Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
sai xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!!



Giải

1
1 1 1
 (  ) ta có:
x y 4 x y
1
1
4
2



a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a) a  2b  c
1
1
4
2



b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a
1
1
4
2




1
1
1
1 1
1
1


 (


)
a  2b  c b  2c  a c  2a  b 2 a  b b  c c  a
 Kết hợp (2) và (3) ta có:


Áp dụng

Bài 3: Với a, b, c là các số dương:
1
1
1
1 1 1 1


 (   )
a  2b  c b  2c  a c  2a  b 4 a b c
Chủ biên: Cao Văn Tú

2

C
1
2



B
C
C
A
A
B
A
B
C
1  tan .tan
1  tan .tan
1  tan .tan
4.tan .tan .tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tan


y
z



1  yz 1  zx 1  xy
x
y
z




( xy  yz )  ( zx  yz ) ( xy  zx)  ( yz  zx) ( xy  yz )  ( zx  xy )
Đặt x  tan

1 x
x  1 y
y  1 z
z 
 



 
 

4  xy  yz zx  yz  4  xy  zx yz  zx  4  xy  yz zx  xy 
1 x z
x y


Lưu hành nội bộ!

Giải
Đặt a  x  1  0, b  y  1  0, c  z  4  0 .
a 1 b 1 c  4
1 1 4
Ta có: a  b  c  6 và Q 


 3   
a
b
c
a b c
Theo bất đẳng thức (1) ta có:
1 1 4
4
4
16
8
(  ) 
 

a b
c ab c abc 3
8 1
 Q  3 
3 3
a  b


2x
x6  y 4



2y
2z
1
1
1




y6  z 4 z 6  x4 x4 y 4 z 4

Với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Giải
2
x  1

1
1
x2
1
4x .



x
z x

Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả: ab  bc  ca  abc . Chứng minh rằng:
a4  b4
b4  c4
c4  a 4


1
ab a3  b3 bc b3  c3 ca c3  a3



 

 



Giải
Chủ biên: Cao Văn Tú

4

Email:



x
6
6
x
y





3
3
3
3
2
3
3
2
3
3


x y
ab a  b
x x y
y x y
x3  y3 x2  y 2
1 1
1


 x  y x  y
a 4  b4





 



Tương tự ta có:

x4  y 4













 



3
3
3
3
3
3
ab a  b
bc b  c
ca c  a













Suy ra điều phải chứng minh
Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A

x t t  y y  z z  x




t

z
)


y z xt4
t  y y z z  x xt
t

y
z

x




4
4
4( x  y  z  t )
 ( x  y)
 (t  z )
4
40
x y z t
x y z t
z  y z t
Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t.


x y z
x y z
xyz

1 1 1
1
1 1 1 1 
Từ đó: ( x  y  z )      9 
    
x  y  z 9 x y z 
x y z
Đẳng thức xảy ra khi x  y  z .
Bài 10: Cho ba số a, b, c bất kì và x, y, z là ba số thực dương ta có:
2
a 2 b2 c 2  a  b  c 
  
 7  . (Bất đẳng thức sơ-vac).
x
y z
x yz
a b c
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   .
x y z
Giải
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:

  a 2  b 2  c 2 
 a 2 b2 c 2 
 


a 2 b2 c 2  a  b  c 
  
 a  b  c . Suy ra điều phải chứng minh.
b c a
abc
a b c
  abc
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
b c a

Chủ biên: Cao Văn Tú

6

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015
6

Lưu hành nội bộ!

6

6

a
b
c



2

aa a  bb b  cc c 

.
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
 9 a  b  c  a  b  c   9 a  b  c   a  b  c  
9
1
Vậy B 
18
Bài 13: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. Chứng minh rằng :
1
1
1
1
4
 3
 3
 3

b2
1
c2
1
d2

;

;

y 3  xz  zt  tx  a  c  d z 3  yt  xt  xy  a  b  d t 3  yz  zx  xy  a  b  c

Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có:
1
1
1
1
 3
 3
 3
3
x  yz  zt  ty  y  xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy 
a2
b2
c2
d2
a  b  c  d 






b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 

a8

 b2  c 2 



2

Lưu hành nội bộ!

b8

 a2  c2 

2



b

c8

2






  a  c  b  a  b
a  b  c 
 c   2a b  b c  a c 

2 2

4

4

a  b  c 
   a  c   b
4

c8

2

2 2

2 2

2 2

2


 b4  c 4 

2

2  a 4  b4  c 4   2  a 4  b4  c 4

a  b  c   a

 4 a  b  c 
4

4 2

4

4

4

4

4

 b4  c 4
.
4

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski 1   ab  bc  ca   a 4  b4  c 4 .
2


