TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGÔ THỊ MINH

NGHIÊN CỨU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI PHI TUYEN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Ngưồi hưóng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hưổng dẫn
tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiên cứu nghiệm của phương
trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu” không
có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên


1. 1. Phương trình vi phân cấp hai

6

1.2 . Phương trình autonom trong mặt phẳng pha

7

1.3. Chu trình giới hạn

9

Chương 2. Phương pháp nhiễu

13

2 . 1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức

14

2 .2 . Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình Duffing không tắt

dần

19

2.3. Dao động cưỡng bức xa giá trị cộng hưởng

22


2.11. Phương pháp nhiễu và chuỗi Fourier

43

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

4


MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa
học khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học được đánh
dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực
tiễn. Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng trong
toán học hiện đại. Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm
biểu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa biết (một hoặc nhiều biến) với
đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ
sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Do
vậy việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng. Trên thực
tế số phương trình vi phân nói chung, số phương trình vi phân cấp hai nói
riêng giải được không nhiều.
Với lòng say mê toán học sẵn có, đặc biệt là mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về phương trình vi phân cấp hai em đã mạnh dạn chọn đề

Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng pha của phương trình (Ị1.4Ị). Từ
hệ (Ị1.5Ị) ta có mối liên hệ giữa X và y xác định bởi phương trình vi phân cấp
7


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

một
0 thì X tăng khi t tăng, nếu
y=

X

< 0 thì X giảm khi t giảm. Do đó, hướng của đường cong pha luôn từ

trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên và từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng
dưới.


gian chuyên từ A tới B. Đó là một đại lượng không phụ thuộc vào thời điểm
p xuất phát ở A và xác định bởi:
f

dx

Ta b — L - .
Jab y

( 1 . 8)

Các tính chất có thể quan sát được qua lược đồ pha bao gồm:
i)

Mỗi đường cong pha kín tương ứng với một nghiệm tuần hoàn của

(Ị1.3Ị). Tuy nhiên có nghiệm tuần hoàn của (Ị1.3ị) tương ứng với đường cong
pha không kín.
ii) Mỗi điểm cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng của (Ị1.3Ị).
iii)

Quan sát quanh điểm cân bằng trong lược đồ pha ta có thể suy ra tính

chất ổn định hay không ổn định của trạng thái cân bằng vật lý. Chẳng hạn:
+) Nếu gần một điểm cân bằng, các đường cong pha là các đường cong
kín bao quanh nó thì được gọi là một tâm và đó là một điểm cân bằng ẩn
định (tức là, theo thời gian hệ sẽ tiến tới trạng thái đó nếu xuất phát từ trạng
thái gần với điểm cân bằng).
+) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằng đều

ự = -h(x,y)-g(x).

Với mục đíchgiải thích hiện tượng, chúng ta sẽ giả sử rằng hệ có một điểm
cân bằng duynhất, và đó là gốc (đã được chuyển đến gốc,nếu

cần thiết,

bằng cách đổi hệ tọa độ). Do đó
A(0,0)+*(0) = 0

và nghiệm duy nhất của /z(x,0) + g(x) = 0 là X = 0. Chúng tôi tiếp tục giả
định rằng
s(0) = 0,

(1.11)

h( 0,0) = 0.

(1.12)

khi đó

Trong những trường hợp này, bằng cách viết phương trình (Ị1.9Ị) dưới dạng
x + g(x) = -h ( x ,x ),

(1-13)

chúng ta có thể coi hệ là mô hình hóa của một hạt đơn vị trên lò xo chuyển
động tự do được điều khiển bởi phương trình jt + g(jt) = 0 (một hệ bảo toàn),
nhưng bị tác động bởi một ngoại lực —h(x,x) đóng vai trò là nguồn cung cấp


.

.

Khi đó, từ (Ị1.9Ị) ta có
d£
— = x ( - g ( x ) - h(x,x) + g(x)) = -xh(x,x) = -yh(x,y)

(1.16)

trong mặt phẳng pha. Biểu thức này đại diện cho tốc độ bên ngoài của nguồn
cung cấp năng lượng sinh bởi —h(x,x) hay đại diện cho ngoại lực.
Giả sử rằng, trong một miền liên thông R của mặt phẳng pha chứa điểm
cân bằng (0,0), d s / d t là âm:
de
~ r = -yh(x,y) < 0
dt

(1.17)

(ngoại trừ trên y = 0, nơi mà nó rõ ràng là bằng không). Hãy xét đường cong
pha bất kì sau một điểm nằm trong R tại mọi thời điểm. Khi đó, £ liên tục
giảm dọc theo đường cong pha đó. Ánh hưởng của h tương tự như giảm tốc
hoặc điện trở; năng lượng liên tục bị rút khỏi hệ, và điều này dẫn tới việc
giảm biên độ cho đến khi hết năng lượng ban đầu. Chúng ta nên mong đợi
các đường cong pha tiếp cận với điểm cân bằng.
Nếu
ds
-J- = -yh(x,y) > 0

sát trong trường hợp có chu trình giới hạn ổn định, đảm bảo tính tuần hoàn
ngặt, và tự khôi phục từ nhiễu đột ngột bất k ì .

