TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
———————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN BANACH VÀ PHƯƠNG PHÁP
LẶP
Mã số:
Thuộc nhóm ngành: Khoa học tự nhiên

năm 2015


Mục lục
TRANG PHỤ BÌA
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết về điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán học được nhiều
nhà Toán học quan tâm. Trong lý thuyết này, ngoài các định lí tồn tại điểm bất
động, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp các điểm bất động, các
phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng. Người ta đã thấy sự
ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toán học lý thuyết và toán
học ứng dụng, vật lý, tin học và các nghành khoa học khác. Với mục đích tìm hiểu

5. Bố cục đề tài
Chương I: Điểm bất động trong không gian Banach
Chương II:
Phương pháp lặp
Chương III.
Hệ phương trình tuyến tính trên IRn

Chương I: Điểm bất động trong không gian Banach
1. Định nghĩa không gian Banach


Không gian Banach được định nghĩa là các không gian vectơ định chuẩn đầy
đủ. Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ X trên
trường số thực hay số phức với một chuẩn || || sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng
với metric d ( x, y ) = x − y ) đều hội tụ trong X.
2. Điểm bất động trong không gian Banach
2.1. Định nghĩa
T : M ⊆ X → M trong không gian mêtric (X, d) được gọi là ánh xạ k-co và nếu
với mọi x, y∈ M, cố định k, sao cho 0 < k < 1 thì
• Nếu d ( Tx,Ty ) ≤ kd ( x, y ) đúng với k =l, thì T không giãn.
• Nếu 0 < k < ∞ , T được gọi là liên tục Lipschitz.
• Nếu d ( Tx, Ty ) < d ( x, y ) với mọi x, y∈ M và x ≠ y, T được gọi là co.
Với mọi t hiển nhiên ta có:
k-co → co → không giãn → liên tục Lipschitz
Mỗi không gian Banach ( X ,

)

cũng là không gian mêtric đầy đủ (X, d) với


Và ước lượng độ sai hữu nghiệm

d ( xn+1 , x ) ≤ k ( 1 − k ) d ( xn , xn +1 )
−1

(d) Với mọi n = 0,1,2,….Ta có
d ( xn+1 , x ) ≤ kd ( xn , x )
2.3. Chứng minh định lý điểm bất động trong không gian Banach
(I). (xn) là dãy Cauchy. Từ đó
d ( xn xn +1 ) = d ( Txn−1 ,Txn )
≤ kd ( xn −1 , xn ) ≤ k 2 d ( xn− 2 , xn−1 ) ≤ ...

... ≤ k n d ( x0 , x1 )

Ta có:
d ( xn , xn + m ) ≤ d ( xn , xn +1 ) + d ( xn +1 , xn + 2 ) + ... + d ( xn + m −1 , xn + m )
≤ ( k n + k n+1 + ... + k n + m−1 ) d ( x0 , x1 )
≤ k n ( 1 − k ) d ( x0 , x1 )
−1

Từ đó X đầy đủ, dãy Cauchy hội tụ, nghĩa là x n → x với n → ∞ . Bất đẳng thức

d ( xn , x ) ≤ k n ( 1 − k ) d ( x0 , x1 ) tương tự với m → ∞
−1

(II). Ước lượng độ sai bất đẳng thức d ( xn+1 , x ) ≤ k ( 1 − k ) d ( xn , xn +1 ) khi cho m →
−1

∞ khi đó
d ( xn+1 , xn+ m+1 ) ≤ d ( xn+1 , xn+ 2 ) + ... + d ( xn+ m , xn+ m+1 )

1
x− y ≤ x− y
1+ ξ 2

Trong (iii), M không phải là ánh xạ vào chính nó.

Chương II:
Phương pháp lặp
1. Tốc độ hội tụ và phương pháp Newton’s
- Nếu x∈ ]a,b[ là một nghiệm của phương trình:

1
,
1 + x2


x = F ( x)
- Và giả sử có một dãy lặp đi lặp lại (xn), khi đó:
xn+1 = F ( xn )

Và xn ∈ ]a, b[ với mọi n, xn → x khi n → ∞ .
- Bây giờ giả sử F là khả vi trên [a,b], với:
F '( x) = F ''( x) = ... = F ( m+1) ( x) = 0
- Trong trường hợp này, định lí taylor nói rằng:
m

F ( xn ) − F ( x) = F m (λn ) xn − x / m!, λn ∈ ]a, b[

(1)


trình này ta được phương pháp Newton’n. Đặc trưng của phương pháp
Newton: f(x) hội tụ rất nhanh nếu giá trị ban đầu x 0 nằm trong lân cận của
số không.
- Nhưng ở hình (b) cho ta thấy phương pháp đó là không thay đổi nhưng
không bao giờ hội tụ đến số không, lý do là sự lựa chọn không hợp lý của
giá trị ban đầu.
Nhận xét:
- Vấn đề quan trọng của phương pháp Newton’s là việc viết lại các phương
trình f ( x) = 0 trong dạng tương đương:
x = f ( x) , trong đó F ( x) = x −

f ( x)
f '( x)

