TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM NHA TRANG
KHOA TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN


Mai Vũ Huy
Nguyễn Thị Thúy Lam
Lớp: Toán – Tin K29
Đề tài nghiên cứu khoa học
NHỮNG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẢN CHỨNG TRONG PHỔ THÔNG

1
Hướng dẫn khoa học: Thầy Nguyễn Chính.
Nha Trang, ngày 07 tháng 05 năm 2006
LỜI GIỚI THIỆU
Một bài toán có nhiều cách giải, nhưng ta phải chọn một cách tiếp
cận, một cách giải hợp lí nhất.
Để tiến tới cách giải hay nhất đôi khi phải trải qua quá trình thử sai
nhiều cách giải, hoặc kết hợp nhiều phương pháp giải khác nhau. Quá trình
này không hề đơn giản, đòi hỏi người giải toán phải nắm vững kiến thức cơ
bản và có hướng đi đúng cho từng bài toán cụ thể.
Mỗi phương pháp đều có cái hay và thế mạnh riêng đối với một lớp
bài toán nhất định. Trong đề tài này chúng tôi trình bày “Những bài toán
chứng minh bằng phương pháp phản chứng trong phổ thông”. Đây là
phương pháp hay dùng trong lập luận toán học, thể hiện sự chặt chẽ, lý luận
hợp lôgic của người giải toán. Điều quan trọng của phương pháp này là tìm
ra mệnh đề phủ định của điều cần chứng minh, từ đó dẫn đến sự vô lý với
giả thiết bài toán hay mâu thuẫn với kiến thức toán học đã biết.
Trong quá trình nghiên cứu các bài toán giải bằng phương pháp phản
chứng, chúng tôi phân thành các dạng sau:

III. Mục đích của đề tài:
Chúng tôi nghiên cứu đề tài này nhằm đánh giá số lượng các bài toán
áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng trong SGK. Ngoài ra, việc
nghiên cứu các bài tập trong các tài liệu khác nhằm thể hiện cái hay và sự
quan trọng của phương pháp này trong việc giải các bài toán ở phổ thông.
IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
Những bài toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
2. Phạm vi nghiên cứu:
- Bộ SGK 6, 7, 8, 9.
- Một số sách tham khảo khác.
V. Nhiệm vụ của đề tài:
1. Tìm hiểu cơ sở lôgic của phương pháp chứng minh phản chứng.
2. Phân loại các bài toán chứng minh bằng phương pháp chứng minh
phản chứng thành các dạng.
3. Nghiên cứu những bài tập trong bộ SGK 6, 7, 8, 9 chứng minh
bằng phương pháp phản chứng và một số bài tập trong các sách tham khảo
khác.
4. Khai thác một số bài toán, dự đoán sai lầm học sinh có thể mắc
phải và rút ra một số kinh nghiệm cho các bạn sinh viên sư phạm.
VI. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
*Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu.

3
a. Mục đích:
Chúng tôi sử dụng phương pháp này nhằm tìm hiểu cơ sở lôgic của
phương pháp chứng minh phản chứng.
b. Cách tiến hành:
Chúng tôi đã tiến hành đọc những cuốn sách, tài liệu tham khảo có liên

Bởi vì A ⇒ B sai, mà A đúng nên B phải có giá trị sai nghĩa là B
đúng.
Từ B đúng thông qua một số phép biến đổi tương đương dẫn đến
A đúng.
Từ giả thiết và qua quá trình lập luận ta có A và A đồng thời cùng
đúng, dẫn đến mâu thuẫn.
Điều đó chứng tỏ giả thiết B đúng là sai. Vậy B đúng. Hay A ⇒ B
đúng (điều phải chứng minh).
II. Các bước suy luận phản chứng:
1. Phương pháp chứng minh phản chứng sử dụng khi nào?
Gặp những bài toán khẳng định một hệ thức đúng, khẳng định nghiệm
của phương trình, hệ phương trình hoặc một bất đẳng thức… trong đại số,
hình học, số học người ta hay dùng phương pháp phản chứng.
2. Các bước suy luận phản chứng:
Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai ( phủ định lại mệnh đề cần
chứng minh ).
Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới,
mà những tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất
ta đã biết.