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015
Lưu hành nội bộ!
3
3
3
4
4
x
y
z
x
y
z4





2 x  3 y  5z 2 y  3z  5x 2 z  3x  5 y 2 x2  3xy  5xz 2 y 2  3 yz  5 yx 2 z 2  3xz  5 yz







x2  y 2  z 2






2

 10 x2  y2  z2 

1
30

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

x2
y2
z2



 2 x2  3xy  5xz 2 y 2  3 yz  5 yx 2 z 2  3xz  5 yz

1
x yz .
x  y  z
3

1
2
2
2
x  y  z 
3


1
1
1
Đặt a  ; b  ; c  . Theo giả thiết ta có: xyz = 1
x
y
z
2
2x2 ; tương tự ta có:
Ta có 3 2


a b  c  1  1 1  y  z

x3  y z 
2
2
2z 2 .
2
2
2 y2 ;




b3  a  c  1  1  1  x  z c3 b  a  1  1 1  y  x

y3  x z 
z3  y x 

Lưu hành nội bộ!

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  1

Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả: x  y  z  3 . Tìm GTNN của biểu thức:
y2
x2
z2


A=
x  yz y  zx z  xy
Giải
Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

 x  y  z
y2
x2
z2



.Ta có
x  yz y  zx z  xy x  y  z  yz  zx  xy
2

yz  zx  xy  x  y  z .

 x  y  z
y2

z
3
Chứng minh rằng:



2
x  yz
y  zx
z  xy

(1)

Giải
Đặt a  x , b 

y,c 

z

Bài toán trở thành: a, b, c là số dương và a.b.c  1

a2
b2
c2
3



(2)

c  ab
a  bc  b  ac  c  ab
Bình phương hai vế bất đẳng thức:
2

2

Chủ biên: Cao Văn Tú

2

2

2

10

2

3

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!







2
3  a  b  c   3
2

2

4

( Vì ab  bc  ac  3 3  abc   3 )
2

Đặt t 

 a  b  c  thì t  9 ( vì a  b  c  3
2

3

abc  3 )

t2
3t  15 t  3
3
3.9  15
t 3 3
9


 ... 

xn
xn  x1.x2 ...xn1



n
2

Bài 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  ab  bc  ca thì
1
1
1
3



a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16
Giải
Từ abc  ab  bc  ca suy ra

1 1 1
  1 .
a b c

1
1
1
x  ; y  ; z  thì x  y  z  1 . Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

Chủ biên: Cao Văn Tú

11

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
6 x  y  z 1 3
1
1
1



 
a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b
36
6 16
Cách
1
1
1 1
1
1  1 1 1 2 3


c  2a  3b  b  c    b  a   b  a  9  b  c a  b b  a  9 4  b c a 

cộng vế với vế ta có:
1
1
1
1 6 6 6 3


    
a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36  a b c  16
suy ra điều phải chứng minh.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.

x  y  z  1

Bài 20: Cho x, y, z  0

. Chứng minh rằng: P 

x
y
z
9



1  x2 1  y 2 1  z 2 10

Giải

y4
z4 
 1 


 1
3
3
3 
x

x
y

y
z

z
x  y  z  x3  y 3  z 3


Đặt t  x2  y 2  z 2 từ điều kiện  t 

1
3

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi ta có:

x3  y 3  z 3   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   3xyz 



P  1

2t

2

 1

2t

2

t
t
3t  1  t 2 
3
3
1
(  t )(57t  9)
9
9
P 3 2
 
3t  10t  3
10 10



1  3t  3t

y 2 2 xz
P





y y  2 z z z z  2 x x x x  2 y y y y  2z z z z  2x x x x  2 y y


x 2 2 yz

2y y
2x x
2z z


y y  2z z z z  2x x x x  2 y y

Đặt a  x x ; b  y y ; c  z z ;
Ta có
2a  b  c
2a
2b
2c
2a 2
2b2
2c 2
P



4
3

Mặt khác ta có a2  b2  c2  ab  bc  ca . Nên ta có:

P  2 . dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . Hay x x  y y  z z  x=y=z=1
Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng. Chøng minh r»ng:
a
b
c
3



bc ca ab 2

Chủ biên: Cao Văn Tú

13

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải
Ta cã:


bc
ca
ab
2
bc ca ab 2
(§pcm).