12


Chương 2

Phương pháp nhiễu
Chương này mô tả các kĩ thuật để nhận được các xấp xỉ của nghiệm tuần
hoàn theo thời gian của các phương trình vi phân gần tuyến tính cấp hai với
ngoại lực điều hoà, và xấp xỉ của chu trình giới hạn của các phương trình
autonom. Các xấp xỉ tìm được dưới dạng khai triển theo luỹ thừa nguvên của
một tham số nhỏ, có các hệ số là các hàm của thời gian. Có một số quyền
tự do trong viêc gán các hệ số phụ thuộc thời gian, điều này được sử dụng
để tạo ra các xấp xỉ chung cho các tình huống khác nhau, phụ thuộc vào các
giá trị của các tham số chính của phương trình. Ta cũng chỉ ra cách xấp xỉ
đường homo - clinic bằng cách sử dụng những phương pháp tương tự. Các
quá trình này cho ta thấy các tính chất vật lý không có trong lý thuyết tuyến
tính mặc dù phương trình này có phần phi tuyến nhỏ.

13


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

2.1. Hệ không autonom: Dao động cưỡng bức
Cho đến thời điểm hiện tại, cơ bản chúng ta đã xét các hệ autonom.

Độ dốc phụ thuộc vào giá trị của to, trong khi đối với các phương trình
autonom thì nó không phụ thuộc vào ro- Điều này làm giảm đáng kể tính
hữu ích của việc biểu diễn biểu diễn mặt phẳng pha vì nó không còn là một
mẫu các đường cong phân biệt, không giao nhau và dễ dàng nắm bắt nữa.
Trong chương này chúng ta sẽ có được xấp xỉ của các nghiệm tuần hoàn
của các phương trình không autonom có dạng đặc biệt. Hai ví dụ về phương
14


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

trình con lắc cưỡng bức và phương trình Van der Pol cưỡng bức sau
x + k x + (ờ q X + £x3 = F cos (Ot

và
X + e(x2 — 1) i + (ờ q X = F cos cờt

ở đó £ là một tham số nhỏ. Khi £ = 0, những phương trình đó trở thành tuyến
tính. Số hạng bên phải, F coscot được gọi là lực cưỡng bức điều hoà và có
thể xem như là một ngoại lực với biên độ F và tần số vòng ũ) tác động lên
hạt đơn vị trên lò xo phi tuyến, số hạng lực cưỡng bức cố gắng điều khiển hệ
thống ở tần số ũ) chống lại khuynh hướng dao động tự do hoặc các chuyển
động khác được mô tả bởi các phương trình thuần nhất
x + k x + (Oq X + £ x 3 = 0

hoặc
X + £ (x2 — 1)x + C0q X = 0.



x(t) =

cởqX =

0) là

F cos(ũ)t — y)

-hCe 2^cos

C0n - -rk

t —ộ

(2.4)

[(ứ)q - (ở2)2 + k2co2] 2
Trong số hạng đầu, 7 bằng góc cực của số phức (củq — (ờ2) + ỉk(ú trên lược
đồ Argand. Trong số hạng thứ hai (các hàm bù)

c và ộ là các hằng số tuỳ ý

được điều chỉnh để phù hợp với điều kiện ban đầu Jt(fo) = *0, x(to) = );0 - số
hạng đó luôn tiến đến 0 khi t —» oo do nhân tử

nó được mô tả như

số hạng nhất thời. Do đó tất cả các nghiệm của (Ị2.3Ị) đều tiến đến trạng thái
của dao động ổn định, được mô tả bởi nghiệm riêng xp(t), ở đó

A = Amax = \F\/ k(mị — - k 1)!
Bây giờ giả sử k là rất nhỏ. Biểu thức này cho thấy khi 0) có giá trị gần
với

thì Amax trở nên rất lớn và hệ được gọi là ở trong trạng thái được cộng

hưởng. Phân tích kỹ hơn cho thấy, dưới những điều kiện này, sự chậm pha
7 trong (2 A) gây ra bởi ngoại lực F cos cot, với Cở2 = C0q — ^k 2, là thời gian