5
Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai. Vậy bài toán được
chứng minh.
•Chú ý: Trong hai bước suy luận phản chứng nêu trên, bước 1 rất quan
trọng vì cần tạo ra mệnh đề phủ định điều cần chứng minh phải chính xác.
III. Tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:
1. Tìm mệnh đề phủ định:
* C ác dạng mệnh đề:
1.1 Mệnh đề tồn tại:
Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định trên miền X. Mệnh đề tồn tại

“Với mọi số thực x đều không là nghiệm của phương trình:
x
2
+x+1= 0.” ≡ ∀x ∈ R, x
2
+x+1≠ 0. (4)
* Phủ định mệnh đề tồn tại và mệnh đề tổng quát:
• ( ∃ x∈ X: T(x)) ≡ ∀x∈ X,  T(x).
• ( ∀x∈ X, T(x)) ≡ ∃ x∈ X:  T(x).
Như vậy hai mệnh đề (∀x∈ X, T(x))và (∃ x∈ X: T(x)) là phủ
định của nhau.
Ví dụ:
• Mệnh đề phủ định của (1) là:
“Với mọi số thực x thì x không chia hết cho 3.” ≡ ∀x ∈ R, x không
chia hết cho 3.

6
3x
3x
• Mệnh đề phủ định của (2) là (4).
2. Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:
Ở phần này ta chỉ xét một số ví dụ cụ thể và chỉ quan tâm đến việc
lập mệnh đề phủ định.
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n, ta có n
5
- n chia hết cho 5.
 Mệnh đề cần chứng minh: ∀n ∈N, n
5
- n chia hết cho 5.
 Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: ∃n ∈N: n

thẳng và được tô màu xanh hoặc đỏ sao cho bất kỳ ba cạnh nào tạo thành
một tam giác thì không cùng màu.
Chứng minh: Qua một điểm bất kỳ có đúng hai cạnh màu xanh và hai cạnh
màu đỏ.
1.1 Phân tích tìm lời giải:
Với năm điểm cho trước A, B,C, D, E thì qua mỗi điểm có bốn đường thẳng
nối điểm đó với các điểm còn lại. Ta cần chỉ ra trong bốn đường đó thì có
đúng hai đường màu xanh và hai đường màu đỏ. Với đặc điểm bài toán này
ta không thể chứng minh trực tiếp, mà ta có thể xét các trường hợp có thể
xảy ra của bài toán. Bằng suy luận ta chỉ ra duy nhất trường hợp mỗi đỉnh
có hai đường màu xanh và hai đường màu đỏ là đúng.
1.2 Lời giải:
Không mất tính tổng quát ta xét đỉnh A.
Qua A ta kẻ được bốn đường thẳng AB, AC, AD, AE có màu xanh hoặc
màu đỏ. Các trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: Cả bốn đường thẳng cùng màu xanh (hoặc đỏ).
Vì ba cạnh tạo nên một tam giác bất kỳ không cùng màu nên những cạnh
tạo ra từ bốn đỉnh còn lại ( trừ đỉnh A) đều là màu đỏ (hoặc xanh).
Nhận thấy bất kỳ ba trong bốn cạnh đó đều tạo nên một tam giác cùng màu
đỏ (hoặc xanh). Điều này trái với giả thiết bài toán.
Vậy trường hợp này không thể xảy ra.
Trường hợp 2: Trong bốn đường thẳng đó có ba đường màu xanh và một
đường màu đỏ ( hoặc ba đường màu đỏ và một đường màu xanh ).
Xét ba đỉnh tạo với A ba đường thẳng màu xanh .
Vì ba cạnh của một tam giác bất kỳ không cùng màu nên ba cạnh được tạo
từ ba đỉnh nói trên phải cùng màu đỏ. Do đó đã hình thành một tam giác
cùng màu đỏ từ ba đỉnh đó. Không đúng với giả thiết bài toán.
Vậy trường hợp này không thể xảy ra.
Trường hợp 3: Tại mỗi đỉnh có hai đường màu xanh và hai đường màu
đỏ.

