Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9

( Mời các thầy cô xem và cho ý kiến do thời gian chuẩn bị cha đợc kỹ mong thầy cô bỏ qua,
ngời viết Nguyễn Thanh Hùng ĐVCT Trờng THCS Tiên Nha Lục Nam Bắc Giang ĐT
0986713720 độc giả đợc chỉnh sửa thoải mái)
Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức:
cbacba
111111
222
++=++
HD.






++






+++++=++=
cabcabcabcab
cbacba
VT
111
2
111






++=






++






++=
111111
2
111
2
111
222
Bài tập 2: Chứng minh rằng số:
532
++
là số vô tỉ.

4
4
2

==++
(hiển nhiên a # 0 ),
30

là số hữu tỉ,vô lí . Vậy
532
++
là số vô tỉ.
Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:
( )
2
2
1
11
1
+
++=
a
a
A
với a # 0;
b)Tính giá trị tổng:
22
2
1
1

=
+
+++++
=
+
++++
=
+
++=
22
2222
22
2222
22
2
)1(
12)1(
)1(
)1()1(
)1(
11
1
aa
aaaaa
aa
aaaa
aa
A
[ ]
22

aaaa
aa
aaaa
aa
aaaa
2
2
)1(
1






+
++
=
aa
aa
; Với a > 0 nên A > 0 và
)1(
1
2
+
++
=
aa
aa
A

aaaaaa
aa
aa
aa
a
a
A
.
Do đó:
=






+++






++







1
100
100
1
99
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
99
==






++++=
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:
a) A =
nn

+
+
+
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
1
c) C =
10099
1
...
43
1
32
1
21
1

+

+



HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức:
1
12
12
12
12
1

=
nn
nn
A
11...342312
=++++=
nnn
.
b)
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
=
B
=
)99100(99100
1

+
=
)99100(99100
)99100(
...
)34(34
)34(
)23(23
)23(
)12(12
)12(


++


+


+


=
99100
)99100(
...
34
)34(
23
)23(

1
==++++
.
c)Trục căn thức rồi rút gọn.
Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:

( )( )
+
+
++
=
2
22
1
11
x
zy
xA
( )( )
+
+
++
2
22
1
11
y
xz
y
( )( )

++=
Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:

( )( )
+
+
++

=
2
22
3
33
3
x
zy
x
yz
B
( )( )
+
+
++

2
22
3
33
3
y

xy + yz + zx = 3 vào 3 + z
2
ta đợc xy + yz + zx + z
2
= ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3.
Bài tập 7. Cho ba số thực a, b, c # 0 và
cbcaba
+++=+
. Chứng minh rằng:
0
111
=++
cba
.
HD.
cbcacbcabacbcabacbcaba
++++++=++++=++++=+
.2)()(
22
22222
)).(().()(.22 ccbcacabcbcaccbcaccbcac
=+++++=++=++=
0
22
=++=+++
bcacabccbcacab
, chia hai vế cho abc ta đợc:
0
111

a
a
a
a
a
11
=

+
;
b)Nếu
0,0

ba
thì
0
=+=+
abbaba
;
c)
( )
0
333
=++=+
baabbaba
HD.a)
n
n
n
n

, với a > 1, với mọi n
N

.
b)Với
0,0

ba
bình phơng hai vế ta đợc:
0022
==++=+
abababbaba
.
c) Lập phơng hai vế ta đợc:
( )
00)(333
22
=+=++++=+
baabbaababbababa
Bài tập 10: Chứng minh nếu
3333
cbacba
++=++
thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có:
nnnn
cbacba
++=++
.
Bài tập 11.Cho
byaxzczaxyczbyx

2
1)1(2)(2
++
=++=+=++
;
tơng tự ta có;
x
zyx
a
y
zyx
b
2
1
2
1
++
=+
++
=+
; thay vào B ta đợc:
24
)(4
4
4
4
2
2
2
2

x
zyx
B
Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu
x
xt
t
yt
y
xy
1
11
+
=
+
=
+
thì
tyx
==
, x. y. t = 1.
HD. Ta có:
x
t
t
y
y
x
x
xt