- Sau đó phương pháp lặp trở thành xn+1 = xn −

(3)
f ( xn )
f '( xn )

(4)

- Ta có thể thấy f '( xn ) ≠ 0 với mọi n, F '( x) = f ( x). f (x) / ( f '(x)) 2 nếu x là
nghiệm của f ( x) = 0 thì F '( x) = 0 ,Như vậy ta có một phương pháp với m=2
trong (2),ta có hội tụ bậc hai.
a. Ý tưởng
Chọn x0 thuộc khoảng (a;b)
Tiếp tuyến tại A0(x0;f(x0)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x1
Tiếp tuyến tại A1(x1;f(x1)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x2
Tiếp tuyến tại Ak(xk;f(xk)) cắt trục x tại điểm có hoành độ xk+1

F ( xn ) + F '( xn )( x − xn ) = 0
(7)
Với nghiệm x = xn+1, thì ta được:
xn+1 = xn − F '( xn ) −1 F ( xn )
(8)
Cho F là hàm thực, có thể giải thích hình học: thay thế đường cong phù
hợp với F bằng tiếp xúc qua điểm (xn;F(xn)). Nếu ta viết (8) trong dạng:
F '( xn ) xn+1 = F '(x n ) xn − F ( xn )
Thì xn+1 là xác định bằng phương trình tuyến tính (ví dụ: hệ phương trình
tuyến tính, phương trình vi phân)
Khi F '( xn ) xn+1 = F '(x n ) xn − F ( xn ) là phương trình thực, chia 2 vế cho
F’(xn) ta có:
xn − xn−1
xn+1 = xn −
F ( xn )
(9)
F ( xn ) − F ( xn −1 )
Thay F '( xn ) −1 bằng F '( x0 ) −1 vào (8) ta có:
xn+1 = xn − F '( x0 ) −1 F ( xn ) n = 1,2,3…….. (10)
* Chứng minh (8) theo taylor:
- Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x 0 và lân cận
của x0. Giả sử h là một giá trị sao cho x0 + h cũng thuộc lân cận này.
- Ta có công thức sau đây được gọi là khai triển taylor bậc n của f(x) tại
0:
h
h2
hn ( n)
h ( n +1) ( n+1)
f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ( x0 ) +
f ''( x0 ) + ... +

f ( xn )
xn+1 = xn −
f '( xn )
c. Điều kiện hội tụ của phương pháp Newton và đánh giá sai số

Định lí: Điều kiện đủ để phương pháp tiếp tuyến hội tụ:
•
Giả sử những điều kiện sau đây thỏa mãn: f(a)f(b) < 0, tức là giá trị hàm
f(x) trái dấu tại hai đầu đoạn [a,b].Hàm f(x) có đạo hàm bậc nhất và bậc 2
f'(x) và f''(x), với f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b], f và f'' không đổi dấu
trong (a,b) (tức là hàm f(x) đơn điệu, lồi hoặc lõm trong đoạn [a,b]).
•
Xấp xỉ đầu x0 được chọn ∈ [a,b], sao cho f(x0) cùng dấu với f''(x), f và f’
không đổi dấu trong (a,b) tức là f(x 0)f''(x) > 0 (hàm lồi thì chọn
phía giá trị hàm âm, hàm lõm thì chọn phía giá trị dương).
•
Khi đó dãy xn được định nghĩa bởi (8) sẽ hội tụ tới α.
 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng:Ngoài công thức đánh giá sai số:

xn − α ≤



f ( xn )
, nếu thêm điều kiện về f''(x) ta có thể đánh giá sai số
m1

của nghiệm gần đúng xn thông qua 2 nghiệm gần đúng liên tiếp xn và
xn-1.
Định lý 2.1:Giả sử f'(x) liên tục và không đổi dấu trên [a,b] và thỏa mãn:

• Thay vào (12) ta có: f ( xn ) =
2!
2
• Như vậy, x − α ≤ f ( xn ) = ( xn − xn−1 ) f '(c) ≤ M 2 x − x 2
n
n
n −1
m1
2m1
2m1
d. Ví dụ về phương pháp Newton
Ví dụ 1: Tính 2 bằng cách giải phương trình sau:
f ( x) = x 2 − 2 = 0
Giải:
Ta thấy f(1) = -1, f(2) = 2, như vậy điều kiện 1) thỏa mãn.
f '( x) = 2 x > 2 với mọi x ∈ [1,2]
f ''( x) = 2 > 1 với mọi x ∈ [1,2] , vậy điều kiện 2) thỏa mãn
Vì f(2) = 2, nên ta chọn x0 =2, như vậy thì f(2)f’’(x) = 2.2 = 4 >0 và điều kiện 3)
thỏa mãn.
Vậy ta có thể áp dụng phương pháp lặp Newton để tính nghiệm xấp xỉ của
phương trình(*). Ta có bảng sau:
•

