VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
PHẦN ÔN TẬP
I – CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
x ' .x 1 u ' .u 1.u '
1
2 x
1
2
x
x
u'
2 u
u'
2
u
x '
u '
1 '
x
1 '
2
cos x
cos2 u
1
u'
cot x '
cot u ' 2
2
sin x
sin u
Chuyên Đề
e ' u '.e
a ' a . ln a a ' u '.a . ln a
ex ' ex
'
1
x
1
ln x '
x
2
ln x '
Hàm số y f x, m đồng biến trên y ' f '(x , m ) 0, x min y ' 0
x
Hàm số y f x, m nghịch biến trên y ' f '(x, m ) 0, x max y ' 0
x
Hàm số đồng biến trên thì nó phải xác định trên .
Phương pháp giải
Loại 1: Nếu y ' f '(x , m ) ax 2 bx c thì:
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
1
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Để hàm số y f x, m đồng biến (tăng) trên
a 0
y ' f '(x , m ) 0; x
0
Để hàm số y f x, m nghịch biến (giảm) trên
a 0
y ' f '(x , m ) 0; x
0
trong bảng ứng với 2 .
3
2
Loại 4: Tìm m để hàm số y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) e .
Ta giải như sau:
Bước 1: Tính y ' f '(x ) .
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
a 0
1 .
0
2
Bước 3: Biến đổi x1 x 2 e thành x1 x 2 4x 1.x 2 e 2 2 .
Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m .
Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Một số lưu ý khi giải toán
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
2
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Bước 1: Xét tính đơn điệu của hàm số h x f x g x .
h x 1 h x 2 x( 1h(
biến)
x )xđồng
2
Bước 2: Chứng minh h(x ) là hàm đơn điệu
h x 1 h x 2 x( 1h(
biến)
x )xnghịch
2
Bài 2: Cực trị của hàm số
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
3
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Tập hợp các tâm đường tròn (quỹ tích tâm I của đường tròn)
Điểm cực
đại
Bước 3. Khử m giữa x và y ta được phương trình F x; y 0 .
x
Bước 4. Dựa vào điều kiện của m ở bước 1 để giới hạn miền của x hoặc y.
Bước 5. Phương trình tập hợp điểm là F x; y 0 cùng với phần giới hạn ở bước 4.
Lý thuyết giáo khoa
Lưu ý: Để tìm tập hợp điểm là đường tròn, ta cũng thực hiện tương tự như các
bước trên.
Khái niệm cực trị của hàm số: Giả sử hàm số y f (x ) xác định trên
tập D D và xo D
Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)
x o là điểm cực đại của hàm số y f (x ) nếu a,b D và xo a,b sao cho
Để biện luận số giao điểm của đường thẳng : Ax By C 0 và đường tròn
C : x2 y2 2ax 2by c 0, ta có thể thực hiện như sau
f (x ) f xo , x a;b \ xo . Khi đó: f xo được gọi là giá trị cực đại của y f (x )
f '(x )
xo
–
0
f(a)
y f (x )
x
+ d I; R tiếp xúc với C .
+ d I; R và C không có điểm chung.
Phương pháp 2. Toạ độ giao điểm (nếu có) của và C là nghiệm
I
R của hệ
phương trình:
Ax By C 0
2
x y2 2ax 2by c 0
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
45
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
f/ Dạng 6. C đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm B B
Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
'
Bán kính I d .
g/ Dạng 7. C đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2
1
I
y '(xo ) 0
y ''(x o ) 0
Đối với hàm bậc 3 thì y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để hàm có
cực trị.
Không cần xét hàm số y f (x ) có hay không có đạo hàm tại điểm x x o nhưng không
thể bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục tại điểm xo ”.
Nếu x o là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị bằng cách thay x o vào
y f (x ) yo f (x o ) hoặc có thể thay x o vào phương trình đường thẳng nối hai điểm
cực trị:
3
2
Hàm bậc ba: y f x ax bx cx d
d
i/ Dạng 9. C đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp
tam giác)
o Chia f (x ) cho f '(x ) ta được: f (x ) Q(x ).f '(x ) Ax B
Cách 1
Phương trình của C có dạng: x y 2ax 2by c 0
2
y1 f x 1 Ax 1 B
o Khi đó, giả sử x1, y1 , x 2 , y2 là các điểm cực trị thì:
y2 f x 2 Ax 2 B
Các điểm x1, y1 , x 2, y2 nằm trên đường thẳng y Ax B là đường thẳng nối
.
