BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Công Anh

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Công Anh

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

1.3 Điểm bất động chung .............................................................................. 22
1.3.1 Điểm bất động chung của ánh xạ dạng co .......................................... 22
1.3.2 Điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu ........................ 26
1.3.3 Điểm bất động chung của những ánh xạ giãn trong không gian nón
mêtric ........................................................................................................... 31
1.4 Điểm bất động của một số ánh xạ không giãn ........................................ 42
1.4.1 Ánhxạc-không giãn..... .............................................................. ........... 42
1.4.2 Một số định lý ánh xạ co mở rộng ...................................................... 45
1.5 Định lý Kirk-Caristi ................ ............................................................ ... 53
2. Điểm bất động trong không gian nón -chuẩn .................................................... 59
2.1 Một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn
.................................................................................................................... ... 59
2.2 Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng ............................ 63
Tài liệu tham khảo ......... ........................................................................... ............ 67
Danh sách cái tài liệu ........ ........................................................................ ........... 68


Lời mở đầu
Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920 và được phát triển mạnh mẽ cho
đến tận hôm nay. Nó là công cụ chính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của nhiều lớp phương trình xuất phát từ Toán học và khoa học.
Các định lý điểm bất động trong không gian với mêtric là một ánh xạ nhận giá trị
trong một nón của không gian vectơ được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1950
để phục vụ việc nghiên cứu các phương trình vi phân và quá trình tính toán gần
đúng.
Những năm gần đây việc nghiên cứu các điểm bất động trong không gian nón mêtric được quan tâm trở lại với hàng chục bài báo về đề tại này được công bố. Rất
nhiều định lý về điểm bất động của ánh xạ trong không gian mêtric thông thường đã
được mở rộng cho không gian nón -mêtric.
Việc hệ thống lại các kết quả trong lĩnh vực này là cần thiết để có một cái nhìn tổng
quan về các kết quả đã đạt được.

(i) P đóng, khác rỗng và P ¹ {0}
(ii) a, b Î R, a, b ³ 0, x, y Î P thì ax + by Î P
(iii) x Î P và - x Î P thì ax + by Î P
Và ta xác định quan hệ thứ tự sau:
•

x £ y khi và chỉ khi y - x Î P


• Ký hiệu x < y nếu x £ y và x  y
•

x  y nếu y - x Î intP

1.1.2 Mệnh đề: Giả sử “ £ ” là thứ tự trong E sinh bởi nón P. Khi đó:
1. x £ y,0 £ a £ b thì ax £ by
2. x £ y Þ x + z £ y + z , l x £ l y (" z Î X , " l ³ 0)
3. ( xn £ yn (n Î N * ),lim xn = x,lim yn = y ) Þ x £ y
4. Nếu {xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn £ x" n Î N *
Chứng minh:
1.Hiển nhiên.
2. Hiển nhiên.
3. Suy ra từ tính đóng của nón P.
4. Vì {xn } là dãy tăng nên xn £ xn +m . Lấy giới hạn m ® ¥ 2 bên ta có điều
phải chứng minh.
1.1.3 Mệnh đề: Cho P là nón, x Î P, a Î R,0 £ a < 1, x £ ax thì x=0.
Chứng minh:
Ta có: Nếu x £ ax Þ ax - x = (a - 1) x Î P . Mặt khác x Î P và

0 £ a < 1 Þ (1 - a ) > 0 nên (1 - a ) x Î P . Vậy theo định nghĩa 1.1, ta có điều phải
0 và chọn k0 để || xnk - a ||


1.1.6 Định nghĩa. Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên
thì hội tụ. Tức là nếu dãy {x}n³ 1 thỏa x1 £ x2 £ ... £ y Î E thì tồn tại x thuộc E để

lim || xn - x ||= 0.

n® ¥

Và định nghĩa này tương đương với nón P là nón chính quy nếu mọi dãy giảm, bị
chặn dưới thì hội tụ.
1.1.7 Mệnh đề. Nón chính quy là nón chuẩn.
Chứng minh.
Giả sử K là nón chính quy nhưng không là nón chuẩn. Khi đó:

" n Î N * , $ xn , yn : 0 £ xn £ yn ,|| xn ||> n 2 || yn ||
xn
y
, vn = n thì
|| xn ||
|| xn ||

Đặt un =

0 £ un £ vn ,|| un ||= 1,|| vn ||

b1 £ b2 £ ... £ d , a1 ³ a2 ³ ... ³ c
Chính vì vậy {an }n³ 1 và {bn }n³ 1 hội tụ. Đặt an ® a, bn ® b thì an x + bn ® ax + b Î P
hay P là nón chính quy.
Ta có P là nón chuẩn nên theo mệnh đề 1.8, có K ³ 1 mà


0 £ g £ f Þ || g ||£ K . || f ||
Với mọi g , f Î E . Bây giờ ta cần chứng minh là K > m.
Trước tiên, ta chú ý rằng f ( x) = - mx + m Î P, g ( x) = m Î P, f - g Î P nên

