TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


BÙI THỊ PHƢƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT
GIẢI BẰNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI – 2015


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


BÙI THỊ PHƢƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT
GIẢI BẰNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI – 2015




MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài ........................................................................ 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
6. Bố cục của đề tài ........................................................................................ 2
7. Đóng góp của đề tài ................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN ............................................ 3
1.1. Khái niệm về liên kết .............................................................................. 3
1.1.1. Số bậc tự do – Liên kết ..................................................................... 3
1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo ............................................. 5
1.2. Tọa độ suy rộng....................................................................................... 6
1.3. Liên kết lí tưởng ...................................................................................... 6
1.4. Hàm Lagrange ......................................................................................... 7
1.4.1. Hàm Lagrange................................................................................... 7
1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do ............................................................. 9
1.4.3. Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau ............................. 10
1.5. Hàm Haminton ................................................................................... 11


CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH HAMINTON ......................................... 12
2.1. Phương trình tổng quát của động lực học ............................................. 12
2.2. Phương trình Haminton ........................................................................ 13
2.2.1. Xung lượng suy rộng ...................................................................... 13

tập.
Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lý thuyết giải
bằng hệ phương trình Haminton” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết để
tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, của cơ hệ.

1


4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ hệ có chịu liên kết.
- Dùng hình thức luận Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
- Nghiên cứu cách xây dựng hệ phương trình Haminton.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lý lý thuyết.
- Phương pháp vật lý toán học.
6. Bố cục của đề tài
Chương 1: Những khái niệm cơ bản.
Chương 2: Phương trình Haminton.
Chương 3: Giải một số bài tập bằng hệ phương trình Haminton.
7. Đóng góp của đề tài
- Tìm hiểu tổng quan về xây dựng hệ phương trình Haminton và áp
dụng nó để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
- Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi học môn cơ lý thuyết.

2



2

2


r31

2


r12

( x1  x3 ) 2  ( y1  y3 ) 2  ( z1  z3 ) 2  r312
Hay:
C  x3 , y3 , z3 

3


r23

B  x2 , y2 , z2 


( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2  r12 2  0
( x3  x2 ) 2  ( y3  y2 ) 2  ( z3  z2 ) 2  r232  0
( x1  x3 ) 2  ( y1  y3 ) 2  ( z1  z3 ) 2  r312  0

Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng

liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được..
1.1.1.3. Hệ hôlônôm
Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên
nó gọi là cơ hệ hôlônôm.

4


 

P i ri  g   ri , t   0


a i xi  b i yi  c i zi  g   ri , t   0
 dri

P i
 g   ri , t   0
dt
 

P i dri  g   ri , t  dt  0 với (  1,2,...., N;i  1,2,...N)

(1.2)

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không
tích phân được. Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được
gọi là cơ hệ không hôlônôm.
1.1.2. Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo
1.1.2.1. Dịch chuyển khả dĩ


 ri  dri  dri

5


1.2. Tọa độ suy rộng
Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mi ( i  1,2,...,N ) với liên kết
đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương
trình liên kết động học.
Để xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s  3N  m  n tọa độ độc lập q1,
q2,…. qs thì q1, q2,…. qs là những tọa độ suy rộng.


qk  qk (ri , t )
với ( i  1, N ; k  1, s )
 
ri  ri (qk , t )
Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do
của nó.
1.3. Liên kết lí tƣởng


Giả sử có chất điểm Mi chuyển động dưới tác dụng của lực Fi
( i  1,2,...,N ). Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niutown, ta
có:


 Fi
wi 

i 1 r t
i
N

Tiếp tục đạo hàm bậc 2 ta được:
N
f  
 d f  d f 
 0 (  1,2,...k )
 wi   vi
 

dt ri dt t
i 1 ri
i 1
N

(1.4)


 Fi
Gia tốc w i 
có thể không thỏa mãn phương trình (1.4). Điều này có
mi

ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mi một lực nào đó gọi là phản

lực liên kết. Kí hiệu là Ri thì phương phương trình chuyển động của chất
điểm không tự do Mi có dạng:
 

L  L  q1 ,q 2 ,...qs , q1 , q2 ,...qs , t  hay : L  L  qk , qk , t 

với

k  1,2,...,s
Nếu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng thái
của cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange:

7


d L L

 0 với k=1,2,..s
dt qk qk

Trong đó: L=T-U
a) Hàm Lagrange có tính chất cộng tính
Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB. Nếu
bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LA + LB.
b) Hàm Lagrange có tính bất định
Xét 2 hàm L  qk , qk , t  và L  qk , qk , t  liên hệ với nhau bằng biểu thức:

L  qk , qk , t   L  qk , qk , t  
t2

t2

t1



 S    S    df  qk , t 
t1

t2

t2

t1

t1

t1

t2

  df  qk , t    d ( f  qk , t )   f  qk , t 

  f  q2 , t    f  q1 , t   0

  S   S

Vậy L và L cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange
có ý nghĩa bất định.