- Ngài là thần gì?
- Tôi là thần khôn ngoan.
Cuối cùng ông ta quay sang hỏi vị thần ngồi bên trái:
- Ai ngồi cạnh ngài?
- Đó là thần thật thà.
Nghe xong học giả khẳng định mỗi vị là thần gì. Bạn cho biết học giả đó
suy luận như thế nào?
2.1 Phân tích tìm lời giải:
Nhận thấy ba câu hỏi của học giả đều nhằm xác định một thông tin :
Thần ngồi ở giữa là thần gì?. Dựa vào các câu hỏi của học giả ta suy luận vị
nào là thần thật thà. Sau đó từ lời của thần thật thà, ta biết được đâu là thần
dối trá, đâu là thần khôn ngoan.
2.2 Lời giải:
Từ câu trả lời của thần ngồi giữa “ Tôi là thần khôn ngoan”, nên thần
ngồi giữa không phải là thần thật thà.
Nếu thần ngồi bên trái là thần thật thà thì không thể trả lời cho câu
hỏi“Ai ngồi cạnh ngài?” là “Đó là thần thật thà.”

9
Vậy ngồi bên phải là thần thật thà.
Câu trả lời của thần thật thà cho câu hỏi “ Ai ngồi bên cạnh ngài?” là “Đó
là thần dối trá.”Nên ngồi giữa là thần dối trá.
Vậy ngồi bên trái là thần khôn ngoan.
2.3 Bài học kinhnghiệm:
- Khi dạy những bài toán như trên người dạy nên khái quát thành một
dạng và xây dựng hướng đi chung.
- Tập cho học sinh suy luận chặt chẽ và hợp lôgic.
- Một bài toán có nhiều cách suy luận nên cần chọn cách suy luận hay
nhất. Điều quan trọng là kiên nhẫn đọc nhiều lần để phân tích, hiểu rõ yêu
cầu bài toán.

Hướng dẫn:

10
Ta mở hộp CQ.
Nếu lấy ra quả quýt thì hộp đó đựng hai quả quýt. Hộp dán nhãn CC đựng
một quả cam và một quả quýt. Hộp dán nhãn QQ đựng hai quả cam.
Nếu lấy ra quả cam thì hộp đó đựng hai quả cam. Hộp dán nhãn CC đựng
hai quả quýt. Hộp dán nhãn QQ đựng một quả cam và một quả quýt.
Bài 3: Thầy Nghiêm được nhà trường cử đưa bốn học sinh Lê, Huy,
Hoàng, Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả có ba em đạt các giải nhất, nhì, ba
và một em không đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả các em trả
lời như sau:
Lê: Mình đạt giải nhì hoặc ba.
Huy: Mình đã đạt giải.
Hoàng: Mình đạt giải nhất.
Tiến: Mình không đạt giải.
Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười và nói: “ Chỉ có ba bạn nói thật, còn một
bạn đã nói đùa.”
Bạn hãy cho biết học sinh nào đã nói đùa, ai đạt giải nhất và ai không đạt
giải?
Hướng dẫn:
Nếu Lê nói đùa thì cả ba bạn Huy, Hoàng, Tiến đều nói thật. Như vậy cả
Lê và Hoàng đều đạt giải nhất. Điều này vô lý, vậy Lê đã nói thật.
Suy luận tương tự, ta kết luận cả Huy và Tiến đều nói thật. Vậy Hoàng
nói đùa. Có nghĩa là Hoàng đạt giải nhì hoặc ba, Lê đạt giải nhì hoặc ba,
Huy đạt giải nhất, còn Tiến không đạt giải.

11
II. Dạng 2: Sự vô lý suy ra từ những kiến thức đã biết.
1. Bài tập 1:

d
M
a
b
c
P
1
B
A
a. Bạn đọc tự làm.
b. Giả sử c không cắt b.
Suy ra c // b.
Khi đó qua A ta vừa có a // b, vừa có c // b. Điều này trái với tiên đề
Ơclit.
Suy ra c cắt b.
Vậy : Nếu a // b và c cắt a thì c cắt b.
3. Bài tập 3: Hai đường thẳng a và b song song với nhau, đường thẳng c
cắt a tại A, cắt b tại B.
a. Lấy một cặp góc so le trong ( chẳng hạn cặp Â
4
và ) rồi đo xem hai
góc đó có bằng nhau không ?
b. Chứng minh Â
4
=
( Bài 30 trang 79 SBT 7 tập I )
Lời giải:
a.Bạn đọc tự kiểm tra.
b. Giả sử Â
4

