TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THU HÀ

BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH
TRÊN KHÔNG GIAN HARDY

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số: 63.46.01

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TSKH. Nguyễn Quan



Mục lục
Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.Khái niệm về hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 3 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.2.Công thức tích phân Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.8

. 26


2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 27

2.3.Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

i


MỞ ĐẦU
Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈C : |z| < 1} , ký hiệu H2(D) là không gian
Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn
kfk =

.
r

Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành Cψ :
H2(D) → H2(D) được định nghĩa Cψ f = f ◦ ψ, là một toán tử tuyến tính bị chặn
trên H2(D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai điểm
cố định trên ∂D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố định và

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm
thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội
và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn
thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường trung học phổ thông
Dương Tự Minh, thành phố Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp
đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập.
2


Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015

Chương 1
HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC
TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY
Trong chương trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức
sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều
kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý
khai triển Taylor, không gian Hardy H2(D) và tính chất.

1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω∈C. Xét giới hạn
f(z+∆z)− f(z) lim
z,z+∆z ∈Ω.
∆z→0

,


.
f

4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Chứng minh. Chứng minh 4.
∂f∂f
Do f chỉ nhận giá trị thực ,

cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt
∂x ∂y

∂ f ∂ f ∂ f ∂ f khác = i , ta suy ra = = 0. Vậy f = const.
∂x

∂y

∂x

∂y

4


1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann
Giả sử f(z) = u(x,y)+iv(x,y),z = x+iy xác định trên miền Ω∈C. Hàm f được
gọi là R2- khả vi tại z = x+iy nếu hàm u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y) (theo định
nghĩa đã biết trong giải tích thực).
Định lý 1.1.4. Để hàm f C- khả vi tại z = x+iy ∈Ω điều kiện cần và đủ là f
R2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z.
∂u ∂v

u(x+∆x,y)−u(x,y)
= lim +i lim

∆z→0

∆x

∆z→0

v(x+∆x,y)−v(x,y)

∆x

tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) và
∂u

0

∂x

∂v
f (z) = (x,y)+i

(x,y). (1.1.2)

∂x

Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có
f0(z) = −i∂u(x,y)+ ∂v(x,y).(1.1.3)


theo (1.1.2) ta có
∂u ∂v
∆u+i∆v = ( +i
∂x

)(∆x+i∆y)+o(∆z)+io(∆z).

∂x

Từ đó
∂u

∂v
∂u
∂u
∆u = ∆x− ∆y+o(∆z) = ∆x+ ∆y+o(|∆z|),

∂x

∂x
∂

∂x
u

∆v = ∆

∂x

∂x

Theo điều kiện (1.1.1) hai đẳng thức này có thể viết thành
∂u
∂v
∆u = ∆x− ∆y+o(|∆z|),
∂x
∂x
∂v
∂u
∆v = ∆x+ ∆y+o(|∆z|).

∂x

(1.1.4)

(1.1.5)

∂x

Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta có
∆f ∆u ∆v = +i
∆z ∆z ∆z
=

∂u∆ x− ∂xv∆y+o(∆z)
∂x

∂

∂∂ux∆x+ ∂∂x v∆y+o(∆z)


∂x

∆z

Vì vậy
∆f ∂u ∂v
= +i
∆x

∂x

tức là f C- khả vi tại z = x+iy.
Nhận xét 1.1.5. (1.) Giả sử f là R2-khả vi tại z ∈Ω⊂C
Xét vi phân
∂f
∂f
d f = dx+ dy.
∂x
∂y

(1.1.6)

Vì dz = dx+idy và dz¯ = dx−idy nên
1

1 dx = (dz+dz¯),dy =
(dz−dz¯).
2 2i

Thế các đẳng thức này vào (1.1.6) ta có

∂z¯

Bởi vì
∂f
1∂f ∂f
1 ∂u ∂v
∂v ∂u
= ( +i ) = [( − )+i( + )] ∂z¯ 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu
∂ f (z) = 0.
∂z¯
Nói cách khác hàm R2-khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu
∂ f (z) = 0.
∂z¯
(2.) Từ (1.1.1) và (1.1.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có

∂2

∂x ∂x

∂y

∂y
f

2

∂x


Từ đó ta có công thức

dη = 0. γ∪Cρ− η−z0


η)
.

