ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

MAI THỊ THU NHÀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:
60460113

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. PHẠM VĂN QUỐC

2.5.2 Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc so sánh các vế
của phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
13
20
21

3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương . . . . . . . . .
3.2 Xây dựng từ các nghiệm chọn sẵn và phương pháp nhân liên hợp
3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Xây dựng từ phương trình tích, các đẳng thức . . . . . . . . . . .
3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Xây dựng từ các đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" . . . . . . . . .
3.6 Xây dựng từ hệ phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác .
3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Dựa theo tính chất của hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . .

59
59
60
62
64
64
64
66

phải đối mặt với rất nhều dạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn mà
phương pháp giải chúng lại chưa được liệt kê trong sách giáo khoa. Đó là các
dạng toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giải bằng phương pháp đặt ẩn
phụ không hoàn toàn, dạng ẩn phụ lượng giác hóa,....
Việc tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là niềm say mê
của không ít người, đặc biệt là những người đang trực tiếp dạy toán. Chính vì
vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn đề tài
"Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn"
Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân về
một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của
mình trong nhà trường phổ thông. Luận văn được hoản thành dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của TS. Phạm Văn Quốc.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc đến người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ
bảo và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào
tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc
Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, cùng toàn thể các học
viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học và hoàn thành bản luận
văn này.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Chương 3. Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
3


MỤC LỤC



a
=
b
a
=
b

|a|
|b|

√
3
a
√
3
b

với a, b ∈ R, ab ≥ 0, b = 0

với a, b ∈ R, b = 0.

3. Căn của một lũy thừa
√
√ m
m
n
am = a n = ( n a) , với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ , n ≥ 2.
4. Căn nhiều lớp
n

7. Tích của hai căn

√
√
√
√ m+n
1
1
1
1
m+n
mn
m
a n a = a m a n = a m + n = a mn =
am+n = ( mn a)

với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ 2.
8. Thương của hai căn

√
1
m
√
√ n−m
a
am
1
mn
− n1 = a n−m
m

√
3

A=

√
B⇔
√
3

B≥0
A = B2.
A≥0
A = B.

B ⇔ A = B.

A = B ⇔ A = B3.

13. Phương trình tương đương
Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng
một tập nghiệm. Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phương
trình f2 (x) = g2 (x) thì ta viết
f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x).

Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định D (hay có
cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu là D) và tương đương với nhau,
ta nói
- Hai phương trình tương đương với nhau trên D, hoặc
- Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với nhau.

f (x, y) = 0
(I) với f (x, y) = f (y, x) và g(x, y) = g(y, x)
g(x, y) = 0

Phương pháp giải.
Biến đổi về tổng, tích và đặt

S =x+y
đưa hệ phương trình mới với ẩn
P = xy

S,P. Giải hệ phương trình mới tìm được S, P và điều kiện có nghiệm (x, y)
là S 2 ≥ 4P.
Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình X 2 − SX + P = 0 hoặc nhẩm
nghiệm với S, P đơn giản.
16. Hệ phương trình đối xứng loại II
f (x, y) = 0
f (y, x) = 0

(1)
(2)

Phương pháp giải.
Trừ (1) và (2) vế cho vế ta được hệ phương trình mới
f (x, y) − f (y, x) = 0
f (x, y) = 0

(3)
(1)


sin x =
2

1.2

Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1.1. Giải phương trình
1+

2
3

x − x2 =

√

x+

√

1 − x.

Nhận xét. Trước hết có điều kiện 0 ≤ x ≤ 1. Để giải phương trình này thì
rõ ràng ta sẽ tìm cách làm mất căn thức. Có nhiều cách để làm mất căn
thức.
Cách 1. Đầu tiên ta nghĩ tới đó là lũy thừa hai vế. Vì hai vế của phương
trình đã cho luôn không âm với điều kiện xác định nên ta có thể bình
phương hai vế để thu được phương trình tương đương sau



x = 0 (thỏa mãn)
 x = 1 (thỏa mãn)
√
⇔
27 ± 473
x=
(thỏa mãn)
54
√
27 ± 473
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1, x =
.
54
√
√
√
2
Cách 2. Ta thấy
x + 1 − x2 = 1 + 2 x − x2 .
√
√
√
y2 − 1
Do đó nếu đặt y = x + 1 − x2 . Suy ra, ta sẽ tính được x − x2 =
.
2
Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y là
1+


thức chứa căn thức nào đó bằng một biểu thức ẩn mới sao cho phương trình
ẩn mới có kết cấu đơn giản hơn phương trình ban đầu là bước quan trọng.
Nó quyết định đến việc ta có lời giải hay không và lời giải đó tốt hay dở.
Để chọn được cách đặt ẩn thích hợp thì ta cần phải tìm được mối quan hệ
của các biểu thức tham gia trong phương trình. Có nhiều cách tạo ra mối
quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình. Ví dụ ngoài cách
đặt ẩn như cách 2, ta còn có mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương
trình ở cách 3 sau.
Cách 3. Ta có
√
√
2√
x − x2 = x + 1 − x
3 √
√
√
⇔ 3 + 2 x − x2 = 3 x + 3 1 − x
√
√
√
⇔ x 2 1−x−3 =3 1−x−3
√
√
3 1−x−3
⇔ x= √
.
2 1−x−3
√
√
2