.
1
∧
B
.
1
∧
B
∧
PAB
Khi đó b cắt c tại một điểm O.
Như vậy qua O ta vừa có b // a, vừa có c // a. Điều này trái với tiên đề
Ơclit. Suy ra b // c.
Vậy b // a và c // a thì b // c.
5. Bài tập 5: Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là
góc nhọn, không thể đều là góc tù.
(Bài 6 trang 61 SGK 8 tập I)
Lời giải:
Giả sử bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn thì tổng số đo của bốn góc đó
nhỏ hơn 360
0
. Điều này trái với tính chất về tổng các góc trong một tứ giác
bằng 360
0
.
Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.
Giả sử bốn góc của tứ giác đều là góc tù thì tổng số đo của bốn góc đó
lớn hơn 360
0
. Điều này trái với tính chất về tổng các góc trong một tứ giác

hơn hoặc bằng 90
0
.
Theo tính chất về mối quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác thì
hai góc còn lại đều có số đo lớn hơn 90
0
. Do đó tổng số đo ba góc của tam
giác trên lớn hơn 180
0
. Điều này trái với tính chất về tổng ba góc trong một
tam giác bằng 180
0
.
Vậy góc đối diện với cạnh nhỏ nhất trong một tam giác phải là góc nhọn.
8. Bài tập 8: Cho hai đường tròn tâm O và O’ giao nhau tại A và B. Một
cát tuyến bất kỳ qua A giao với hai đường tròn tại C và D. Vẽ hai đường
kính CC’ và DD’ của hai đường tròn. Chứng minh:A, C’, D’ thẳng hàng.
8.1. Lời giải:
(O) và (O’) giao nhau tại A, B;
GT cát tuyến CAD ( C∈(O),D∈(O’))
CC’, DD’ là hai đường kính.
KL A, C’,
D’ thẳng hàng.
Giả sử A, C’, D’ không thẳng hàng hay AC’ và AD’ là hai đường thẳng
phân biệt.
Vì DD’ là đường kính của (O’) nên góc DAD’ = 90
0
.
CC’ là đường kính của (O) nên góc CAC’ = 90
0

nhau tại một đỉnh A.
2. Bài toán: Cho hai đường tròn giao nhau tại A. Một cát tuyến thay đổi qua
A, giao hai đường tròn lần lượt tại C và D. Vẽ đường kính CC’ và DD’ của
hai đường tròn. Chứng minh C’D’ luôn đi qua một điểm cố định.
9. Bài tập 9: Chứng minh định lý đảo của định lý về góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung, cụ thể là:
Nếu góc BAx ( với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung
AB ), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căn dây đó và cung này nằm
bên trong góc đó, thì cạnh Ax là một tiếp tuyến của đường tròn.
9.1 Lời giải:
Hình 1 Hình 2
Giả sử Ax không là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Ta có hai trường
hợp:
Trường hợp 1: Ax cắt đường tròn tại C
1
thuộc cung lớn AB (hình1).
Ta có:

16
x
A
O
B
C 1
x
C 2
O
B
A
∧∧

Suy ra:

Trường hợp 2: Ax cắt đường tròn tại C
2
thuộc cung nhỏ AB.
Ta có:
Suy ra:

Vậy Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A.
9.2 Sai lầm của học sinh:
-Thông thường, học sinh chỉ đưa ra một trong hai trường hợp.
- Học sinh bỏ qua giả thiết do trực quan Ax là cát tuyến
(giả sử ).
- Sau khi giải bài toán này nhiều học sinh dễ nhầm tưởng: khi cho Ax là
một cát tuyến thì suy ra (điều này chỉ xảy ra khi Ax là tiếp
tuyến ).
9.3 Đề xuất khi giảng dạy:
- Người dạy phải thể hiện đầy đủ các trường hợp ( lời giải trong nhiều
sách chỉ đưa ra một trường hợp ).
- Nhắc nhở học sinh sử dụng hết giả thiết bài toán.
- Người dạy khắc phục sai lầm thứ ba của học sinh bằng cách nhấn mạnh
tính chất giữa tiếp tuyến và dây cung cho học sinh.
10. Bài tập 10: Hãy chứng minh định lý:
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc
đồng vị bằng nhau.
10.1 Lời giải
Giả sử
Qua B kẻ đường c sao cho
Theo dấu hiệu nhận biết hai đường
thẳng song song, suy ra a // c.

