minh:
3
2( )
1 1 1 2 .
a b c a b c
b c a
abc
+ +
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 58. Cho
, , 0.a b c >
Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2a b b c c a a b c b c a c a b
+ + ≥ + +
+ + + + + + + + +
BẤT ĐẲNG THỨC B.C.S
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 59. Chứng minh:
1) Nếu

4 9 1x y+ ≥
6) Nếu
3 4 10x y+ =
thì
2 2
4x y+ ≥
7) Nếu
7 10x y+ =
thì
2 2
2x y+ ≥
Bài 60. Ch ứng minh:
1) Nếu
2 2
1x y+ =
th ì
3 4 5x y+ ≤
2) Nếu
2 2
2 8x y+ =
th ì
2 3 6x y+ ≤
3) Nếu
2 2
2 3 5x y+ ≤
th ì
2 3 5x y+ ≤
4) Nếu
2 2
1

5 9 2 20 29a a+ + − ≤
Bài 62. Chứng minh:
1) Nếu
2 2 2 2
1x y u v+ = + =
thì
1ux vy+ ≤
2) Nếu
2 2 2 2
1x y u v+ = + =
thì
( ) ( ) 2u x y v x y+ + − ≤
3) Nếu
, 0a b c> ≥
thì
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤
4) Nếu
, 0a b
>
thì
2 3 3
1 1
( ) ( )a b a b
a b
 
+ ≤ + +
 ÷
 
5) Nếu
1 1 2 1 .x y a+ + + = +