Cách 5. Với điều kiện của x để phương trình xác định, ta có thể nghĩ đến
π
cách giải phương trình bằng cách đặt x = sin2 t, t ∈ 0; .
2

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2
sin t cos t = sin t + cos t
3
⇔ 3(1 − sin t) (1 − sin t) (1 + sin t) (2 sin t − 3) = 0
sin
√
√t = 1
⇔
3 1 − sin t = (3 − 2 sin t) 1 + sin t
1+

9


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

⇔

x=1
sin t 4 sin2 t − 6 sin t + 8 = 0.

Từ đó ta có nghiệm của phương trình đã cho.
Qua ví dụ trên, ta thấy rằng có thể có nhiều cách để giải một phương

2n

3.

2n+1

f (x) = g 2n (x)
g(x) ≥ 0.

f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g 2n+1 (x).

Ví dụ 2.1. (Đề dự tuyển chọn HSG Khối lớp 10, Olympic 30/4,năm 2009)
Giải phương trình
(x + 3)

Giải. Điều kiện

(4 − x)(12 + x) = 28 − x.

(4 − x)(12 + x) ≥ 0
⇔ −3 ≤ x ≤ 4.
(28 − x)(x + 3) > 0

Phương trình đã cho tương đương
(x + 3)2 (4 − x)(12 + x) = (28 − x)2
⇔ x4 + 14x3 + 10x2 − 272x + 352 = 0
⇔ (x2 + 6x − 22)(x2 + 8x − 16) = 0
x2 + 6x − 22 = 0
⇔
x2 + 8x − 16 = 0

√

x+1=

√

12 − x +

√

x−7

⇔ x + 1 = 12 − x + x − 7 + 2

(12 − x)(x − 7)

⇔ x − 4 = 2 (12 − x)(x − 7)
x−4≥0
⇔
x2 − 8x + 16 = 4(−x2 + 19x − 84)

x≥4


x = 8 (thỏa mãn)
⇔

 x = 44 (thỏa mãn).
5
44

x = 6.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 6.
Ví dụ 2.4. Giải phương trình
√
√
√
3
3x − 1 − 3 2x − 1 = 3 5x + 1.

Giải. Phương trình đã cho tương đương
3x − 1 + 2x − 1 +
⇔

3

3

√
√
(3x − 1)(2x − 1)( 3 3x − 1 + 3 2x − 1) = 5x + 1

(3x − 1)(2x − 1)(5x + 1) = 1

⇔ (3x − 1)(2x − 1)(5x + 1) = 1
x=0
19
⇔ 30x3 − 19x2 = 0 ⇔
x= .
30

2x − 2.

Giải. Điều kiện x ≥ 1. Phương trình đã cho tương đương
√

3x −

√
√
√
x + 1 = 2x + 3 − 2x − 2

⇔ 3x + x + 1 − 2
⇔

3x(x + 1) = 2x + 3 + 2x − 2 − 2

3x(x + 1) =

(2x + 3)(2x − 2)

⇔ 3x(x + 1) = (2x + 3)(2x − 2)
⇔ x2 − x − 6 = 0
x = 3 (thỏa mãn)
⇔
x = −2 (loại) .

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Ví dụ 2.6. Giải hệ phương trình
x3 + 1 √


Một số biểu thức liên hợp :
√
√
√
√
(α a + β b)(α a − β b) = α2 a − β 2 b
√
√
√
√
√
3
3
3
3
( 3 a + b)( a2 − ab + b2 ) = a + b
√
√
√
√
√
3
3
3
3
( 3 a − b)( a2 + ab + b2 ) = a − b
13

(2x − 2)(2x + 3)

(3x + 1) − a2
3(x − 5)
√
=√
⇔ 3x + 1 − a2 = 3x − 15 ⇔ a = 4.
3x + 1 + a
3x + 1 + a
b2 − (6 − x)
x−5
√
√
=
⇔ b2 = 6 + x = x − 5 ⇔ b = 1.
b+ 6−x
b+ 6−x

Nên ta có lời giải sau.
Phương trình đã cho tương đương

√
√
( 3x + 1 − 4) + (1 − 6 − x) + 3x2 − 14x − 5 = 0
3x + 1 − 14
1−6+x
√
⇔√
+ (3x + 1)(x − 5) = 0
+
3x + 1 + 4 1 + 6 − x
1

Giải phương trình
x2 + 12 + 5 = 3x +

Giải. Phương trình đã cho tương đương

x2 + 5.