= BCsdBAx
2
2
1
(Góc nội tiếp chắn một cung )
∧∧
= BCsdABsd
2
2
1
(Vô lý vì C
2
thuộc cung AB)
∧∧
=
ABsd
2
1
BAx
.
∧∧
≠ AB
∧∧
=
ABsd
2
1
BAx
Như vậy, qua B ta vừa có c // a, vừa có b // a. Điều này trái với tiên đề
Ơclit.

giác cùng nằm trên một đường thẳng?
Hướng dẫn:
Giả sử tồn tại một tam giác mà trung điểm các đường phân giác nằm trên
một đường thẳng.
Ta chỉ ra điều vô lý.
Bài 3: Cho hai đường thẳng x’x và y’y giao nhau tại O. Ta nhận thấy
chúng tạo thành bốn góc, góc xOy kề bù với góc x’Oy, góc x’Oy’ kề bù
với góc y’Ox. Như vậy ta có:

Chứng minh rằng trong bốn góc trên phải có một góc không lớn hơn 90
0.

Hướng dẫn:
Giả sử bốn góc đều lớn hơn 90
0
thì tổng số đo bốn góc lớn hơn 360
0
.
Điều này vô lý.

18
∧∧
= AABc
.
∧∧
= ABcB
∧∧
= BA
.360180.2x''''
00

A, A’∈ Ox, B∈ Oy,
GT C thuộc miền trong góc xOy,
AB//A’B’(B’∈ Oy),AC//A’C’,
BC//B’C’.
KL AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Ta có: AB//A’B’
AC//B’C’
AC//A’C’
Suy ra: ∆ ABC ∼ ∆A’B’C’

19
y
x
z
O
A '
A
B '
B
C '
C
Vậy ta được: (1)

Vì AB//A’B’ nên
Giả sử CC’ giao Ox tại một điểm O’ khác O.

Vì AC//A’C’ nên

Từ (1), (2), (3) suy ra:


AC
BA
AB
=
'''' CA
AC
AO
OA
=
'''' BO
OB
AO
OA
=
''
'
' AO
AO
OA
OA
=
''
'''
'
'
AO
AOAO
OA
OAOA −
=

.
Chứng minh rằng không
thể có đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh của góc nhọn vừa là đường
phân giác của góc đó.
3.1 Phân tích tìm lời giải:
∆ABC, góc A>90
GT AM = MC ( M∈ AC)
KL
Muốn chỉ ra ta có các cách sau:
- Số đo hai góc bằng nhau. (1)
- Sử dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ( có thể thông qua góc
trung gian ). (2)
- Giả sử B
1
= B
2
ta chứng minh điều giả sử là vô lý. (3)
Nhận thấy cách (1) không phù hợp vì ta đang chứng minh cho một tam
giác bất kỳ.
Nếu áp dụng cách giải (2) thì ta cần phải tạo ra một góc mới bằng một
trong hai góc trên và nằm trong cùng một tam giác với góc còn lại ( vì hai
góc ta đang xét nằm ở hai tam giác khác nhau ). Với giả thiết đề cho cách
làm này phức tạp, đôi khi là bế tắc.
Yêu cầu của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc chứng minh bằng phương
pháp phản chứng. Tức là giả sử BM vừa là trung tuyến, vừa là phân giác
của tam giác ABC và chỉ ra điều vô lý.
3.2. Lời giải:

