ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI ĐỨC THẮNG

CƠ SỞ GROEBNER VÀ CHỨNG MINH
ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI ĐỨC THẮNG

CƠ SỞ GROEBNER VÀ CHỨNG MINH
ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN, 2015



2.2. Gói câu lệnh GeoProver ....................................................................................13
CHƢƠNG 3: CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG MÁY TÍNH ..... 16
3.1. Đại số hóa giả thiết và kết luận của định lý ....................................................... 16
3.2. Quy trình chứng minh định lý hình học bằng máy tính ..................................... 20
3.3. Chứng minh một số định lý hình học ................................................................. 25
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 57

1


MỞ ĐẦU
Với sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin và truyền thông, các
phương tiện - thiết bị dạy học hiện đại đã và đang được sử dụng một cách có hiệu
quả trong giáo dục. Phần mềm dạy học là một trong những phương tiện dạy học hỗ
trợ giáo viên thực hiện được phần nào các ý tưởng sư phạm của mình. Maple là một
phần mềm toán học tạo ra một cách tiếp cận mới sinh động và sáng tạo. Ngoài các
câu lệnh có chức năng kiểm tra, tính toán, minh hoạ hình ảnh,…nó còn cho phép
các giáo viên có thể sử dụng ngôn ngữ lập trình của Maple để tạo các công cụ mới,
các gói câu lệnh mới. Vì thế, Maple có khả năng đầy đủ để giảng dạy và học tập từ
bậc phổ thông (các gói chức năng về đại số, số học, giải tích, hình học,…) lên đại
học (đại số tuyến tính, phương trình vi phân, hình học cao cấp, đại số hiện đại,…).
Xuất phát từ ý tưởng rằng có rất nhiều định lý hình học hoàn toàn được mô
tả bằng các khái niệm đại số bằng cách biểu diễn các hình hình học trong toạ độ
Đề-các vuông góc. Khi đó, hầu hết các hình hình học và biên của nó có thể xem là
tập không điểm của các đa thức, và các quan hệ giữa chúng đều có thể mô tả bằng
các phương trình đa thức cũng như tập không điểm phải xét trên trường số thực.
Như vậy, để kiểm tra tính đúng - sai của một giả thuyết hay một định lý hình học
nào đó hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ những kết quả quan trọng liên quan
đến khái niệm cơ sở Groebner được nhà toán học Bruno Buchberger đưa ra năm

phù hợp. Do đó, chúng tôi đã xây dựng gói GeoProver để hỗ trợ chứng minh một
số định lý hình học sơ cấp.

3


Chƣơng 1
CƠ SỞ GROEBNER
Khái niệm cơ sở Groebner ra đời trong những năm 1970 để giải quyết bài
toán chia đa thức. Sau hơn 20 năm khái niệm này đã có những ứng dụng to lớn
trong nhiều chuyên ngành toán học khác nhau từ Đại số đến Hình học, Tô pô, Tổ
hợp và Tối ưu [9].
Việc sử dụng các hệ đa thức giống như cơ sở Groebner đã xuất hiện từ đầu
thế kỉ này với các công trình của Gordan, Macaulay, Hilbert. Người đầu tiên thấy
được tầm quan trọng của thuật toán chia là nhà toán học người Áo Broebner. Ông
đã đặt vấn đề tính cơ sở Groebner làm một đề tài luận án phó tiến sĩ cho học trò của
ông là Buchberger. Năm 1970, Buchberger tìm thấy một thuật toán hữu hiệu để tính
cơ sở Groebner. Sau này người ta mới phát hiện ra rằng Groebner đã biết những nét
cơ bản của thuật toán này từ những năm 50. Cùng thời gian này cũng xuất hiện
những kĩ thuật tương tự giống như thuật toán chia trong các công trình của
Hironaka về giải kì dị, của Grauert trong Giải tích phức và của Cohn trong Lý
thuyết vành không giao hoán [9].
Cơ sở Groebner được nghiên cứu đúng thời kì máy tính cá nhân ra đời và bắt
đầu trở nên phổ cập. Ngay lập tức người ta thấy rằng có thể lập trình thuật toán chia
để giải quyết các bài toán với các biến số mà ngày nay được gọi là tính toán hình
thức (symbol computation). Bản thân thuật toán chia đã chứa đựng những thuận lợi
cơ bản cho việc lập trình như:
(1) Việc sắp xếp thứ tự các hạng tử của một đa thức cho phép ta biểu diễn
một đa thức như một véc-tơ các hệ số và do đó ta có thể đưa dữ liệu về các đa thức
vào trong máy tính một cách dễ dàng.


