ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN
CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC
TRONG MÔN HÌNH HỌC LỚP 7
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn chuyên đề:
Trong chương trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ
lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng
minh bài toán chứ không đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải bài toán.
Thông qua việc hướng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự đúc kết được phương
pháp chứng minh, tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn hình học.
Với chương trình hình học 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm mở
đầu về hình học. Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường quy nạp
không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến
thức mới. Học sinh nhận thức các hình và mối liên hệ giữa chúng bằng mô tả trực
quan với sự hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Lên lớp 7 học sinh
bước đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau… Với
yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả
năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh. Việc làm
quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên
đại đa số học sinh chưa biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu.
Nếu vấn đề này không được khắc phục ngay từ lớp 7 thì HS sẽ không thể tiếp
thu được kiến thức hình học ở các lớp trên. Do vậy vai trò của giáo viên giảng
dạy lúc này rất quan trọng. Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học
sinh tìm ra cách chứng minh bài toán hình học từ đó hình thành kĩ năng phân tích,
tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải. Từ đó hình thành phương pháp
học toán cho HS.
Với các lý do trên nên tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho
bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học
lớp 7”.
2. Cơ sở lí luận của đề tài:

động của người học, từng bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy.
Tuy nhiên một bộ phận không nhỏ giáo viên còn lúng túng trong việc phân
tích, hướng dẫn cho HS tìm ra lời giải cho bài toán. GV thường phân tích xuôi
chiều từ giả thiết đến kết luận, khiến HS không hiểu tại sao và nguyên nhân nào
đưa đến lời giải của bài toán vì thế không vận dụng được vào giải các bài toán
khác, do đó HS không biết cách học toán, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải
cho một bài toán. Đặc biệt là các bài toán chứng minh trong môn hình học, khiến
3


HS tiếp thu một cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết
quả học tập thấp.
b) Đối với học sinh:
Một bộ phận học sinh, khoảng 20% rất tích cực học tập, rèn luyện, có động cơ
học tập đúng đắn nên đó c kết quả học tập tốt.
Một bộ phận lớn học sinh, khoảng 35% cú kết quả học tập trung bình, trong số
này có khoảng 15% nếu có phương pháp học phù hợp thì sẽ đạt mức khá .
Số còn lại (45%) học yếu, trên lớp hầu như không tiếp thu được bài học,.
trong đó phần lớn là do các em không có phương pháp học toán phù hợp, không
có kĩ năng phân tích, tìm lời giải cho bài toán.
Qua tìm hiểu tôi thấy nguyên nhân do trong quá trình dạy học thầy cô giáo
chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức
các hoạt động dạy học trong giờ học chưa phong phú nên chưa kích thích được
học sinh hứng thú học tập.
II. Mục tiêu, phạm vi và đối tượng của chuyên đề:
1. Mục tiêu
Thông qua chuyên đề tôi muốn trao đổi thêm về phương pháp giảng dạy hình
học 7 để có hiệu quả giảng dạy cao nhất.
Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải cho một bài toán chứng
minh hình học, nhằm dần hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức, Giúp

thích hợp.
c) Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã được
chỉ ra. Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi.
d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
+ Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không
+ Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để,...
3. Phương pháp chứng minh bài toán hình học theo hướng phân tích
đi lên
* Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu
và xây dựng chương trình giải.
- Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì? (Kết luận A)
- Đề chứng được kết luận A ta phải chứng minh được điều gì? (Kết Luận X)
- Để chứng minh được kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều gì?
5


(Kết luân Y)….
- Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng được giả thiết của bài toán và
các kiến thức đã học trước đó.
Sơ đồ phân tích bài toán như sau:
Để chứng minh A

Phải cm

X Phải cm Y Phải cm ....

Phải cm

Z (CM được từ GT)


6


( ABM  ECM )
- Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa? Tại sao?
( ABM  ECM (c – g – c))
- Sau đó giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại
b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào các dấu hiệu nào?
(Học sinh nêu các dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp
góc so le trong bằng nhau).
Để chứng minh AC//BE: Ta chứng minh cặp góc nào bằng nhau? (góc CAE
bằng góc BEA hoặc góc ACB bằng góc CBE).
- Muốn chứng minh góc ACB bằng góc CBE ta chứng minh hai tam giác nào
bằng nhau? ( AMC  EMB )
- Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên
( AMC  EMB (c – g - c)).

bằng nhau chưa? Tại sao?