0

Thực hiện phép biến đổi η = z0 +ρeiϕ,dη = iρeiϕdϕ ta được
iρeiϕdϕ
Z 2π

=i

f(z0 +ρeiϕ)dϕ
0
Z 2π

=i

[f(z0 +ρeiϕ)− f(z0)]dϕ +2πif(z0).
0

Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có

vì thế
f( ρ→0 γ η− 0 dη
= 2πif(z 0).

(1.2.1)

|f (a)
rn
Chứng minh. Ta có
f
với γ = ∂D(a,r) ta có

n! M(a,r) n!M(a,r)
γ
≤
n+1 | | =

n

,n = 0,1,···

2π r r

1.2.3. Định lý về giá trị trung bình
Định lý 1.2.3. Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn D¯(z0,r) ⊂Ω,
thì
f

.


Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
1 Z f(z)
f(z0) =dz.

,
bởi tính liên tục suy ra

M, với mọi 0 6ϕ 6 2π.
0

Tương tự có đẳng thức trên với mọi r 6 r, do đó |f (z)| = M với mọi z ∈
D(z0,r).
Lấy z∗ tùy ý trong Ω. Gọi L là đường cong nối z0 với z∗. Do L compact tồn tại các
điểm z0,z1,...,zn = z∗ trên L và r > 0 sao cho
n

L ⊂ [ D(zj,r) và zj+1 ∈ D(zj,r) ⊂Ω, j = 0,1,...,n−1.
j=0

Do |f (z)|=M trên D(z0,r) nên |f (z1)|=M. Vì vậy theo lập luận trên |f (z)|= M với
mọi z∈D(z1,r),...,|f (z)|=M với mọi z∈D(zn−1,r). Đặc biệt |f (z∗)|=
M.
Như vậy ta chứng minh được |f (z)| = M với mọi z ∈Ω. Viết
f (z) = |f (z)|eiarg f(z) = Meiϕ(x,y) = Mcosϕ(x,y)+iMsinϕ(x,y).
Theo điều kiện Cauchy - Riemann


∂ϕ

y
(1.2.4)
∂ϕ ∂ϕ
−Mcosϕ = −Msinϕ



18


1.3.2. Công thức khai triển Taylor
Định lý 1.3.2. Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z−z0| < R, thì trong hình tròn
này f(z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0. Cụ thể là
với |z−z0| < R

n

f
n=0

ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức
f(n)(z0)
Cn =

!

1Z

= 2πi |η−z0|=r (η−

f(η)
n+1dη n z0)

với 0 < r < R.
Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z−z0| < R.
Chọn r > 0 sao cho |z−z0| < r < R. Theo công thức tích phân Cauchy ta có

η−z0

∞ (z−z0)k

∞ z−z0 k

∑=0(η−z1) = k∑=0

k

và chuỗi này hội tụ đều trên γr. Theo định lý về tích phân đường (Định lý 1, §1 ,
ch 4, [1]) ta có
1 (z−z0)k
− k +1 ]dη π k=0 (η z0)
f( η) k+1 dη.
k1 Z

2

k=0

πi γr (η−z0)

2

Chú ý rằng
z0)
Ck =,k = 0,1,2,···
!
không phụ thuộc vào r,0 < rR. Vậy ta có

hướng, đặt

N

.

Ký hiệu L1 là không gian thương LN với chuẩn
thấy đây là một chuẩn trên L1, ta kiểm tra tính đầy đủ của nó. Thật
vậy, lấy

là một dãy trong L1 thỏa mãn

. Dễ