 le x

xác định như sau:

x1 1 ... x n n  le x x1 1 ... x n n

nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ

  1   1 , ...,  n

là một số âm. Nói cách khác, nếu tồn tại 0  i  n sao cho

 n 

 1   1 , ...,  n   n ,

nhưng  i  1

  i 1 .

Thứ tự từ điển tương tự như cách sắp xếp các từ trong từ điển, và do đó có
tên gọi như vậy.
Định nghĩa 1.3. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự  g le x xác định như sau:







n

nếu









nếu



 n 

là

 1  ...   n   1  ...   n

và x1 ... x n  le x x1 ... x n .
1

n

n

1




d eg ( x1 1 ... x n n )  d eg ( x1 1 ... x n n )


và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên phải của véctơ   1   1 ,...,  n   n  là
một số dương. Nói cách khác, x1 ... x n  r le x x1 ... x n nếu  1  ...   n
n

1

hoặc  1

 ...  

nhưng  i

 i

n

  1  ...   n

n

1

và và tồn tại 1  i  n sao cho  n



a

là đơn thức đầu của

f

đối với thứ tự từ  .

Nếu thứ tự từ  đã được ngầm hiểu, ta sẽ viết in  f  (tương ứng lc  f  ,
lm

 f  ) thay cho

in 

 f  (tương ứng

lc 

 f ,

lm 

 f  ).

Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị
tuỳ ý).
Từ khởi đầu còn gọi là từ đầu hay từ đầu tiên. Như vậy nếu trong biểu diễn
chính tắc của đa thức




Cũng như trên ta sẽ viết in  I  thay vì in   I  nếu  đã rõ. Rõ ràng cũng có
in  I



 Im  f 

f  I



nên in  I  là iđêan đơn thức.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xác định được iđêan khởi đầu in  I  của một
iđêan I cho trước. Cách tốt nhất là tìm một hệ sinh tối tiểu của nó. Tuy nhiên, mọi
iđêan đơn thức đều có một tập sinh đơn thức và tập đó hữu hạn. Do đó ta có thể đưa
vào khái niệm quan trọng sau đây:
Định nghĩa 1.7. Cho  là một thứ tự từ và I là iđêan của R. Tập hữu hạn các
đa thức khác không

g 1 , ..., g s  I

được gọi là một cơ sở Groebner của I đối với thứ

tự từ  , nếu:
in   I


.

và mọi từ m của g không tồn tại

g '  G \  g  để

.

Mệnh đề 1.3. Cho I  0 . Khi đó đối với mỗi thứ tự từ, I có duy nhất một cơ
sở Groebner rút gọn. Mọi cơ sở Groebner rút gọn đều là cơ sở Groebner tối tiểu.
7


Định nghĩa 1.9. Cho I là iđêan của vành R. Tập hợp:
I  r  R n  N : r  I 
n

lập thành một iđêan. Iđêan này được gọi là căn của I.
Rõ ràng I 

I

. Nếu I 

I

thì I được gọi là một iđêan căn.

1.2.3. Một số tính chất của cơ sở Groebner
Cơ sở Groebner có một số tính chất sau:


Định lý 1.1. Cho G  I là một cơ sở hữu hạn của iđêan I. Khi đó, G là cơ
sở Groebner của I nếu và chỉ nếu với mọi
g G

f  I

,

chia hết cho

in ( f )

in ( g )

với

nào đó.
Chứng minh. G là cơ sở Groebner của I 

(với G   g 1 , ..., g s  ). Cần chứng minh
với mọi

f  I

,

in ( f )

chia hết cho

i 1

Ta có
in ( g k )

in ( f )  in ( I )



in ( f )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )

với 1  k  s .

8



in ( f )

chia hết cho


Nghịch: Rõ ràng
thì

in ( f )

chia hết cho

( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )  in ( I )

in ( I )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )  in ( I )  ( in ( g 1 ) , ..., in ( g s ) )

Định lý 1.2. Với mỗi đa thức

f  I

f ,g  R

ta định nghĩa

nghĩa là:

- Nếu

M ( f )  M (g)

thì f  * g và g  * f .