0 £ g £ f Þ m =|| g ||£ K || f ||= K
1
Mặt khác, nếu ta xét f ( x) = - (m + ) x + m, g ( x) = m thì f Î P, g Î P, f - g Î P .
m
Đồng thời, || g ||= m ,|| f ||= 1 -

1 1
. Vì thế:
+
m m2

m =|| g ||> m || f ||= m +

1
- 1.
m

Vậy ta đã chứng minh được K > m.
Có những nón không phải là nón chuẩn qua ví dụ sau:
Ví dụ 1.9.1 Cho E = CR2 ([0,1]) với chuẩn
N ,|| d ( xn , x) ||£ K . || c ||< e , tức là d ( xn , x) ® 0(n ® ¥ )
• Chiều đảo. Giả sử rằng d ( xn , x) ® 0(n ® ¥ ) . Lấy c Î E ,0  c , tồn tại
d > 0 mà || x ||< d , tức là c - x Î intP . Với d > 0 thì tồn tại N, sao cho với

mọi n > N ,|| d ( xn , x) ||< d . Vì c - d ( xn , x) Î intP , tức là d ( xn , x)  c . Vì thế

xn ® x(n ® ¥ ) ,
1.1.14 Mệnh đề: Cho (X, d) là một không gian nón mêtric. Nếu {xn } hội tụ trong X
thì giới hạn đó là duy nhất.


Chứng minh.
Với mọi c Î E ,0  c , tồn tại N sao cho với mọi n > N , d ( xn , x)  c, d ( xn , y )  c .
Ta có:

d ( x, y ) £ d ( xn , x) + d ( xn , y ) £ 2c
Vì thế || d ( x, y ) ||£ 2 K . || c || . Vì c là bất kỳ nên ta có d ( x, y ) = 0 , tức là x=y.
1.1.15 Mệnh đề. Trong không gian nón mêtric (X,d) thì mỗi dãy hội tụ đều là dãy
Cauchy.


d ( xn , yn ) ® d ( x, y )(n ® ¥ )
Chứng minh.
Với mọi e > 0 , chọn c Î E ,0  c và || c ||
N , d ( xn , x)  c, d ( yn , y )  c.
Ta có:

d ( xn , yn ) £ d ( xn , x) + d ( x, y ) + d ( yn , y ) £ d ( x, y ) + 2c
d ( x, y ) £ d ( xn , x) + d ( x, y ) + d ( yn , y ) £ d ( xn , yn ) + 2c
Suy ra:

0 £ d ( x, y ) + 2c - d ( xn , yn ) £ 4c
Và

|| d ( xn , yn ) - d ( x, y ) ||£|| d ( x, y ) + 2c - d ( xn , yn ) || + || 2c ||£ (4 K + 2) || c ||< e
Vì thế

d ( xn , yn ) ® d ( x, y ) (n ® ¥ )
Ta có điều phải chứng minh.
1.1.18 Mệnh đề. Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, {xn } là dãy trong X. Nếu

{xn } hội tụ tới x và {xnk } là dãy con của {xn } thì {xnk } hội tụ tới x
1.1.19 Mệnh đề: Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, {xn } là dãy trong X. Nếu

{xn } là dãy Cauchy và có dãy con {xnk } hội tụ tới x thì {xn } hội tụ tới x.

k =m

Lấy c Î E ,0  c . Chọn e > 0 sao cho c + Ne (0) Í P với

Ne (0) = { y Î E :|| y ||< e}
Vì

åa

n

< ¥ nên ta có thể lấy 1 số N đủ lớn sao cho
n- 1

n- 1

k =m

k =m

| å ak | . || M ||=|| M .å ak ||< e
n- 1

n- 1

k =m

k =m

Với mọi n > m ³ N . Cho nên ta có M å ak Î Ne (0) và - M å ak Î Ne (0) với mọi
m ³ N
Vậy ta đã chứng minh được {xn } là dãy Cauchy trong (X, d)


1.1.21 Định nghĩa. Giả sử E và F là không gian Banach thực và P, Q lần lượt là 2
nón xác định trên E và F. Gọi (X, d) và (Y , r ) là không gian nón mêtric với

d : X ´ X ® E và r : Y ´ Y ® F . Hàm f : X ® Y được gọi là liên tục tại x0 Î X
Nếu và chỉ nếu với mỗi c Î F ,0  c , tồn tại b Î E ,0  b sao cho

r ( f ( x), f ( x0 ))  c với x Î X , d ( x, x0 )  b .
Nếu f là liên tục tại mọi điểm của X, thì nó liên tục trên X.
1.1.22 Mệnh đề. Giả sử (X, d) và (Y , r ) là không gian nón mêtric. Khi đó, hàm

f : X ® Y là liên tục tại x0 Î X nếu và chỉ nếu mọi dãy {xn } trong X hội tụ tới


b
nhưng c - r ( f ( x), f ( x0 )) Ï intQ với n = 1, 2,...
n


Mặt khác, vì

b
® 0 khi n ® ¥ nên dãy {xn } hội tụ tới x0 , nhưng dãy
n

{ f ( xn )} không hội tụ tới { f ( x0 )} (bởi vì c - r ( f ( x), f ( x0 )) Ï intQ ). Điều
này trái với giả thiết nên ta có điều phải chứng minh.