Theo (8), xn+1 = xn −

N

x0=2
xn +1 = xn −



Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất:
Vì f(1)f(2) = (-3)5 < 0 nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất x ∈ (1, 2)
Chính xác hoá nghiệm:
f ''( x ) = 6 x > 0 ∀x ∈ (1, 2)
f '( x) > 0 ∀x
Thoả mãn điều kiện hội tụ Furiê, áp dụng phương pháp tiếp tuyến
Chọn với x0= 2 ( vì f(2). f’’(2) > 0)
x
f(x)/f’(x)
2
0.385
1.615
0.094
1.521
0.005
1.516
0.000
1.516
Vậy nghiệm là x=1.516
* Phương pháp dây cung
a. ý tưởng:
Giả sử [a,b] là khoảng nghiệm phương trình f(x)=0. Gọi A,B là 2 điểm trên đồ thị
f(x)có hoành độ tương ứng là a,b. phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a,f(a)),
B(b,f(b)) có dạng:
y − f (a)
x−a
=
f (b) − f (a) b − a
y − f (a)

B
X
f(x)
1
2
1
-0,447
1,333
1,333
-0,020
1,379
1,379
-0,003
1,385
1,385
-0,000
1,386
1,386
Vậy nghiệm phương trình: x ≈1.386


2. Định lí Picard
Từ phép thử cơ bản của định lí 1.A, ta xét bài toán giá trị khởi đầu:
x , (t ) = f (t , x(t )) , x(t 0 ) = p
(*)
Cho phương trình vi phân trên [ to − c, to + c ] . Về mặt hình học nghĩa là chúng ta
đang tìm kiếm đường cong thỏa mãn phương trình vi phân và đi qua (t o,p) như
trong hình 1.5.

,

t

xn +1 ( t ) = po + ∫ f ( s, xn ( s ) d s ,

xo ( t ) ≡ po , n = 0,1, 2,...

to

Hội tụ đều trên [ to − c, to + c ] đến nghiệm x(.)
C, Phụ thuộc liên tục của nghiệm về giá trị khởi đầu
Cho [ to − c, to + c ] với d cố định,

0
Và kiểm tra điều kiện của định lí 1.A là thoả mãn.

(I-1) M đóng trong ( X , . 1 ) .từ giả thiết xn ∈ M với mọi n, xn − po ≤ b với mọi
− Lc
n,và giả sử x − xn → 0 khi n → ∞ . Ở x e ≤ x 1 ≤ x ,với mọi x ∈ X ,

x − xn → 0 khi n → ∞ .Do đó x − po ≤ b với mọi x ∈ M


(I-2) Tp ánh xạ từ M vào M. Vì nếu x ∈ M
0

, thì x − po ≤ b

Và do đó x(t) − p o ≤ b với mọi t ∈ [ to − c, to + c ] ,
theo |f(t,x)| < K, với mọi ( t , x ) ∈ Qb
t

Tpo x − po = max t∈[ to −c ,to +c ]

∫ f (s, x(s))ds ≤ cK ≤ b

to

Do đó, Tp x ∈ M .
o

( 1-3 ) Tp là k_co trong M, giả sử x, y ∈ M ,
0



≤ k x − y 1 , khi k = 1 − e − Lc < 1
Tích phân được tính riêng cho t ≥ to và t ≤ to .
(I-4) định lí 1.A nêu lên một nghiệm của x = Tp x
o

với x ∈ M .Nghiệm này thỏa

mãn (**) với p = po và cũng thỏa mãn (*)

p1

•

t1
Hình 1.6
( II) Chúng ta chứng minh mỗi nghiệm y( . ) của ( ** ) là liên tục trên
t ∈ [ to − c, to + c ] trùng với x ( . ) trong ( I-4 ). Cách khác, y ( . ) sẽ phải khác với x
( . ) ở một vài điểm (t1 , p1 ) ( hình 1.6 ).Thì lúc đó ta có thể tập hợp bài toán giá trị