- Nếu

M ( f )  M (g)

thì f  * g .

- Nếu

M ( f )  M (g)

, sắp xếp các đơn thức của


phần tử nhỏ nhất.

9


Định lý 1.3. Cho I là iđêan của vành R = K[x]. Trên R cố định một thứ tự từ và
cho

T  in ( I )

là một từ nào đó. Khi đó tập các đa thức

f  I

với

in ( f )  T

chỉ có

một phần tử tối tiểu (theo giả thứ tự định nghĩa như ở Định lý 1.2).
Chứng minh. Theo Định lý 1.2 thì tập đó có phần tử tối tiểu. Bây giờ chứng
minh nó duy nhất. Thật vậy, giả sử ngược lại, tập đó có ít nhất 2 phần tử tối tiểu
khác nhau f và g. Khi đó chúng có dạng:
f  T   1x

a1

  2x


1

. Không mất tính tổng quát ta giả sử k  1 .

. f , 1.g  I

 

1

. f   1.g  I

.

 (  1   1 )T  ( 1  1   1  1 ). x a 1  ( 2  1   1  2 ). x a 2  ...  ( n  1   1  n ). x a n  I

 (
Do 

1

1

  1 ) T  ( 2  1   1  2 ). x
 1  1  1  0

  (1   1)

1


 a 1 , ..., a n   K . Khi K đã rõ, ta chỉ kí hiệu đơn giản là

f

 x   K  x  xác định một hàm từ

A

n

A

n

. Mỗi đa thức

vào K biến mỗi điểm  a 1 , ..., a n  thành

phần tử f  a 1 , ..., a n  . Thông thường khi xét không gian afin n - chiều ta đôi khi
xét cùng với vành đa thức n - biến K  x  . Để nói rõ mối liên quan này, đôi khi
x 1 , ..., x n

còn gọi là các toạ độ của không gian
10

A

n

.




Mỗi phần tử của tập này còn được gọi là không điểm của tập đa thức A.
Định lý 1.4. (Định lý Hilbert về không điểm) Cho K là trường,

K

là bao

đóng đại số của K và f , f 1 , ..., f n  K  x  . Các điều khẳng định sau tương đương:
i) Với mọi a  A Kn , f 1  a   ...  f n  a   0 suy ra f  a   0 .
ii) Tồn tại 0  s  N sao cho f s   f 1 , ..., f n  .
Chú ý rằng hai điều kiện trên có thể diễn đạt như sau:
i) Z  f 1 , ..., f n   Z  f  , trong đó các tập không điểm xét trong A Kn .
ii) f 



f 1 , ..., f n

.

Định lý 1.5. Cho I   f 1 , ..., f n  là iđêan và f là đa thức của K  x  . Gọi G
là cơ sở Groebner của iđêan  f 1 , ..., f n ,1  fy  trong vành K  x , y  , trong đó y là
biến mới. Khi đó các điều kiện sau tương đương:
i) f 

I


cho mọi người.
Phần mềm Maple là kết quả nghiên cứu của nhóm các nhà khoa học Trường
Đại học Waterloo (Canada) và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử
dụng rỗng rãi nhất hiện nay. Maple là phần mềm có môi trường tính toán khá phong
phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học như: Giải tích số, đồ thị, đại số hình
thức, ... do đó ta dễ dàng tính được các giá trị gần đúng, rút gọn biểu thức, giải
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tính giới hạn, đạo hàm, tích phân
của hàm số, vẽ đồ thị, tính diện tích, thể tích, số phức,... và lập trình giải các bài
toán với cấu trúc chương trình đơn giản. Ngoài ra, với phần mềm này ta dễ dàng
biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu liên kết
văn bản rất đơn giản mà không cần đến sự hỗ trợ của bất kì một phần mềm nào khác
(chẳng hạn Page Text, Word, FrontPage...). Với các chức năng trên, Maple là công
cụ hỗ trợ đắc lực cho những người làm Toán.
Phân mềm Maple tích hợp gói Groebner làm công cụ khai thác những ứng
dụng của cơ sở Groebner trong giải một số bài toán hình học phẳng. Một thứ tự từ
được gọi là một termorder. Khi xét các thứ tự từ dễ sử dụng nhất là thứ tự từ điển
ngược. Thứ tự từ điển được gọi là plex (tức pure lexicographic) và thứ tự từ điển
ngược được gọi là tdeg (tức total degree). Maple cần biết termorder muốn dùng
plex hay tdeg và một danh sách các biến. Các lệnh sử dụng phổ biến trong gói
Groebner của Maple là normalf để thực hiện thuật toán chia và gbasis để tính một
cơ sở Groebner. Kết quả là phần dư của đa thức f trong phép chia cho các đa thức
thuộc danh sách polylist sử dụng thứ tự từ quy định bởi termorder.
12