1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co
Trong phần sau, chúng ta sẽ đưa ra và chứng minh một số định lý điểm bất động
của ánh xạ dạng co trong không gian nón mêtric.
1.2.1 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số
chuẩn K. Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ kd ( x, y )
với mọi x, y Î X với hằng số k Î [0;1) . Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất trong
X, ghi là x0 , và lim T n x = x0 với mọi x Î X .
n® ¥

Chứng minh.
Chứng minh tồn tại. Lấy x Î X , đặt:

x1 = Tx, x2 = Tx1 = T 2 x,..., xn+1 = Txn = T n+1 x, n Î N



Vì thế {xn } là dãy Cauchy. Mà X là đầy đủ nên tồn tại x0 Î X , xn ® x0 (n ® ¥ ) .
Mặt khác:

d (Tx0 , x0 ) £ d (Txn , Tx0 ) + d (Txn , x0 ) £ kd ( xn , x0 ) + d ( xn +1 , x0 )
Þ || d (Tx0 , x0 ) ||£ K (k || d ( xn , x0 ) || + || d ( xn +1 , x0 ) ||) ® 0
Suy ra: || d (Tx0 , x0 ) ||= 0 , tức là Tx0 = x0 , hay x0 là 1 điểm cố định của T.
Chứng minh duy nhất.
Giả sử có y0 là 1 điểm có định khác của T. Ta có:

d ( x0 , y0 ) = d (Tx0 , Ty0 ) £ kd ( x0 , y0 )
tức là

|| d ( x0 , y0 ) ||= 0, x0 = y0
Vậy chỉ có duy nhất 1 điểm cố định duy nhất.
1.2.1.1 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng
số chuẩn K. Cho c Î E với 0  c và x0 Î X . Đặt

B ( x0 , c) = {x Î X | d ( x0 , x) £ c}
Giả sử ánh xạ T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ kd ( x, y )
với mọi x, y Î B ( x0 , c) với hằng số k Î [0;1) và d (Tx0 , x0 ) £ (1 - k )c . Thì T có 1
điểm bất động duy nhất trong B ( x0 , c) .
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh rằng B ( x0 , c) là đầy đủ và Tx Î B ( x0 , c) với mọi x Î B ( x0 , c)
• Giả sử {xn } là dãy Cauchy trong B ( x0 , c) , nên {xn } cũng là dãy Cauchy
trong X. mà X là không gian đầy đủ nên tồn tại x Î X để xn ® x(n ® ¥ ) .
Ta có:

với mọi x, y Î X , x ¹

y với hằng số k Î [0;1) . Khi đó T có 1 điểm bất động duy

nhất trong X.
1.2.3 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ
T : X ® X thỏa mãn điều kiệu co

d (Tx, Ty ) £ k (d (Tx, x) + d (Ty, y ))


1
với mọi x, y Î X với hằng số k Î [0; ) . Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất
2
trong X, ghi là x0 , và lim T n x = x0 với mọi x Î X .
n® ¥

Chứng minh.
Lấy x Î X , n ³ 1 . Đặt x1 = Tx và xn+1 = Txn = T n+1 x .
Ta có:

d ( xn +1 , xn ) = d (Txn , Txn - 1 ) £ k (d (Txn , xn ) + d (Txn - 1 , xn - 1 )) = k (d ( xn +1 , xn ) + d ( xn , xn- 1 ))
Vì thế

d ( xn +1 , xn ) £
với h =

k
d ( xn , xn- 1 ) = hd ( xn , xn- 1 )
1- k

c(1 - k )
c(1 - k )
và d ( xn +1 , x0 ) 
với mọi n > N 2 .
2k
2

Vì thế với n > N 2 thì ta có:

d (Tx0 , x0 ) £ d (Txn , Tx0 ) + d (Txn , x0 ) £ k (d (Txn , xn ) + d (Tx0 , x0 )) + d ( xn +1 , x0 )
Vì thế

d (Tx0 , x0 ) £

1
(kd ( xn+1 , xn ) + d ( xn+1 , x0 ))  c + c = c
1- k
2 2


Vì thế d (Tx0 , x0 ) 

c
c
với mọi m ³ 1. Suy ra - d (Tx0 , x0 ) Î P với mọi m ³ 1. Mà
m
m

c
® 0 khi m ® ¥ và P là tập đóng nên - d (Tx0 , x0 ) Î P . Mặt khác d (Tx0 , x0 ) Î P .


k
. Với n > m ,
1- k

d ( xn , xm ) £ d ( xn , xn- 1 ) + d ( xn- 1.xn- 2 ) +... + d ( xm+1 , xm )
£ (h n - 1 + h n - 2 +... + h m )d ( x1 , x) £

hm
d ( x1 , x)
1- h