P ' xo
o Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
Q ' x 2ax b 2a
b
y
.x .
P' x
d
d
d
F
(Lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị)
I
E
Hàm số phân thức y f (x )
o Giả sử xo , yo là điểm cực trị thì yo
j/ Dạng 10. C nội tiếp tam giác ABCA
B
f(a)
A
1 .
2
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
f(x o)
cực đại
y f (x )
I
Viết phương trình đường thẳng đi qua B và .
d I, d I,
1
2
Tâm I của C thoả mãn:
d I, 1 IA
Bán kính I d .
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
f '(x )
+
Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a 0 .
Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a 0 .
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
ĐƯỜNG TRÒN
Xác định tâm và bán kính đường tròn
Nếu phương trình đường tròn có dạng C : x a y b R 2 thì C có tâm là
2
Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x 0
2
I a;b và bán kính bằng R.
0
a.b 0
y 0 0
b 0
Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi a 0 (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại).
Hàm số chỉ có cực đại khi a 0 (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu).
Đối với hàm bậc bốn dạng: y ax 4 bx 3 cx 2 d
x0
Ta có: y ' 4ax 3 3bx 2 2cx y ' 0
b ...
Lưu ý
Nếu Cm : x 2 y2 2ax 2by c 0 là phương trình đường tròn nếu thỏa mãn điều
kiện: a 2 b2 c 0 .
Điều kiện đường thẳng tiếp xúc với đường thẳng Δ là d I, R .
Lập phương trình đường tròn
Để lập phương trình đường tròn C ta thường cần phải xác định tâm I a; b và bán
kính R của C . Khi đó phương trình đường tròn C là C : x a y b R 2 .
2
2
a/ Dạng 1. C có tâm I a;b và đi qua điểm A x A ; yA .
I R A
Tâm I a;b .
Một số lưu ý khi giải toán
Bán kính R IA .
b/ Dạng 2. C có tâm I a;b và tiếp xúc với đường thẳng Δ
Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường là nghiệm của phương trình bậc 2. Do đó, ta cần phải nắm vững kiến
thức về phương trình bậc 2 như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc 2 với 1 số bất
C có đường kính AB
I
Tâm I là trung điểm AB.
A
B
R
AB
Bán kính R
.
2
Δ
d/ Dạng 4. C đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳngAΔ
Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
Xác định tâm I d .
Bán kính R IA .
d
I
Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
Trong mặt phẳng Decac Oxy cho:
6
I d
Tâm I của C thoả mãn:
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Các bài toán dựng tam giác
Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam
giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Để giải loại bài toán này ta thường sử
dụng đến các cách dựng tam giác. Ta thường gặp một số loại cơ bản sau đây
o
C'
Dựng AB qua B và vuông góc với CC.
B
Dựng AC qua C và vuông góc với BB.
Đường tròn C m : (x a) y b R hay C m : x y 2ax 2by c 0 có tâm là
2
2
2
(khoảng cách giữa hai điểm A, B)
x xA
x xA
Để ba điểm A x A, yA ; B x B , yB và C xC , yC thẳng hàng B
1
abc
p p a p b p c a.ha b.hb c.hc
pr
2
2
2
4R
Dựng AB qua A và vuông góc với CC.
A
Dựng AC qua A và vuông góc với BB.
Xác định B AB BB ', C AC CC ' .
N
M
c/ Loại 3. Dựng ΔABC, khi biết đỉnh A, 2 đường thẳng chứa 2
đường trung tuyến BM, CN.
B
G
B
Để A và B cùng nằm trong đường tròn hay cùng nằm ngoài đường tròn
C
Xác định trọng tâm G BM CN .
Xác định A đối xứng với A qua G ( BA // CN, CA // BM).
Diện tích ΔABC: S ABC
b/ Loại 2. Dựng ΔABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường
cao BB, CC.
Xác định B BM d B , C CN dC .
2
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
I a,b và bán kính là R a 2 b 2 c .