√
√
( x2 + 12 − 4) = 3(x − 2) + ( x2 + 5 − 3)
14


Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

x2 + 12 − 16
x2 + 5 − 9
⇔√
= 3(x − 2) + √
x2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
(x − 2)(x + 2)
(x − 2)(x + 2)
= 3(x − 2) + √
⇔ √
x2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
x+2
x+2
⇔ (x − 2) √


= 3 vô nghiệm.

(2.1)

Vì từ phương trình đã cho ta có
x2 + 12 −

x2 + 5 = 3x − 5.

Vế trái của (2.2) >0. Suy ra
3x − 5 > 0 ⇔ x >

5
⇔
3

x+2>0
1
1
√
−√
< 0.
x2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3

Suy ra, vế trái của (2.1) < 0 ⇒ (2.1) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 2.9. (Đề thi Đại học Khối A, năm 2007)
Giải phương trình

√ − 2 = 0.
2x − 3 + x
√
√
3
3
1
Ta có x ≥ , suy ra 2x − 3 + x ≥ > 1 ⇔ √
√ < 1.
2
2
2x − 3 + x
1
Suy ra √
√ − 2 = 0 vô nghiệm.
2x − 3 + x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Giải. Điều kiện x ≥ . Phương trình đã cho tương đương

15

(2.2)


Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Ví dụ 2.10. Giải phương trình
√
√

x=3
1
1
⇔
√
√
√
−
=0
3
3
12 − x + 3
( x + 24)2 + 3 x + 24 + 9
x=3
√
√
√
⇔ √
12 − x + 3 x + 24 − ( 3 x + 24)2 − 4 3 x + 24 − 6 = 0
x√= 3
√
⇔
( 3 x + 24)2 + 4 3 x + 24 − 6 = 0



x
x = 3 (thỏa mãn)
√= 3


1+
2

2(4 − x2 ) + x

√
4 2
 x = 3√

4 2
⇔
 x=−
3
2 2(4 − x2 ) + x + 8 = 0.
Ta có −2 ≤ x ≤ 2, suy ra 2 2(4 − x2 ) + x + 8√> 0.
4 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =
.
3



16

=0


Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Ví dụ 2.12. Giải phương trình

+√
+ (x + 2) = 0
3 − x + |x + 1|
2 + x + |x|
⇔ −x2 + x + 2 = 0
x = −1 (thỏa mãn)
⇔
x = 2 (thỏa mãn).
1
1
+√
+ (x + 2) > 0.
Do ∀x ∈ [−2; 3] nên √
3 − x + |x + 1|
2 + x + |x|
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = −1, x = 2.

Ví dụ 2.13. (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng 4 năm 2015)
Giải phương trình
√

3x + 1 +

√
5x + 4 = 3x2 − x + 3.

−1
. Ta thấy x = 0, x = 1 la nghiệm của phương trình trên.
3
Mà x = 0, x = 1 la nghiệm của đa thức x2 − x = 0 hoặc −x2 + x = 0.

5x + 4 − (cx + d)2
5x + 4 − (cx + d) = √
, ta tìm được cx + d = x + 2.
5x + 4 + (cx + d)
17


Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Nên ta có lời giải sau.
√

√
3x + 1 + 5x + 4 = 3x2 − x + 3
√
√
⇔
3x + 1 − (x + 1)] + [ 5x + 4 − (x + 2) = 3(x − 1)x
−x2 + x
−x2 + x
⇔√
+√
= 3(x2 − x)
3x + 1 + (x + 1)
5x + 4 + (x + 2)
1x
1
+√
+3
⇔ (−x2 + x) √

⇔ x2 − 2x + 3 − 2 =
x+1
x2 − 2x − 1
x2 − 2x − 1
=
⇔√
x+1
x2 − 2x + 3 + 2
1
1
√
⇔ x2 − 2x − 1
−
=0
2
x − 2x + 3 + 2 x + 1
x2 − 2x − 1 = 0
1
1
⇔
√
=0
−
2
x − 2x
√+ 3 + 2 x + 1
x = 1 ± 2 (thỏa mãn)
⇔ √ 2
x − 2x + 3 + 2 = x + 1 (vô nghiệm ).
√

x2 − 2x + 3 − α2 = x2 − αx + (1 − α) ⇔ α = 2.
18


Chương 2. Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Ví dụ 2.15. (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng 4 năm 2015)
Giải phương trình
2x2 − x − 3 =

√

2 − x.