8


1.4.2. Hàm Lagrange của hạt tự do
Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của


 
L(v 2 )  av 2  a v  V  av2  2avV  aV 2

 dr 
v 
dt

d

 
 L ( v 2 )  L ( v 2 ) 
2ar V  aV 2t
dt

df  qk , t 
d
 
2ar V  aV 2t 
dt
dt





Chọn a 




dt
dt 
m
L  ( x2  y 2  z 2 )
2

- Trong tọa độ trụ:
x  r cos 
y  r sin 
zz
dl 2  dr 2  r 2 d  dz 2
L

m 2
r  r 2 2  z 2 

2

- Trong hệ tọa độ cầu:

x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
z  r cos
dl 2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  d 2
L

m 2
r  r 2 2  r 2 sin 2  2 

2

2 i 1

1
 aik (q)  qi qk  U  q 
2 i ,k

1.5. Hàm Haminton
Ta có:
s

H   pk qk  L trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ
k 1


 ri

Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng   0  thì:
 t


H T U
L T U
U  U (ri )
 pk 
q k 

H
pk

Với k=1,2,…

i 1

Ta có:


N

 (m w
i 1

i

i

 
 Fi )ri  0

(2.2)

Đây là phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ hay còn gọi là
nguyên lí D’ Alambert- Lagrange. Đó là một trong những nguyên lí quan
trọng nhất của động lực học cơ hệ.


Trong trường hợp đặc biệt khi hệ ở trạng thái cân bằng vi  0, wi  0 ta

được nguyên lí quan trọng sau của tĩnh học:
N
 
F

q k

( k  1, s ) gọi là xung lượng

suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
Khi đó, q k được gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.
qk được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.

Thế năng U không phụ thuộc vào q k nên pk có dạng:
s
L T
pk 

  aik q i  bk ( k  1, s )
q k q k i 1

Trong đó bk và aik là hàm của tọa độ suy rộng và thời gian
Từ đó ta có:
s

q i   cik pk  d i ( k  1, s )

(2.4)

k 1

Trong đó cik và di là những hàm của tọa độ suy rộng và thời gian.
2.2.2. Xây dựng hàm Haminton
.


 pk và

 p k
qk dt .q k
q k

Nên:

dL    p k dq k  p k dp k  
s

k 1

L
dt
t

s

=  ( p k dqk  d ( pk q k )  q k dpk ) 
k 1

s

s

k 1

k 1


L
dt
t

(2.5)

Như vậy, khác với hàm Lagrange mô tả hệ cơ học bằng tọa độ suy rộng
và vận tốc suy rộng, hàm Haminton mô tả cơ hệ bằng tọa độ suy rộng và xung
lượng suy rộng.
Chia phương trình (2.5) cho dt và chú ý rằng

dp k
dq
 p k và k  q k
dt
dt

Ta có:
dH
dL

dt
dt

Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là dừng thì

dri
 0 và do đó lúc này hàm
dt



(2.6)


s

.

.

dH   qk dpk  p k dqk 
k 1

L
dt
t

Ta thấy được:
q k 

H
H
và p k  
p k
q k

Đây là các phương trình Haminton và hệ thức

( k  1, s )


Nếu chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng 2s phương trình Haminton
thì trạng thái của cơ hệ được xác định bởi những tọa độ suy rộng
qk (k  1, s) và xung lượng suy rộng pk (k  1, s) và gọi là biên số Haminton

trong trường lực thế. Hệ phương trình (2.7) được áp dụng trong trường lực thế
vì nó được xây dựng cho phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế.

16


CHƢƠNG 3
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH
HAMINTON
Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải bài tập đối với cơ hệ là cơ
hệ Hôlônôm, cơ hệ chịu liên kết lí tưởng.
3.1. Các bƣớc áp dụng hệ phƣơng trình Hamintin để giải bài tập.
B1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và chọn tọa
độ suy rộng thích hợp.
B2: Xác định biểu thức tính động năng T, thế năng U.
B3: Xác định hàm Lagrange L và xung lượng suy rộng P.
B4: Xác định hàm Haminton.
B5: Viết hệ phương trình Haminton và giải để tìm ra quy luật chuyển động
của chất điểm, cơ hệ.
3.2. Áp dụng hệ phƣơng trình Haminton để giải một số bài tập.
Bài tập 1:
Một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực thế
F= -kx, trong đó k là hằng số. Tìm định luật chuyển động của chất điểm.
Giải:
Động năng của chất điểm:



E
x
2m
2

Những phương trình chính tắc Haminton:
x 

H p x

p x m

p x  

H
 kx
x

Từ hai phương trình trên ta suy ra:
mx  kx hay mx  w2 x  0

Với w 2 

k
m

Giải phương trình vi phân này ta thu được:
x  A cos(wt   )



U  mgh  mg (l  l cos )
Hàm Lagrage L và xung lượng suy rộng p k của chất điểm có dạng:
ml 2 2
L  T U 
 mg (l  l cos )
2

p 

L
 ml 2


Hàm Haminton của chất điểm:
p2
L
H  
 L  T U 
 mg (l  l cos )

2ml 2

Những phương trình Haminton:

 
Và p   

p
H