2
2
Véctơ AB x B x A; yB yA Độ dài đoạn thẳng AB x B x A y B yA
d2
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau
+ Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Dạng toá: Tìm GTLN và GTNN dựa vào định nghĩa và tính chất
+ Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.
Phương pháp giải
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
42
Cách 1: Dùng bảng biến thiên để tìm max – min. Phương pháp này thường dùng cho
bài toán tìm GTLN và GTNN trên một khoảng.
7
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Bước 1: Tính f ' x .
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Bước 4: So sánh các giá trị vừa tính được và kết luận
max f x max f a , f b , f x , f x ,..., f x
1 2 n
[a,b ]
.
min f x min f a , f b , f x , f x ,..., f x
1
2
n
[a,b ]
A x ; y
x xA
x xA
A
A
Qua
1 t2
Đặt t tan sin x
.
;
cos
x
2
1 t2
1 t2
Thay vào , ta được hàm hữu tỉ đại số dạng: f t
x x u t
o
1
PTTS
d
:
t
Đường thẳng d : Ax By C 0 có phương trình: : Bx Ay D 0 .
at 2 bt c
Bậc hai
2
a ' t b 't c '
Bậc hai
Trong nhiều trường hợp đặc thù, để xác định phương trình đường thẳng chúng ta còn sử dụng:
+ Phương trình chùm đường thẳng.
+ Phương trình quỹ tích.
Lưu ý 3: Khi bài toán yêu cầu tìm max – min nhưng không nói trên tập nào thì ta hiểu tìm max – min trên tập
xác định D của hàm số.
Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của 1 đường thẳng.
Lưu ý 4: Để tìm tham số m, n của hàm số f (x , m, n ) với x là biến số sao cho f (x , m, n ) có
Để : Bx Ay D 0 là một phương trình đường thẳng thì A2 B2 0 .
max f (x , m, n ) a và min f (x , m, n ) b . Ta làm như sau:
Một số bài toán thường gặp khác
Bước 1: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D mà đề cho hoặc ta tìm.
a/ Tìm điểm cố định của họ đường cong (thẳng) Cm : y f x; m .
+ Nếu được biến đổi về 1 thì tọa độ thỏa
.
B 0
Bước 2: Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng b khi và chỉ khi
f (x , m, n ) b
.
. Tương tự ta được phương trình (2).
A 0
+ Nếu được biến đổi về 2 thì tọa độ thỏa B 0 .
C 0
x 0 D : f (xo , m, n ) b có nghiêm x o
1
Bước 3: Giải hệ phương trình m, n cần tìm.
2
Lưu ý 5: Ta có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị (đk có nghiệm)
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
8
n1
n2
n1, n2
khi n
, n2 900
1
Lúc đó: 1, 2
và
0
1800 n
,
n
khi
n
,
n
90
1
2
1
2
x D
Bước 2: Tùy theo điều kiện của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng.
Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m yo M 3 . Vì yo là
min f (x ) m
một giá trị bất kỳ của f (x ) nên từ 3 ta suy ra được: D
max f (x ) M
D
Δ1
Δ2
Lưu ý
+ Nếu 1 2 n1 n2 n1.n2 0 a1a 2 b1b2 0 .
Bài toán 2. Giao điểm của hai đồ thị
Lưu ý 2: Định lí Viét đối với phương trình bậc ba: ax 3 bx 2 cx d 0, a 0
Nếu phương trình bậc ba dạng ax 3 bx 2 cx d 0, a 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x 2, x 3
Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm M x M ; yM , N x N ; y N .
x 1 x 2 x 3 b
a
c
thì x1x 2 x 2x 3 x 3x1
a
x 1x 2x 3 d
a
+ M, N nằm cùng phía đối với ax M by M cax N by N c 0 .
+ M, N nằm khác phía đối với ax M byM cax N byN c 0 .
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng 1 : a1x b1y c1 0 và 2 : a2 x b2 y c2 0 cắt nhau.
a 12 b12
a 2 x b2 y c 2
a 22 b22
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
2
x 12 x 22 x 32 x1 x 2 x 3 2 x1x 2 x 2x 3 x 3x1
Lưu ý 4: Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba dạng y f x ax 3 bx 2 cx d C cắt
trục hoành Ox tại n điểm phân biệt. (Phương pháp cực trị).