Sau đó học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại.
Sơ đồ phân tích: AC // BE  c/m góc ACB bằng góc CBE  c/m
AMC  EMB

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC
không chứa điểm B kẻ Ax vuông góc với AC và lấy M  Ax sao cho AM = AC.
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm C kẻ Ay vuông góc
với AB và lấy N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy P trên tia đối của tia KA sao
cho AK = KP. CMR:
a) AC//BP
b) AMN  BPA

ABP 
 MAN
ABP  BAC

c) Giáo viên hướng dân học sinh chứng minh bằng hệ thống câu hỏi như sau:
- Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta dựa vào các dấu hiệu nào
(Học sinh nhớ lại các dấu hiệu đã học)
- Giáo viên hướng cho học sinh sử dụng dấu hiệu hai đường thẳng cắt nhau tạo
thành một góc vuông).
- Nếu gọi H là giao điểm của AK và MN thì để chứng minh AK  MN ta phải
chỉ ra điều gì?
AHM  900 hoặc 
AHN  900 ).
(
AHN  900 (HS nêu: 
AHM  
AHN hoăc
- Hãy chỉ ra các cách chứng minh 

  900 ).
A1  HNA

  900 .
– Giáo viên hướng cho học sinh chứng minh 
A1  HNA

- Tính 
A1  
A2 ( = 900).
  900 ta phải chỉ ra được góc N và góc A2 cos quan

Sơ đồ phân tích.
cm
cm
a) Để CM BD=CF 
 CF  AD 
ADE  CFE (CM được từ GT)
cm
cm
cm
  BCD
 
  DCF

b) Cách1: Để CM DE//BC 
 CDF
 BDC  FCD 
 BDC

Cách

2:

Để

CM

DE//BC

  FBC
  BDF  FCD  DBF

Tam giác ABC cân tại A. Phân giác của góc A cắt
cạnh BC tại D. M là một điểm nằm giữa A, D.
CMR: BMD = CMD.
Sơ đồ phân tích:
ta cm
ta cm
1  M
 2 
Để CM BMD=CMD 
 MB  MC , M
 ABM  ACM

(CM từ GT)
9


Ví dụ 6. Cho Tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của
tam giác các tam giác vuông cân ABD, ACE ( 
ABD  
ACE  900 ). Qua điểm C vã
đường thẳng vuông góc với BE, cắt đường thẳng
HA tại K. CMR các đường thẳng AH, BE, CD đồng quy.
Sơ đồ phân tích.
Để CM: AH, BE, CD đồng quy taCM:
CD chứa đường cao của BKC.
ta cm
ta cm
ta cm
cm
 C

A1  
ACE 

ACE  
A2  
A1  
A2

(CM được từ GT)
Bằng cách làm tương tự giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh nhiều
bài tập chứng minh khác bằng cách phân tích ngược như trên. Các ví dụ cụ thể
được minh hoa trong tiết dạy như sau:

10


TIẾT 33: LUYỆN TẬP
VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC .
Nội dung bài dạy được thể hiện như sau:
 Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau
Bài 1. Cho ABC có AB=AC. Chứng minh rằng góc B bằng góc C
Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT,KL và tìm hướng chứng
minh của bài toán.

A

Theo hệ thống câu hỏi
- Góc B và Góc C trong cùng 1 tam gíac, lại chưa biết số đo

B

- Để C/m Ot là đường phân giác của góc ACB ta phải chứng điều gì?
(HS: góc ACH bằng góc BCH) -Muốn chỉ ra góc ACH bằng góc BCH
Ta làm như thế nào?
HS: AOC  BOC hoặc AHC  BHC
Hai tam giác trên bằng nhau chưa? tai sao?
GV: Trình chiếu lời giải chi tiết của bài toán
Giáo viên chốt lại sơ đồ tìm hướng chứng minh phần b) như sau:
Ot là phân giác của góc ACB - 
AHC  BHC