3
Bài 23: Cho a,b,c>0 và a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
S  a2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2
b
c
a

Giải
S  a2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2

(b  ); c 2  2 
(c  )
2
c
c
a
a
17
17

Do đó:
1
4 4 4
1
36
(a  b  c    ) 
(a  b  c 
)
a b c
a bc
17
17

S


 3 17
1 
9
135

1
1
1
9
(1.x  9. )2  (12  92 )( x 2  2 )  x 2  2 
(x  )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9

( y  ); z 2  2 
(z  )
2
z
z
x
x
82
82
1
9 9 9
1

3 9 4

a 2b c

Bài 25: Cho a,b,c>0 và a  2b  3c  20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c  
Giải
Dự đoán a=2,b=3,c=4

12 18 16
12  
18   16 

   a  2b  3c   3a     2b     c   
a b c
a 
b 
c

20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13
4S  4a  4b  4c 

1 1 1
   4 . Tìm giá trị lớn nhất của
x y z
1
1
1
P



    ;
    
2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z 
1  4 4 4
S      1
16  x y z 

Bài 26: Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 8x  8y  8z  4x1  4y1  4z1
Giải
Chủ biên: Cao Văn Tú

15

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015
Dự đoán x=y=z = 2 và 3 8x.8x  3 64x  4x nên :

Lưu hành nội bộ!

8x  8x  82  3 3 8x.8x.82  12.4x ;
8 y  8 y  82  3 3 8 y.8 y.82  12.4 y ;
8z  8z  82  3 3 8z.8z.82  12.4z
8x  8 y  8z  3 3 8x.8 y.8z  3 3 82.82.82  192

Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 27: Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng:
1  x3  y 3
1  y3  z 3

  3 3
 xy
yz
zx



1
x2 y 2 z 2

3 1  z 3  x3
3zx
3
;


yz
zx
zx
zx

3 3

Bài 28: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 

 x  y 1  xy 
1  x 2 1  y 2

Giải


Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Cách 1:

Lưu hành nội bộ!

a b c
a b c
(a  b  c )  ab  bc  ac 
  
  

 ab  bc  ac
b c a ab bc ca
ab  bc  ac
ab  bc  ac
3

3

3

4

4


1 2 y
1  3z
7

Giải
2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5


1 x
1 2 y
1  3z
2 y  3z  5
3z  x  5
x  2y  5

1
1
1 3
1 x
1 2 y
1  3z
 1
1
1 
9
  x  2 y  3z  6  


3
  3  24.

  (  )  .3  2. .     A 
a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3

Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
ab  bc  ca
P  a 2  b2  c 2  2
a b  b 2c  c 2 a
Chủ biên: Cao Văn Tú

17

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

Giải
2
2
2
2
2
2
3(a + b + c ) = (a + b + c)(a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 +

1
1
97
 b2  2  c 2  2 
2
b
c
a
2

Giải
2

9 1   2 81  2 1 
1
4 
9

2
1.a  4 . b   1  16  a  b2   a  b2 
 a  4b  ;
97 

 



1
4 
9


Giải
2 2
2

a

(
b

c
)(

a

b

c
)
(
a

b

c
)

b

(


a

b
)
(
c

a

b
)
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra abc
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế
b
c

(
a

b

c
)
(
b
c

a
)

Từ abc2 nên (*) 
2 2

2


8

8
(
a

b

ca
)

8
(
b

b
c

c
a
)

90
a

8
(
a
b

b
c

c
a
)


8
(*)
3
3
3
3

b

c

()
a

b

c


b
c

c
a
)

3
a
b
c
Ta có a

Chủ biên: Cao Văn Tú

18

Email:


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015

Lưu hành nội bộ!

3
3
3
(
a


3
2

3
9
a
b
c

8
(
a
b

b
c

c
a
)

3
2


Từ đó 4
(**)

3 3 3

2

Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi abc3
Bài 35: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
 a3  b3  c3  3abc  .
9
4

Giải

*P  a3  b3  c3  3abc
Ta có a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac)
 a3  b3  c3  3abc  (a 2  b2  c 2  ab  bc  ac) (1)
có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c) 
2 8
1  4(ab  bc  ca)  8abc  6abc 
  ab  bc  ca  (2)
3 3
2 5
(1)and(2)  a3  b3  c3  3abc  a 2  b2  c 2    ab  bc  ca 
3 3
mà ab  bc  ca 
2



1  a 2  b2  c 2
2


c


0

a

b

c


P

.  

3   3   3 
3
6 3 6 9

*P  a3  b3  c3  3abc
abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca)  8abc  0
1
 ab  bc  ca)  2abc 
(3)
4
P  a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac)  6abc
 a 2  b2  c2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc
2

 x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz
(2)
8
Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz
3
1
2
 xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx)
3
1  x  y  z
36
 xyz  x  y  z  xy  yz  xz  12  .
 12   8
3
3
9
2

2

2

2

Bài 37: Cho a  1342; b  1342 . Chứng minh rằng a2  b2  ab  2013 a  b  . Dấu đẳng thức
xảy ra khi nào?
Giải
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:

 a 13422  b 13422  0;  a 1342b 1342  0; a 1342  b 1342  0