;
yx
yx
xy
xt

==
11
;
Nhân vế với vế ta đợc:
yx
yx
xt
xt
ty
ty
xttyyx



=
.))()((
;
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
3

( )( )
1..
)(

2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
.
HD.
( )
0222222
222222222
2
=++++=+++++++=++
cabcabcbacabcabcbacbacba
bcabcacaabbccabcabcabcab
====++
,,0
, thay vào P ta đợc:
cabcabc
c
bcabacb
b
caabbca
a
abc
c

)()()()()()(
222
cbacbc
c
bacbab
b
cabcaa
a
+
+
+
+

=
))(())(())(())(())(())((
222222
cacb
c
cbba
b
baca
a
cacb
c
bcba
b
baca
a

+


=
=

++
=

+
=
))()((
)(
))()((
)()()(
22222222
cbbaca
bcaccbabcba
cbbaca
bacacbcba
[ ]
1
))()((
))()((
))()((
)()()(
))()((
))((
))()((
)())(()(
))()((
)(

=++
cba
và a,b,c # 0.
Chứng minh rằng:
222
2
222
2
222
2
666
bac
c
acb
b
cba
a
A

+

+

=
là số nguyên.
HD.
( )
[ ]
(*),22)(0
222222

c
ca
b
bc
a
ab
c
ca
b
bc
a
A
++
=++=++=
Ta lại có:
( )
[ ]
)33()(0
22333
3
3
bccbcbacbacbacba
+++==+==++
)(3)(3)33(
33333322333
abccbacbbccbabccbcba
=+++=+++=++
*)***(*,3
333
abccba

x
.
Tính
*)*(*;
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
M
++=
.
HD. Ta có
122211
2
2
2
2
2
2
2
2
=+++++=

x
Chuyên đề BDHS chứng minh đẳng thức lớp 9 Nguyễn Thanh Hùng Tr ờng THCS Tiên
NHa năm 2007
4
(*)212112
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2






++
=






z
b
y
a
x
;
Ta lại có:
(**);000
=++=
++
=++
cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z
c
y
b
x
a
;
Thay (*), (**) vào (***) ta đợc:
1
0
21
2
2
2
2
2

c
c
b
b
a
a

=

=

.
HD.Bình phơng hai vế ta đợc:
bcaccbabcabaccbbaaaaccccbbbbaaccbbaa

+

+

+

+

+

+

+

+

+


222
0)2()2()2(
=

+



+

+



+

+




bcccbbcbacaacccaabbbaaba
0)()()(
222
=





,,0)(,0)(,0)(
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
c
c
a
a
b
b
a
a

=

=



=


.
b)Cho
1199
1
...
1997.3
1
1998.2
1
1999.1
1

++++=
A
. Hãy so sánh A > 1,999.
HD. áp dụng BĐT:
ba
ab
abba
+
+
21
2
. Ta có:
a)
=

++
++
++


++=
b) Tơng tự câu a.
Bài tập 18.Tìm x, y sao cho
zyxzyx
+=+
.DDK: x
0

0,0,0,
+
zyxzy
HD. BPHV ta đợc:
xyyxzzyxzzyxyxzzyx 2.2)()(
22
++=+++++=++
xyzzyx 2.2
=+
, BPHV ta đợc:
0).(
2
=+=+
xyzyzxzxyzzyx
zyxyzzxyzzxzxyzxz
======
,,0)).((0)()(
.
Bài tập 19. Cho
(
)

2222
2222
++=+
+=+++=++
+=++
baba
aabbaabb
aaaabb
Làm tơng tự ta đợc:
(**),20062006
22
++=+
abba
Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc:
( )
02
=+
ba
vậy
0
=+
ba
.
Bài tập 20. Chứng minh rằng nếu
0
=+
zyx
thì
0
111