21
2

Vậy BM không thể là phân giác của góc B.( điều phải chứng minh ).
3.3.Khai thác:
- Giữ nguyên giả thiết bài toán nhưng thay đổi cách hỏi như sau: Chứng
minh rằng không thể có một đường phân giác xuất phát từ một đỉnh của góc
nhọn vừa là trung tuyến của góc đó.
- Bài toán trên vẫn áp dụng được với tam giác vuông.
- Xây dựng một bài toán mới:
Bài toán: Chứng minh rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là
phân giác xuất phát từ một đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó.
Lời giải:
Giả sử tam giác ABC không cân tại A
Khôngmất tính tổng quát xem như AC > AB.
Trên AC lấy D sao cho AB = AD.
Gọi L là giao điểm của BD và AH
( với AH là đường trung tuyến ).
Xét hai tam giác ABL và ALD có:
AL: cạnh chung,
AB = AD.
Suy ra : ∆ABL = ∆ADL (c.g.c )
Suy ra : BL = DL.
Trong ∆BDC có:

22
M
A
C
B
D
L
H

- Học sinh thường chứng minh như sau:
∆ABC vừa có đường trung tuyến là đường phân giác nên ∆ABC
cân tại B.
(1)
Mặt khác ∆ABC có Â > 90
0
nên BC > AB. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều vô lý.
*Người dạy cần lưu ý cho học sinh điều (1) được nêu ở trên là một bài
toán phải được chứng minh ( trình bày ở trên) không thể suy ngay ra được.
- Học sinh thường nhầm lẫn và chứng minh như sau:
Xét hai tam giác ABM và ACM ta có:
AM : cạnh chung,
BM = CM.
Suy ra ∆ABM = ∆ACM (c.g.c )
3.4.2 Chú ý khi giảng dạy:
Trong quá trình giảng dạy người dạy cần phải:
- Đối với sai lầm thứ nhất, người dạy phải yêu càu học sinh chứng minh
điều vừa kết luận để chỉ ra cái sai của học sinh.
- Đối với sai lầm thứ hai, người dạy vẽ hình và chú ý cho học sinh vị trí
các góc và cạnh tương ứng của trường hợp bằng nhau trong tam giác.
4. Một số bài tập khác:
Bài 1: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng a và
a + b cũng nguyên tố cùng nhau.
Hướng dẫn:
Giả sử a và a+b không nguyên tố cùng nhau.
Như vậy tồn tại số p, q
1
, q
2

thiết.
Bài 2: Cô giáo chủ nhiệm phân phối 102 quyển tập cho 50 em học sinh
lớp 6A. Chứng minh rằng ít nhất có một em nhận được nhiếu hơn hai quyển
tập.
Hướng dẫn:
Giả sử không học sinh nào nhận nhiều hơn hai quyển tập. Như vậy tối đa
có một 100 cuốn tập cho 50 học sinh. Trong khi giáo viên cần phân phối
102 cuốn tập. Điều này vô lý.
.
Bài 3: Cho phân số tối giản. Chứng minh rằng phân số
cũng tối giản.
Hướng dẫn: Tham khảo bài 3.
Bài 4: Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất
đẳng thức a
2
+ b
2
> 5c
2
thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.
Hướng dẫn:
Giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất của tam giác.
Không mất tínhư tổng quát, giả sử a ≤ c, khi đó a
2
≤ c
2
.
Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có b< a+c nên b
2
< (a+c)


24
q
p
q
qp +
0
1
0
3060 =⇒=
∧
CF
0
30=
∧
HAC
KẾT LUẬN
Đề tài này được viết theo chương trình THCS, dùng cho học sinh, sinh
viên sư phạm trong việc nhiên cứu tham khảo. Nó rất bổ ích trong việc
hình thành khả năng tư duy, lý luận chặt chẽ trong toán học và các
ngành khoa học khác.
Chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng là một dạng toán
hay giúp ta giải quyết những bài toán với tính đúng đắn có thể thấy ngay
mà những cách chứng minh khác không thể làm được.
Trong đề tài, chúng tôi đưa ra cơ sở lý thuyết, phân loại các dạng toán
cùng với những đề xuất, bài học rút ra trong quá trình nghiên cứu bài
toán. Ngoài ra, còn có sự tổng hợp và phân loại cho từng khối lớp THCS.
Tuy nhiên, những đề xuất, mở rộng mang tính cá nhân nên còn nhiều
hạn chế.
Cuối cùng, chúng tôi chân thành cảm ơn về những ý kiến đóng góp bổ