Nếu sử dụng các đa thức với hệ số nguyên hay hữu tỷ trong normalf hay
gbasic, Maple sẽ giả định rằng ta đang thực hiện trên trường ℚ. Chú ý rằng ở đây
không giới hạn trên kích thước của các hệ số. Để Maple cố định một biến trong
trường cơ sở (một tham số), ta chỉ cần bỏ qua nó trong danh sách các biến trong
termorder.

Kiểm tra ba đường thẳng đồng quy:
[> D_:= Point(1, 2): E:= Point(3, 0): F:= Point(0, 1):
[> is_concurrent(pp_line(A, B), pp_line(C, D_), pp_line(E, F));
–x4x6 + 2x4x5 + x2x6 – 2x2x5 + 2x2x3 – 2x1x4 – x6x2x3 + x6x1x4
Kiểm tra hai đường thẳng trực giao:
[> is_orthogonal(pp_line(A, B), pp_line(C, D_));
2x4 – 2x2 – x4x6 + x2x6 + x1x5 – x3x5 – x1 + x3
Kiểm tra hai đường thẳng song song:
[> is_parallel(pp_line(A, B), pp_line(C, D_));
x4x5 – x4 – x2x5 + x2 – 2x1 + x1x6 + 2x3 – x3x6
Kiểm tra đường thẳng tiếp xúc với đường tròn:
[> is_cl_tangent(p3_circle(D_, E, F), pp_line(A, B));
–4x22x32 – 4x12x42 + 16x1x42 + 16x22x3 + 8x12x4 + 8x2x32 – 8x42 + 16x4x2 – 8x22 + 4x12
– 8x1x3 + 4x32 + 16x1x2 – 8x3x1x4 – 16x2x3 – 16x1x4 – 8x1x2x3 – 16x4x2x3 + 8x2x3x1x4
– 16x2x1x4 + 16x3x4
Kiểm tra hai đường tròn tiếp xúc với nhau:
[> is_cc_tangent(p3_circle(D_, E, F), p3_circle(Point(0, 0), Point(-1, 0), C));
92x62 – 4x52 – 8x53 – 8x5x62 – 40x5x6 – 4x54 – 8x52x62 – 40x52x6 – 4x64 – 40x63
Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng:
[> on_line(E, pp_line(A, B));
3x – 3x2 + x2x3 – x1x4
Kiểm tra điểm thuộc đường tròn:
[> on_circle(A, p3_circle(D_, E, F));
–x12 – x22 + 4x1 + 2x2 – 3
Kiểm tra bốn điểm cùng thuộc một đường tròn:
[> is_concyclic(A, F, C, E);
–8x1x6 + 8x2x5 + 6x6 – 6x2 + 2x12x6 + 2x22x6 – 2x2x52 – 2x2x62

