PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Ngô Hoàng Toàn Lớp YD-K38 Đại Học Y Dược Cần Thơ
Email:

Khi giải một bài toán, điều quan trọng không phải là ta chỉ tìm ra kết quả mà là tìm ra cách
giải hay,phù hợp với đặc thù của từng bài. Như nhà toán học Euler đã từng nói trong lá thư
gởi nhà toán học Gôn-Bach về việc tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
4xy - x - y  z 2 ;4 xy  x  1  z 2 như sau :” Thú thật là tôi không ngờ rằng ông lại có một
cách chứng minh dễ dàng và đẹp mắt như vậy. Từ đó, tôi tin rằng phần lớn định lý của
Fermat cũng có thể chứng minh bằng cách tương tự như vậy và vì thế tôi cảm ơn ông đã
cho tôi biết cách chứng minh đẹp đẽ này.” Chính vì vậy chúng tôi đã viết chuyên đề này
với mục đích tìm ra cách giải đẹp cho các loại phương trình đại số nhất là phương trình vô
tỷ.
Phương pháp tọa độ, vectơ là một cách thức vận dụng hình học giải tích trong mặt
phẳng với hai đối tượng thường dùng là tọa độ điểm và vectơ sau đó dùng những công
thức và phương pháp tính toán đã biết để giải. Sau đây là một kiến thức vận dụng :


Tích vô hướng: Cho a  ( x1 ; y1 ) , b  ( x2 ; y2 )


ab  x1 x2  y1 y2

a  x12  y12

Khi giải phương trình f ( x)  g ( x) . Ta biến đổi f ( x) thành vế trái, g ( x)
thành vế phải ứng với:


Sau đây là một số ví dụ :
1) Giải phương trình:

9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3  9  x 2

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 1


PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012
ĐK: 2  x  4
Phân tích: bài này ta chưa thể xác định được tọa điểm nhưng ta hãy chú ý đến
  
ab  a b nếu ta xét 1 trong 2 vectơ có tọa độ (1;1) . Trở lại bài toán.
Gọi VT  f ( x) , VP  g ( x)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn các vectơ:


a  1;1 , b  9 x3  18 x 2 ; 36 x 2  9 x3


Ta có:
a  2 , b  3 2x
 
 a b  6x

ab  9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3
  
mà f ( x)  ab  a b  6 x

Ta có:
9  x 2  1(9 x3  18 x 2 )  1(36 x 2  9 x3 )  (1  1)(9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3 )  6 x
9 x3  18 x 2  36 x 2  9 x 3
 x  0 (l )

 x  3 ( n)

Dấu “=” xảy ra khi

Ta cũng có thể giải bài toán này bằng nhiều cách khác.
2) Giải phương trình:
1
2

ĐK:   x 

1  2x  1  2 x 

1 2x
1 2x

1  2x
1  2x

1
2

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 2

3) Giải phương trình:

sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3

Trong không gian Oxyz chọn


u  sin x;1; 2  sin 2 x  u  3



v  1;

2  sin 2



x ;sin x   v 

3

  
VT  sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  uv  u v  3  VP
Dấu “=” xảu ra khi
sin x
1
2  sin 2 x


1

x  x   4  2 2 (1)
2
2
5
5
2
2
5
5

(Cải biên đề thi Olympic toán khu vực miền Trung và Tây Nguyên)
Phân tích: Bài toán khó nếu đặt ẩn phụ hay đánh giá, nhưng ta phát hiện giá trị
1 2
1
x . Nếu ta đưa
ra khỏi căn thì ta được các cụm tổng bình phương.
2
2

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 3


PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012
1 2
16
8
 x  2 2   x      
2



c   4  x; 2 
  4
8
d    x; 
5
5
Ta có:

 
ac  4 2
 
bd  4

Ta có:
   
a  c  ac
   
b  d  bd
       
 a  b  c  d  a c  b d  4 4 2

1
4  4 2  4  2 2  VP
2
Dấu “=” xảy ra khi x  2
Vậy S  2
 VT 


3 

3 
Trong mặt phẳng Oxy chọn
 
2
 2 

M  a; a  ; N  b; b   MN   a  b; a  b 
3
 3 



 
2  
A  0;3 ; B  2;0   NA   b; b  3 , MB   2  a;  a  , AB   2; 3 
3 

2

2
(1)  b   b  3 

Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân

Page 4


PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012


Page 5