Lúc đó, phương trình hoành độ giao điểm: ax 3 bx 2 cx d 0
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a 1x b1y c1
Để C 1 cắt C 2 tại n điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm [phương trình () ] có n nghiệm
phân biệt.
Lưu ý 1: Nếu một trong hai đồ thị trên có dạng hữu tỉ và có TXĐ D \ . Khi đó,
để C1 cắt C2 tại n điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm [phương trình () ]
có n nghiệm phân biệt .
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng:
d:
Cho C1 : y f (x ), C 2 : y g(x )
Phương trình hoành độ giao điểm của C 1 và C 2 là f (x ) g (x ) ()
y f x
yCÐ .yCT 0
Để C cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương có 3 nghiệm dương phân biệt
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Nhận xét
VTPT n a; b
+ Nếu có phương trình: ax by c 0 thì có VTCP u b; a .
VTCP u b; a
y f x
y .y 0
CÐ CT
xCÐ 0, xCT 0
a.f 0 0 hay a.d 0
Để C cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm có 3 nghiệm âm phân biệt
+ Nếu đi qua M o x o ; y o và có VTPT n a; b thì phương trình của là
2 có hai nghiệm phân biệt dương 0 t1 t2
S 0 tham số 3
P 0
Gọi t1, t2 là hai nghiệm phân biệt của 2 . Lúc đó, 4 nghiệm phân biệt của 1 là:
Phương trình đường
thẳng
Tính chất đường thẳng
c0
ax by 0
đi qua gốc toạ độ O
a0
by c 0
// Ox hoặc Ox
b0
ax c 0
b2
c2
b1c2 b2 c1, Dy
+ 1 cắt 2 hệ I có một nghiệm D 0
+
TIẾP TUYẾN
y k . x x y với k
Các hệ
số
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
t2 , t1 , t1 , t2 (nên sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn).
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
1 // 2
a2
b1
b2
c1
c2
.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M xo , yo :
Phương trình tiếp tuyến có dạng Pttt :
tt
o
o
tt
f ' x o .
u
song song hoặc trùng với Δ. Kí hiệu VTCP u .
Δ
u
Nhận xét
+ Nếu u là một VTCP của thì ku k 0 cũng là một VTCP của .
o Nếu Pttt : y ax b ktt
Nếu M x , y C Ox y
1
1
f ' x o x o yo .
k
a
0 x f ' x .
Nếu Pttt tạo với chiều dương Ox một góc thì k f ' x tan x
o Nếu M xo , yo C Oy x o 0 yo f ' x o .
o
o
o
o
o
o
o
o
Bước 1: Gọi Pttt có dạng Pttt : y ax m 1
y
C
Bước 2: Áp dụng điều kiện tiếp xúc:
ytt
a
y 'C y 'tt
Bước 3: Do Pttt đi qua M nên ta thay tọa độ M vào 1 m
Nhận xét
x x tu
o
1
( t là tham số) và t .
:
y yo tu2
u
Bước 2: Tính y ' f ' x . Tìm y , f ' x theo x và thay y , f ' x vào phương trình ta
được phương trình .
Bước 3: Do Pttt đi qua điểm M nên thay tọa độ M vào phương trình . Giải phương trình này
ta tìm được x y f ' x .
Cách 2:
Cho đường thẳng đi qua M o x o ; yo và có VTCP u u1; u2 . Phương trình tham số của
● k
ktt a
tan xo yo .
1 ktt .a
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C , biết tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước:
xAv
● k tan với
.
90o
o
Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC
Δ
1. Kiến thức cơ bản
Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý
với u1 0 .
x xo
y yo
u1
u2
u1 0, u2 0 .
n số a
x
y
y
a ax
ax
1
a x y a n n
y
a
a
0
u x 1 x 0 1 , u x
x 0
a
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
a
m
n am
11
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Bài 2: LOGARIT
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Nếu P 0 Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d.
Nếu P 0 Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d.
1. Kiến thức cơ bản
Tìm điểm M x, y d : Ax By C 0 để MA MB
a/ Định nghĩa
b/ Tính chất
Dựng A' là điểm đối xứng của điểm A qua d, khi đó:
Cho a 0, a 1 và b, c 0 . Khi đó:
Nếu 0 a 1 thì
Nếu a 1 thì loga b loga c b c
MA MB AB MA' MB AB .