để nó có tác động cực đại vào khuynh hướng dao động tự do của hệ. Do đó
biên độ đạt giá trị lớn hơn.
Trường hợp khi k = 0 ở (|2.3aỊ) là đặc biệt theo nghĩa số hạng thứ hai ở
nghiệm tổng quát (Ị2.4Ị) là không nhất thời, nó không giảm theo thời gian.
Các nghiệm là tuần hoàn ngoại trừ các trường hợp đặc biệt của (0 và 0)0 (khi
0) = (p/q)ù) 0, ở đó p và q là các số nguyên). Có trạng thái thường xuyên
hay thất thường của dao động còn tuỳ thuộc vào điều kiện ban đầu. Nghiệm
tổng quát của (|2.3aỊ) khi k = 0 là
x(t)

(Óị - (ó1

cos (ũt + c cos(cớq t + ộ)

17


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh


mômen điều khiển M tỉ lệ thuận với vận tốc góc tương đối giữa con quay và
vỏ che ngoài:
M = a(A cos cot —x)

18


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

ở đó A là hằng số. Bằng cách điều chỉnh (trong tưởng tượng) hằng số a và
A, phương trình {2.1) có thể được tạo ra cho giá trị bất kì của F và giá trị bất
kì của k > 0.

vò nsoài dao độns
con quay

H ình 2 .2 : Con lắc có điều khiển ma sát

2.2. Phương pháp nhiễu trực tiếp cho phương trình
Duffing không tắt dần
Xem xét dao động cưỡng bức của con lắc không tắt dần
Jc+ CỞQsinx = F COS (Ot

(2.8)

trong đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng C0O > 0, Cở > 0 và
F > 0. Đặt
sinx « X----1 X3


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Phiên bản sơ cấp nhất của phương pháp nhiễu là cố gắng biểu diễn
nghiệm của (2.14) dưới dạng chuỗi luỹ thừa của e:
x ( e , t ) = jc0 ( t ) + EX\ ( ĩ ) + e 2 x 2 { t ) + . . . ,

(2.16)

với các hệ số jc,-(t) là các hàm chỉ của T. Để lập phương trình xác định Xị(t).

i = 0,1,2,..., ta thế chuỗi (Ị2.16Ị) vào phương trình (Ị2.14Ị):
( x 0 + S X ị “b ...) + £2^(xq + £ X \ -Ị- ...) — £ (xq

£ X \ -\- .• -

— rcosT.

Vì điều này được giả thiết đúng đối với mọi phương trình của họ (Ị2.14Ị), tức
là với mọi £ G Ỉ£ nên các hệ số của các luỹ thừa của £ phải cân bằng và ta
được
Xq + £22xo = r cos T

(2.17a)

y/ + £l2X] = Xq

(2.17b)

Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

(hoặc một nhánh nghiệm) của phương trình tuyến tính hoá. Phương pháp này
sẽ không khám phá ra bất kỳ nghiệm tuần hoàn nào khác. Nghiệm bậc 0,
xo( t )

được biết đến như nghiệm sinh của họ phương trình (Ị2.14Ị).

2.3. Dao động cưỡng bức xa giá trị cộng hưỏng
Giả sử rằng

£2^ z

(2.20)

Ta giải (Ị2.17Ị) với điều kiện tuần hoàn (Ị2.19Ị). Nghiệm của (|2.17a|) là
ao cos Q.T + bo sin Q.T +

Q.2 - 1

(2 .21 )

COST

ở đó ao,bo là các hằng số. Vì Q. không là số nguyên, nghiệm duy nhất có
chu kỳ 271 thu được bằng cách đặt ao = bo = 0 trong (Ị2.21Ị), đó là
=


1
----- 7TT COS T H--- 7
4 (Q.2 - I)4
4 (Q.2 - l ) 3( íl2 - 9 )

X\ (T ) = -

từ phương trình (2.20).

22

cos3 t


Khóa luận tốt nghiệp

Ngô Thị Minh

Hai số hạng đầu tiên của khai triển (Ị2.16Ị) cho bởi xấp xỉ
x(e,z) =

n2- 1COS T + e

COST
—
4 (£l2 - l) 4

+ 4 (Q.2 -

l ) 3( íl2 - 9 )

X o iv = --C O S T ,

và phương trình thứ hai trở thành
„
1

1
4 1

16
9

16
27

„

x\ H— X\ = — COSTH----cos3t

Nghiệm 2K-tuần hoàn là

Do đó
x(e.z)
— COST + —
— cos3t)) + 0(e2)
V , ; = - -3C O S T - e(v27
945
\ J

. Với 8 = OA,