khởi đầu, và kết quả trước sẽ chỉ ra tính duy nhất của nghiệm. Do đó, sẽ không
xuất hiện nghiệm nào khác.
Chứng minh ( b ) Từ Hệ quả 1 và Định lý 1.A.
Lưu ý x − xn 1 → ∞ hội tụ đều [ to − c, to + c ]
Chứng minh ( c ). Ta giả sử ρ chạy trong lân cận p o, chúng ta phải quy về hình
chữ nhật trong hình 1.5. Như vậy chúng ta thay thế khoảng trong [ to − c, to + c ]
định nghĩa của X và M bởi [ to − d , t o + d ] và cho b nhỏ lại. Các đối số tương tự như
trong chứng minh của khẳng định ( a ) thì cho thấy: x p = Tp x p
có duy nhất một nghiệm xp với mọi p đủ nhỏ trong lân cận của và x p ( . ) là

o

Hệ quả 2: Cho a>0 và L ≥0 cố định
2
Giả sử Q = { (t , x) ∈ R : t − to ≤ a}

Nếu f : Q → R liên tục với
f (t , x) − f (t , y ) ≤ L x − y L, với mọi
thì bài toán đầu (*)có
C [ to − a , t o + a ]
1

(t , x),(t , y ) ∈ Q

một nghiệm, đối với mỗi số thực p, trong lớp

.

Chứng minh Hệ quả 2. Trong hệ quả ( a ), các tập M = X = C [ to − a, to + a ] .
Nghiệm

x ∈ X của phương trình tích phân ( ** ) liên tục có thể phân biệt được

x ∈ C 1 [ to − a , t0 + a ] .


,
2
Ví dụ: Xét phương trình y = − y ,với y (0) = 1 .Ngiệm chính xác của nó là: y =


* Định lý 1:
Giả sử f(x) liên tục trên (a,b) và có f(a)*f(b)
f ( x)
m
Ví dụ 3: Cho nghiệm gần đúng của phương trình x 4 − x − 1 = 0 là 1.22. Hãy ước
lượng sai số tuyệt đối là bao nhiêu?
Giải: f(x) =f(1.22)=1.224-1.22-1=-0,00470
Suy ra nghiệm phương trình x ∈ ( 1.22,1.23)
nghiệm [ a, b ] và f’(x) ≥ m ≥ 0 khi a ≤ x ≤ b. khi đó x − a ≤

f '( x) = 4x 3 − 1 ≥ 4 *1.223 − 1 = 6.624 = m∀x ∈ (1.22,1.23)
0,0047
= 0,0008( x − α < 0,008)
6.624
c. Tách nghiệm cho phương trình đại số
n
n −1
Xét phương trình đại số f (x) = a 0 x + a1 x + ... + an−1 x + an = 0 (1)
Theo định lí 2: ∆x =

Định lý 3:
Cho phương trình (1) có m1=max{|ai|} i = 1, n
m2

= max{|ai|}

i = 0, n − 1


Khi đó mọi nghiệm x của phương trình đều thỏa mãn:
an

Ví dụ: xét phương trình
3x 2 + 2x − 5 = 0 → N 0 = 1 + 5 / 3

ϕ1 ( x) = 3 + 2x − 5x 2 → N1 không tồn tại (a0
1.312
1.322
1.322
1.324
1.324
1.325
1.325
1.325
Nghiệm của phương trình là x ≈ 1.325

Chương III.

Hệ phương trình tuyến tính trên IRn

1. Định lí chính của phương pháp lặp và phương trình toán tử tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính:
N

ξi = ∑ aijξ j + b ,
j =1

i= 1,…,N

Với ξi , aij ∈ ¡ ; i,j = 1,…, N. Có thể viết dạng X = Ax + b bằng cách
n 1/ n
x = ( ξ1 ,..., ξ N ), b = (b1,...,bN) và X = ¡ N . Bán kính phổ r(A) = lim n→∞ ( A )

và r(A) ≤ A lớn nhất trong giá trị tuyệt đối và giá trị riêng của ma trận phức (aij).
Định nghĩa 4.1: Phương trình X = Ax + b có phương pháp lặp ổn định khi và chỉ
khi X = Ax + b có duy nhất một nghiệm x với mỗi b ∈ X và dãy lặp (xn) hội tụ


x0

o •
x x1

o
x

•

x0

•

•

x0 x1

( b)

( a)

•

•

( c)

x0

Định lý 4.1.( Định lí chính cho phương trình tự đồng cấu ánh xạ tuyến tính )
Giả sử rằng A : X → X là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian Banach
thực
( a ) Tiêu chuẩn : Giả sử ||A|| < 1. Thì X = Ax + b có phương pháp lặp ổn
định. Ngược lại ( I − A )

( I − A)

−1

−1

tồn tại như ánh xạ tuyến tính liên tục trên X và

∞

= ∑ Ak
k =0

Cấp số nhân được tổng quát hoá hay chuỗi Neumann hội tụ trong tiêu chuẩn
toán tử. Nghiệm duy nhất của X = Ax + b là X =

( I − A)

−1

b. với n = 0,1,2…

Ta có :
||x – xn|| ≤ ||A||n ||x1 – x0||/(1 - ||A||)