MA MB
loga b loga c b c
loga 1 0
loga a 1
loga a b b
a log b b
max
AB M M o d A ' B .
Gọi H x H ; y H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.
c
loga b 2 2 loga b
d/ Các công thức đổi cơ số
Cho a, b, c 0 và a, b 1 . Ta có:
loga c
loga b. logb c loga c
loga b
logb c
loga b
logab c
1
. loga b , 0
loga b
ln b
1
, loga b
logb a
ln a
1
x
Đạo hàm hàm số hợp
a a . ln u.u '
'
u .u 1.u '
u
'
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
u
12
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
37
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Để xác định tâm I và bán kính đường tròn R ngoại tiếp ΔABC
ln x x , x 0
x
+ Để D là chân đường phân giác trong của ΔABC
AB
BD
.CD .
AC
'
loga u
1
'
n
x
'
MA MB
min
b/ Dạng toán 2. Véctơ cùng phương (thẳng hàng) – Tìm điểm M d để
.
MA MB max
Để A x A ; yA , B x B ; y B , C x C ; y C thẳng hàng AB, AC cùng phương
x xA
y yA
.
AB k.AC B
B
xC xA
yC y A
Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a
Với a 0, a 1 thì a
f x
a
g x
f x
+ Trường hợp 1. Hai điểm A, B nằm khác bên so với đường thẳng d.
f (x )
t a f (x ), t 0
0
P t 0
Cách 1. Sử dụng véctơ cùng phương
Dạng 2: .a 2 f (x ) ab
A
C
Gọi M x o ; x o d : Ax By C 0 .
B
B
min
'
f (x )
a
Chia hai vế cho b 2 f (x ) , rồi đặt ẩn phụ t
b
M M o M, A, B thẳng hàng M .
0 (chia cơ số lớn nhất).
1
t
Dạng 3: a f (x ) b f (x ) m với a.b 1 . Đặt t a f (x ) b f (x ) .
+ Trường hợp 2. Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d
Dựng A' đối xứng với A qua d A ' .
ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
Trong ΔAMB, ta có:
MA MB AB MA ' MB AB .
Do đó, MA MB
min
Xét phương trình: f x g x
Lưu ý:
36
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
13
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Hàm số bậc nhất: y ax b , a 0
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Hàm số mũ: y a
Đồng biến khi: a 0 .
Nghịch biến khi : a 0 .
x
PT - BPT MŨ VÀ LOGARIT CÁCH GIẢI GIỐNG NHAU NHÉ
c
b2 c2 a 2
2bc
2
a
c2 b2
b 2 a 2 c 2 2ac cos B cos B
2ac
2
a b2 c2
c 2 a 2 b 2 2ab cosC cos C
2ab
a 2 b 2 c 2 2bc cos A cos A
b
a
B
C
R a
3
; yI
2
yA y B
M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ O M3 x M ; y M .
b) Định lí hàm số sin
A
c
; yI
a b
1
1
Điều kiện để a a1 ; a 2 , b b1; b2 bằng nhau
(hoành hoành, tung tung)
a 2 b2
x x
x xA
y yA
A
Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB k.AC B
với C
.
(hoành hoành ; tung tung) một véctơ.
k.a k.a1 ; ka 2 với k .
a.b a1b1 a2b2 .
(hoành nhân hoành tung nhân tung) một số.
a
a
Để a a1;a 2 , b b1;b2 cùng phương a kb 1 2 a 1b2 a 2 b1 0 .
b1
b2
Điều kiện để a a1;a 2 , b b1;b2 vuông góc nhau a.b 0 a1b1 a 2 b2 0 .
HÌNH HỌC PHẲNG
B
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A x A ; yA , B x B ; yB , C xC ; yC và hai véctơ
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lúc đó: x I
ÔN TẬP
Bước 1. Giả sử M x; y .