  AOC  BOC
ACO  BCO

hoặc

11

t


 Dạng2: Chứng minh quan hệ vuông góc, song song của hai đường thẳng.
Bài 3. Cho hình vẽ,
Biết AB=CD, BC=AD.
Chứng minh rằng AB//CD
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh tương tự như ví du 1: của
chuyên đề.
Bài 4. Cho ABC nhọn có AB=AC, D là trung điểm của BC
a) CMR: ADBC
b) Kẻ BMAC, CNAB (MAC, NAB)

phát triển phần c theo hướng sau:
- Ở phần a ta đã chứng minh được AD  BC nên cần chứng minh AH  BC.
-Mà theo b) MN // BC nên cần chứng minh AH  MN thì AH  BC. Vì qua H
chỉ có một đường thẳng vuông góc với BC nên A, H, D cùng thuộc một đường
thẳng
6. Các bài toán áp dụng
Bài 1. Cho đoạn thẳng AB bằng 4cm. Vẽ các đường tròn tâm A, bán kính 2cm và
đường tròn tâm B bán kính 3cm. Chúng cắt nhau tại C và D. CMR: AB là tia
phân giác của góc CAD
Bài 2. Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau taị H. Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, EF, AH. CMR các điểm M, N, P thẳng
hàng.
Bài 3. Tam giác ABC có các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại O. Từ
A vẽ đường thẳng vuông góc với OA, cắt các tia BO, CD lần lượt tại M và N.
CMR: BMBN, CMCN.
Bài 4. M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
các tam giác đều AMC, BMD. E, F là trung điểm của AD, BC. CMR tam giác
MEF đều.
Bài 5. Cho tam giác ABC trên tia BA lấy điểm M, trên tia CA lấy điểm N, sao
cho BM + CN = BC. CMR đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 6. Tam giác ABC cân tại A, đường cao BE, trung tuyến AM. Trên tia BA lấy
điểm F sao cho BF = CE. CMR các đường thẳng BE, CF, AM đồng quy
Bài 7. Cho tam giác đều ABC, trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm
M, N, P sao cho AM = BN = CP
a) CMR tam giác MNP đều.
b) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tan giác ABC. CMR: O
cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP.
13


quân bằng điểm số, thi đạt nhiều bông hoa điểm tốt chào mừng các ngày lễ lớn...
Lập hồ sơ theo dõi mức độ tiến bộ của từng học sinh để có kế hoạch điều
chỉnh cách dạy cho phù hợp.
14


2. Kết luận chung
Việc tìm được lời giải của bài toán chứng minh hình học không phải là đơn
giản và không có một quy trình sẵn có nên đòi hỏi trong quá trình dạy học giáo
viên phải thường xuyên chú ý đến các phương pháp hướng dẫn học sinh tìm tòi
cách chứng minh bài toán.
Qua đó rèn kĩ năng phân tích tổng hợp, tư duy lôgíc và kĩ năng trình bày bài
giải. Đối với học sinh lớp 7 kĩ năng trên sẽ từng bước được hoàn thiện dần về sau
và ở các lớp trên.
Giáo viên có thể áp dụng chuyên đề đối với chương trình hình học các lớp 8,9.
Giáo viên có thể tăng thêm hệ thống các bài tập khó hơn và đa dạng hơn để
làm chuyên đề bồi dưỡng HS khá, giỏi.
Khi viết chuyên đề tôi đã cố gắng nghiên cứu lí luận, căn cứ nội dung chương
trình và thực trạng về thầy và trò của trường THCS An Nông, đã có những thành
công khi áp dụng trong thực tế, song cũng không tránh khỏi những thiếu sót do
kinh nghiệm và năng lực còn hạn chế. Rất mong được qúy thầy cô góp ý để đề
tài hoàn thiện hơn.
Giao Thủy, ngày 15/ 03/2013.
Người viết chuyên đề

Phạm Thị Nhài

15



3. Phương pháp chứng minh bài toán hình học theo hướng phân
tích đi lên
4. Kết quả đạt được sau khi thực hiện chuyên đề
5. Các ví dụ cụ thể
6. Các bài toán áp dụng

7
7
14

IV. Kết luận
1. Biện pháp thực hiện
2. Kết luận

15
15

5
5
6
6
6
6

Xác nhận, đánh giá của trường THCS Hồng Thuận

16