14


Quy trình chứng minh định lý hình học trên Maple được tóm tắt thông qua
các bước sau đây:
Bƣớc l: Đại số hóa bài toán hình học.
Bƣớc 2: Chạy trên phần mềm Maple tìm cơ sở Groebner của iđêan (f1 = 0,...,
fs, 1 - yg) với chú ý xem các biến độc lập như tham số.
Bƣớc 3: Cơ sở Groebner của iđêan (f1 = 0, ... , fs, 1 - yg) chứa các đa thức 1
khi và chỉ khi định lý hình học cần chứng minh là đúng.
Nếu tại bước 2 ta vẫn xem các biến độc lập là biến, thì tại bước 3 nếu cơ sở
Groebner của iđêan (f1 = 0, ..., fs, 1 - yg) chứa đa thức 1 hoặc chứa đa thức chỉ chứa
biến độc lập, thì ta vẫn kết luận được định lý hình học cần chứng minh là đúng.
Tuy nhiên điều ngược lại chỉ đúng nếu ta chọn thứ tự từ khử đối với các biến không
độc lập và y (chẳng hạn dùng plex và xếp các biến độc lập ở sau cùng).
3.1.2. Đại số hóa một số định lý hình học
Giả sử cho định lý hình học với:
Giả thiết: Được mô tả bởi hệ phương trình 𝑓1 = ⋯ = 𝑓𝑠 = 0.
Kết luận: Khi đó mọi nghiệm thực của nó phải thoả mãn hệ phương trình
𝑔1 = ⋯ = 𝑔𝑟 = 0 với 𝑓1 , … , 𝑓𝑠 , 𝑔1 , … , 𝑔𝑟 ∈ ℝ 𝑢1 , … , 𝑢𝑡 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 là những đa thức
với hệ số thực. Các biến 𝑢1 , … , 𝑢𝑡 độc lập đại số (tức là toạ độ của các điểm tương
ứng với các biến này có thể chọn tuỳ ý), còn các biến 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 là phụ thuộc, nghĩa
là từng biến trong danh sách này phải xuất hiện trong ít nhất một đa thức fi nào đó.
16


Ta sử dụng ngôn ngữ đại số để mô tả một số định lý hình học sau đây:
Ví dụ 3.1. Trong một tam giác, ba đường trung trực đồng quy.

Hình 3.1
Đại số hóa định lý trên như sau: Không mất tính chất tổng quát, ta có thể đặt
tọa độ các điểm A(0, 0), B(c, 0) và điểm C(a, b). Giả sử các đường trung trực của
các cạnh AB và BC cắt nhau tại điểm O1(x1, y1). Các đường trung trực hoàn toàn

2 2𝑏

Từ đó, ta có hệ 𝐺 = {𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝1′ , 𝑝3 }. Ta cần chứng minh 𝑂1 ≡ 𝑂2 nghĩa là
𝑥1 , 𝑦1 = 𝑥2 , 𝑦2 . Để sử dụng phương pháp cơ sở Groebner, cơ sở Groebner G’
của G được tính và mục tiêu là chứng minh 𝑥1 − 𝑥2 → 𝐺 ′ = 0 và 𝑦1 − 𝑦2 → 𝐺 ′ = 0.
Với đa thức phía trái của phương trình là mệnh đề được mô tả.
Ví dụ 3.2. (Định lý con bướm) Cho đường tròn tâm O. Các điểm A, B, C, D
thuộc đường tròn trên. Gọi P là giao điểm của AC và BD. Gọi F, G tương ứng là
giao điểm của đường thẳng đi qua P và vuông góc với OP với đường thẳng AB,
CD. Khi đó P là trung điểm của FG.
17


Chứng minh. Ta chọn hệ trục toạ độ Đề-các với điểm P là gốc toạ độ, trục
hoành nằm trên đoạn thẳng OP. Khai báo tọa độ các điểm như sau:

Hình 3.2
[> P:= Point(0, 0): O_:= Point(u1, 0):
[> A:= Point(u2, u3): B:= Point(u4, x1):
[> C:= Point(x2, x3): D_:= Point(x4, x5):
[> F:= Point(0, x6): G:= Point(0, x7):
Ta khai báo đường tròn tâm O, bán kính OA:
[> c:= pc_circle(O_, A):
Từ giả thiết B, C, D thuộc đường tròn tâm O ta có:
[> on_circle(B, c), on_circle(C, c), on_circle(D_, c);
u42 + x12 – 2u1u4 + 2u2u1 – u22 – u32, x22 + x32 – 2u1x2 + 2u2u1 – u22 – u32,
x42 + x52 – 2u1u4 + 2u2u1 – u22 – u32
Từ giả thiết P là giao điểm của AC và BD, F thuộc AB và G thuộc CD, ta có:
[> on_line(P, pp_line(A, C)), on_line(P, pp_line(B, D_)),
on_line(F, pp_line(A, B)), on_line(G, pp_line(D_, C));