Bước 2. Tọa độ hóa các véctơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về khoảng cách giữa
hai điểm, để chuyển đẳng thức về biểu thức đại số.
c) Công thức tính diện tích của tam giác
1
1
1
S ABC a.ha b.hb c.hc
2
2
2
1
1
1
c
b
S ABC ab sin C bc sin A ac sin B
2
2
2
abc
- Sthpt
, Gia
S ABC p.r
CẩmBNang ôna thi 9 điểm
C Toán
ABC Quốc
4R
2
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
xy y 2 .
…………………………………………………………
3/
f x; y 0
1
2
Hệ phương trình đối xứng loại II: I
f y; x 0
d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
A
AB 2 AC 2 BC 2
f x; y 0
3
1
Trừ 1 và 2 vế theo vế ta được: I
3/ Định lí Talet
x y
Biến đổi 3 về phương trình tích: 3 x y .g x, y 0
.
g x, y 0
M
f x, y 0
f x, y 0
N
B
S AMN
S ABC
(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng
C
Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ I .
4/
Hệ phương trình đẳng cấp: I
4/ Diện tích của đa giác
a x2 b xy c y 2 d
1
1
1
1
.
2
2
a 2 x b2 xy c2 y d2
. 3
h đều (cạnh)
2
A
c/ Diện tích hình vuông và hình chữ
nhật
A
Ở trên là hệ đẳng cấp bậc hai, nếu hệ đẳng cấp bậc ba hoặc bốn,… ta cũng giải tương tự.
Chuyên Đề
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG & ỨNG DỤNG
Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
A – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM
Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 .
Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.
Tọa độ Oxy
B
H
2
S ABC a 3
4
a 3
h
2
S HV a 2
AC BD a 2
D
S
C
AD BC .AH
2
15
Trong đó: với fm x; y , fn x; y , fk x; y là các biểu thức đẳng cấp bậc m, n, k thỏa mãn
B
Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại
trung điểm của mỗi đường.
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
m n k.
1
AC .BD
2
Phương pháp giải:
D
f x; y a
f x; y a
1 .
3
x y3 xy2 1
x y3 xy2 1
3
3
2
x y xy 1
f x, y 0
2/ Hệ phương trình đối xứng loại I:
I với f x, y f y, x và
g x, y 0
g x, y g y, x .
Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương
trình cũng không thay đổi.
Phương pháp giải:
S x y
Biến đổi về tổng – tích và đặt
3xy x y S3 3SP .
● x 2 y2 x y
● x3 y3 x y
x y
2
●
2
3
x y 4xy S2 4P .
2
● x 4 y 4 x2 y2
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
16
2
Chứng minh d và () cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
2/ Chứng minh mp() // mp
Chứng minh mp() chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp .
Sử dụng bất đẳng thức.
Chứng minh mp() và mp cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.
Sử dụng số phức và lượng giác.
3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
a // mp()
1/
Chứng minh:
mp // mp
Phương pháp giải:
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng
Kiểm tra xem y 0 x .... có phải là nghiệm không, nếu là nghiệm thì nhận nghiệm này.
P
thứ 3:
P
d
Với y 0, đặt x ty (hoặc x 0, đặt y tx ). Lúc đó:
a y2 t2 b y2 c y2 t d ty e y 0
a1 y2 t2 b1 y2 c1 y2 t d1 ty e1 y 0
2
2
2
2
2
a 2 t2 b2 c2 t
d P
Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến, cũng
vuông góc với mặt phẳng kia.
y2 a t2 b c t y d t e 0
1 1
1
1
2 1 2
y a t b c t y d t e 0
2
2
2
1
1
6/ Chứng minh mp mp
d
Chứng minh
mp mp (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia)
d
Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 .
32
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
17
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
1/ Góc giữa hai đường thẳng
a'
a
d, (d, d ')
(với d ' là hình chiếu vuông góc của d lên mp() ).
d'
3/ Góc giữa hai mp và mp
Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u ,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
u
); (a
, b)
(
a
3
B 0
A B A B .
A B
● Thay
Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.
d'
Dạng 2.
M
3
1
A3B 3C
Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
3
A3B
3
C A B 3 3 AB
3
A3B C
2
d
Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ,
PHẦN 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
lần lượt chứa d và d ' .
Một số ý tưởng giải hệ phương trình:
d'
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
18
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
31
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
1 cos 2X
1 cos 2X
4
a.sin X b.sin X cos X c.sin X cos X d.sin X cos X e.cos X
2
3
Nhận xét:
Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với
đáy các góc bằng nhau.