Giải. Điều kiện x ≤ 2. Phương trình đã cho tương đương

√
2 x2 − x − 1 + x − 1 − 2 − x = 0
x2 − x − 1
√
⇔ 2 x2 − x − 1 +
=0
x−1+ 2−x
1
√
⇔ (x2 − x − 1) 1 +
=0
x − 1 + √2 − x
1± 5
(thỏa mãn).

Vậy ta có
√

2 − x − (ax + b)2
2 − x − (ax + b) = √
.
2 − x + (ax + b)

Sau khi nhân liên hợp xong xuất hiện −ax2 nên ta sẽ cho
2 − x − (ax + b)2 = −x2 + x + 1
⇔ (ax + b)2 = x2 − 2x + 1
⇔ ax + b = x + 1.

Như vậy ta phải thêm đại lượng x + 1 vào phương trình đã cho.
Ví dụ 2.16. Giải phương trình
3x2 − 6x − 5 =

(2 − x)5 +

√
3−2 6
Giải. Điều kiện x ≤
.
3
19

√
2 − x 2x2 − x − 10 .



Phương trình đã cho tương đương
√

√
3x2 − 6x − 5 = 2 − x 3x2 − 5x − 6
√
√
√
⇔ 3x2 − 6x − 5 − 2 − x = 2 − x 3x2 − 5x − 7
√
3x2 − 5x − 7
⇔√
= 2 − x 3x2 − 5x − 7
√
3x2 − 6x − 5 + 2 − x
3x2 − 5x − 7 = 0
√
1
⇔ √
= 2 − x (vô nghiệm)
√
2
 3x − 6x
√−5+ 2−x
5 − 109
(thỏa mãn)
 x=
6
√
⇔

Bước 2. Chuyển phương trình ban đầu về phương trình (hệ phương trình) theo
ẩn phụ vừa đặt và giải phương trình (hệ phương trình ) này.
Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì những phương trình thu được là những
phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải.
Bước 3. Giải phương trình (hệ phương trình) với ẩn phụ đã biết để xác định
nghiệm của phương trình đã cho.
2.3.1

Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới

Phương pháp này sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành
một phương trình với ẩn phụ mới. Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp.
• Nếu bài toán có chứa
⇒ f (x) =

f (x) và f (x) có thể đặt

f (x) = t; t ≥ 0

t2 .

• Nếu bài toàn có chứa

Có thể đặt

f (x),

g(x) và

f (x).g(x) = c với c là hằng số.

v
v
u
Đặt t =
⇒ at2 − ct + b = 0.
v

Ví dụ 2.17. (Tuyển sinh lớp 10 Phổ thông Năng Khiếu ĐHKHTN-ĐHQGHCM,
năm học 2010-1011)
Giải phương trình
(2x − 1)2 = 12

Giải.Điều kiện

x2 − x − 2 + 1.

x≥2
x ≤ −1

Khi đó, ta có
(2x − 1)2 = 12

x2 − x − 2 + 1
√
⇔ 4x2 − 4x + 1 = 12 x2 − x − 2 + 1
⇔ x2 − x = 3
21

x2 − x − 2


 − x − 2√
1 + 13
(thỏa mãn)
x =
2√
⇔
1 − 13
x=
(thỏa mãn).
2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
x = 3; x = 2; x =

√

1+

13

2

;x =

1−

√
2

13

1
1
=3+
x
x
x−

1
= 3.
x

1
1
x − , t ≥ 0 ⇒ t2 = x − .
x
x
2
Suy ra, (2.5) ⇔ t + 2t − 3 = 0
t = 1 (thỏa mãn)
⇔
t = −3 (loại).

Đặt t =

Với t = 1, suy ra

x−

1
1


Ví dụ 2.19. Giải phương trình
x3 + 8 = 3(x2 − x + 6).

10

Giải. Điều kiện x ≥ −2. Phương trình đã cho tương đương
10 (x + 2)(x2 − 2x + 4) = 3(x + 2) + 3(x2 − 2x + 4)
x+2
3(x + 2)
⇔ 2
+ 3 = 10
.
2
x − 2x + 4
x − 2x + 4
x+2
, t ≥ 0.
Đặt t =
2
x − 2x + 4
Khi đó, phương trình trở thành 3t2 − 10t + 3 = 0
t=3
1
⇔
t= .
3
x+2
TH1. t = 3, suy ra
=3

.
2
2

Ví dụ 2.20. (Thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Bắc Giang, năm học 2007)
Giải phương trình
√

x+1+

√

4−x+

(x + 1)(4 − x) = 5.

Giải. Điều kiện −1 ≤ x ≤ 4.
√
√
Đặt t = x + 1 + 4 − x, t > 0.
⇔ t2 = 5 + 2

(x + 1)(4 − x)
t2 − 5
⇔ (x + 1)(4 − x) =
2
t2 − 5
Suy ra, (2.6) ⇔ t +
=5
2