con:=x2u1u3x5 – x2u1x6u2 – x2x3u3x5 + x2x3x6u2 + x2u2x4u1 – x2u1x4x5 + x1x4u3x5 –
x1x4x6u2 + x1x4u1x6 – x1u1x4u3
Trong ba ví dụ trên, các biến ui là các biến độc lập, các biến xi là các biến phụ
thuộc. Chúng ta phải phân biệt các biến này để tìm các trường hợp suy biến của
định lý (hay là các trường hợp mà định lý không còn đúng).
3.2. QUY TRÌNH CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ BẰNG MÁY TÍNH
3.2.1. Các bƣớc chứng minh định lý hình học bằng máy tính
Để chứng minh định lý hình học bằng cơ sở Groebner với sự hỗ trợ của phần
mềm Maple ta phải tiến hành theo các bước sau:
Bƣớc 1: Chọn hệ trục toạ độ để biểu diễn các điểm và các dữ kiện của định
lý. Ta chọn sao cho số lượng các biến trong cơ sở Groebner là ít nhất bởi vì số
lượng biến càng nhiều, thời gian tính toán trên máy tính càng lâu.
Bƣớc 2: Đại số hoá giả thiết và kết luận của định lý.
Bƣớc 3: Liệt kê một danh sách bao gồm các đa thức giả thiết và một đa thức
kết luận được nhân với một biến phụ thuộc mới, sau đó trừ đi 1.
Bƣớc 4: Tìm đa thức dư của đa thức 1 cho các đa thức trong danh sách trên
bằng lệnh: [> normalf(1, WL, T), trong đó WL là danh sách các đa thức, T là một
thứ tự từ. Nếu kết quả trả lại bằng 0 thì định lý luôn đúng. Ngược lại chúng ta tiếp
tục tìm cơ sở Groebner rút gọn của iđêan sinh bởi WL.
Bƣớc 5: Tìm cơ sở Groebner rút gọn G của WL.
Bƣớc 6: Tìm iđêan khử bằng các dòng lệnh sau:
[> for j from 1 to nops(G) do
k[j]:= degree(leadterm(G[j], plex(T’)), {T’}):
if k[j] = 0 then print(G[j]); fi: od;
Trong đó T là một thứ tự từ đối với các biến phụ thuộc.
Bƣớc 7: Giải các phương trình đa thức sinh ra iđêan khử để tìm ra các trường
hợp suy biến.
Chú ý rằng khi đại số hoá giả thiết và kết luận của định lý ta không tránh khỏi
kết quả của các phép tính toán không là một đa thức. Lúc đó, ta dùng câu lệnh
20

câu lệnh để thực hiện các phép tính trên các điểm đó thì bao giờ Maple cũng yêu

21


cầu các điểm đó phải thoả mãn một số điều kiện nhất định để thực hiện được phép
tính.
Khi dùng lệnh khai báo một đường thẳng đi qua hai điểm có toạ độ cho trước
dưới dạng tham số thì Maple sẽ đưa ra một thông báo là hai điểm đó phải là hai
điểm phân biệt (tức là chúng ta phải đưa ra câu lệnh giả thiết rằng hai điểm đó là
phân biệt trước khi khai báo đường thẳng). Với mỗi thủ tục đó khi thực hiện phép
tính sẽ rất phức tạp mà nhiều khi chưa chắc đã làm được. Do vậy, vấn đề xây dựng
một gói công cụ mới dựa trên ngôn ngữ lập trình Maple để giải quyết vấn đề trên là
không thể thiếu được. Sau đây là các câu lệnh để đưa ra hệ phương trình giả thiết và
kết luận của định lý:
Ta tiến hành khai báo các điểm:
[> A:=Point(0, 0): B:=Point(u1, 0): C:=Point(u2, u3): D_:=Point(x1, x2):
N:=Point(x3, x4):

Hình 3.4
Các biến u1, u2, u3 là các biến độc lập, còn các biến x1, x2, x3, x4 là các biến
phụ thuộc và nó bị ràng buộc bởi điều kiện ABCD là hình thoi và N là giao điểm của
hai đường chéo.
Từ giả thiết AB = AD và

N  AC , N  BD

ta có các phương trình:

[> sqrdist(A, B ) - sqrdist(A, D_) = 0;