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
Phương pháp: Chia hai vế của 2 cho cos 3 X (hay sin 3 X ) hoặc chia hai vế của 3
a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S .ABC . Khi đó:
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ
Đáy ABC là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
SBO
SCO
.
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
2
A B
.
A B
B 0
A B A 0 .
A B2
1
3
Tính chất: AO AH , OH AH , AH
A
C
O
AB 3
.
2
H
C
Lưu ý
Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện theo
các bước:
Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa.
Bước 2.
Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm.
2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc
với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của
tam giác chứa trong mặt bên vuông góc
Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP
1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh
bên vuông góc với đáy.
Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức.
2/
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến
của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.
4/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng
nối đỉnh và tâm của đáy.
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
a 2 b2 0 , ta được:
a
b
c
2 2 sin x 2 2 cos x 2 2 .
a b
a b
a b
a
b
Đặt sin
; cos
, 0;2 . Phương trình trở thành:
2
2
2
2
2
2
thì ghi nhận nghiệm này.
x
x
Với cos 0 k x k2 , ta đặt:
2
2
2
Kiểm tra xem cos
t tan
x
2t
1 t2
sin x
,
cos
x
. Thay vào phương trình, ta được:
2
1 t2
1 t2
(b c)t
.
Vì x k2 b c 0 nên có nghiệm khi: ' a
của phương trình 1 hay không ? Nếu phải thì ghi nhận nghiệm này.
Bước 1. Kiểm tra xem X
cos X 0
k, k 2
Hay X k . Chia hai vế của 1 cho
sin x 1
2
2
2
cos X (hay sin X ), ta được:
sin2 X
sin X cos X
cos2 X
d
1 a. cos2 X b. cos2 X c. cos2 X cos2 X
a tan 2 X b tan X c d 1 tan 2 X
Bước 2. Khi X
a d tan2 X b tan X c d 0 .
Bước 3: Đặt t tan X để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.
Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
k , (k )
2
x k , k
x
S
2
Nếu đặt t sin x hoặc t sin x thì điều kiện là 0 t 1
1
3
1/ Thể tích khối chóp: V B.h
(tương tự cho cos )
D
A
B : Diện tích mặt đáy.
● sin 3 x cos3 x sin x cos x 1 sin x cos x
●
●
●
●
sin x cos x sin 2 x cos2 x
2
tan x cot x
cos x sin x
sin x cos x
sin 2x
2
2
cos x sin x
cos x sin x 2 cos 2x
cot x tan x
2 cot x
sin x cos x
sin x cos x
sin 2x
1
1 1
4
2
2
● cos x sin x cos 2x sin x cos x sin x cos x
6
6
4
4
2
Thể tích khối lập phương:
2
A
B
C
B
A
C
S
x
1
2
cos x
● sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
● 1 tan x tan
2
4/ Tỉ số thể tích:
2
cos x
cos x
1 sin x
1 sin x
●
V
Dạng: a sin x b cos x c
B’
A’
, a, b \ 0
h
B B ' BB '
3
Với B, B ', h là diện tích hai đáy và
chiều cao.
Phương pháp 1:
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2 b2 c2
4 phương pháp thường dùng tính thể tích
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
28
● sin a sin b 2 sin
.cos
2
2
sin a b
● tan a tan b
cos a.cos b
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
ab
ab
.sin
2
2
ab
ab
● sin a sin b 2 cos
.sin
2
2
sin a b
● tan a tan b
cos a.cos b
● cos a cos b 2 cos
● cos a cos b 2 sin
Công thức biến đổi tích thành tổng
3
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
1
2
● cos4 x sin4 x 1 sin2 2x
4
3 1 cos 4x
4
0.dx C .
dx x C .
Ðk : u, v k
2
Đặc biệt:
cot u cot v u v k
Ðk : u, v k
4
5 3 cos4x
8
Đặc biệt:
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
cosx .dx sin x C .
Dạng
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
4
A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng:
1. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
4
SA ' SB ' SC '
.
.
.
SA SB SC
Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm
A A ', B B ',C C ' .
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song,
hình chiếu,…
n
PP Đổi biến, đặt ax b t ( n là bội số chung lớn nhất của s1, s2,..., sk ).
Trường hợp 6:
R
PP Đổi biến, đặt t x a x b .
dx
x a x b
1
Lưu ý: Với tích phân - phương pháp giống nguyên hàm nhưng các em chú ý sự thay
đổi của cận tích phân nhé
Một số cách đặt ẩn phụ thông thường đối với hàm lượng giác:
o
o
e
VD :
(tan
cos x
sin x
1
cos2 x
1 cos2x
2
● sin 3x 3 sin x 4 sin 3 x
● sin2 x
tan a tan b
1 tan a. tan b
1 tan x
x
1 tan x
● tan a b
2
.dx 1 cot2 x .dx cot x C .
dx
1
ax b a ln ax b C ,
Một số công thức mở rộng
dx
2
cos x
cos x
cos x
2
sin 4 x sin 3 x sin2 x .dx
1
arctan C .
a
a
1 x a
ln
2a x a
x 2 a2
dx
C .
1
1
dx C .
x
x
2
cos2 x sin2 x
● cos 2x
2
2
2 cos x 1 1 2 sin x
1 cos2x
● cos2 x
2
● cos 3x 4 cos3 x 3 cos x
Tích của đa thức hoặc lũy thừa Khai triễn.
Tích các hàm mũ Khai triễn theo công thức mũ.
Chứa căn Chuyển về lũy thừa.
Tích lượng giác bậc một Biến đổi tổng thành tích.
Bậc chẳn của sin x , cos x Dùng công thức hạ bậc.
Bậc tử Bậc mẫu Chia đa
Hàm hữu tỉ (phân thức)
thức.
Bậc tử Bậc mẫu Đồng nhất
thức.
Công thức cộng cung
● sin a b sin a.cos b cos a.sin b
sin x .dx cos x C .
1
Công thức cơ bản
● cot x
.dx
1
● tan x.cot x 1
sin 2x .dx
x
C .
1
x
3
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC
● sin2 x cos2 x 1
1
Tách từ hàm Nhân thêm
và u u x có đạo
Có sẵn
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
udv uv vdu .
phân du ...........dx
Chọn: u .......... Vi
Công thức biến đổi tổng thành tích
dv ........dx Nguyên
ham v ........
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
26
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
23
f x 1 x .1 1 x
x
2
a
2
n
2
.dx . Ta đổi biến, đặt: t x 1x .
dx
, a 0 . Ta tiến hành xét b 2 4ac
bx c
2
b
dx
1
1
+ Nếu 0 thì I 3
là
x xo .dx
a x x x x .dx
1
du ...........dx
đồng nhất thức kết quả, với x 1, x 2 là hai nghiệm
2
2
phân biệt của phương trình ax bx c 0 .
dv ........dx Nguyên
ham v ........
+ Nếu 0 ta biến đổi mẫu số ax 2 bx c a. x b
Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau. (mũ nhân lượng giác, logarit nhân lượng giác, đa
thức nhân mũ,…).
b
bx c
A
NGUYÊN HÀM - HÀM SỐ HỮU TỶ
HÀM SỐ VÔ TỶ
Trong đó: P x và Q x là các đa thức (không chứa căn).
Nếu bậc của tử P x bậc của mẫu Q x . Chẳng hạn như
Nếu gặp nguyên hàm chứa căn thức dạng
2
x 3x x 2
dx . Ta sẽ tiến hành chia đa
x2
thức, rồi dùng công thức trong bảng nguyên hàm để tính.
A
Bx C
, với b 2 4ac 0
2
x m
ax bx c
A
B
C
D
2
x a x a
x b x b 2
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
f u x .v x dx
PP 90% đặt t u x . Trừ
sáu trường hợp sau:
của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn như:
I 3 khi 0
Tìm A : Đổi biến đặt t ax 2 bx c
Tìm I 3 : Tính như loại 3 khi 0
P x
.dx .
Q x
3
2
đặt: x
Cách chọn: u và dv “Nhất log - Nhì đa - Tam Lượng - Tứ Mũ”
Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số có dạng
1
dx
PP Đổi biến, đặt x a
t
x a . ax 2 bx c
f x
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
25
Copyright: Tài liệu đại học ©