ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

SENGDAO SOULIYAVONG

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b METRIC
VỚI t KHOẢNG CÁCH
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Sengdao SOULIYAVONG

i

Chƣơng 1 KHÔNG GIAN b
1.1. Không gian b

METRIC ........................................................ 3

metric .............................................................................. 3

1.2 Định lí Banach trong không gian b- metric………...……..……………..5
Chƣơng 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN b
METRIC VỚI
2.1.

t

KHOẢNG CÁCH ........................................................... 8

khoảng cách và t

khoảng cách trong không gian b

2.2. Một số định lí điểm bất động trong không gian b

metric ...... 8

metric với t

khoảng cách ................................................................................................... 10
2.3. Các lớp m

hàm ................................................................................... 21

chứng minh Định lí điểm bất động Caristi. Năm 2014, Hussian [4] đã giới thiệu
khái niệm

t

metric tổng quát, là tổng

khoảng cách và chứng minh định lí điểm bất động trong không

quát của
gian b

khoảng cách trong không gian b

metric được sắp thứ tự bộ phận bằng cách sử dụng t

khoảng cách.

Năm 2015, Khojasteh [7] đã giới thiệu khái niệm hàm mô phỏng để tổng quát
hóa nguyên lí co Banach.
Mục đích của luận văn là giới thiệu về không gian b

metric, một trong

các mở rộng của không gian metric và trình bày một số kết quả về điểm bất
động trên các không gian b

metric với t

khoảng cách.


khoảng cách.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2

hàm với


Chƣơng 1

KHÔNG GIAN b
1.1. Không gian b

METRIC

metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho E là tập không rỗng và k
:E

E

i)
ii)
iii)

) được gọi là b

[0,

E

E

metric với hệ số k .

:E

{-1,0,1} ,

(t, s ) với s, t

( 1,1)

1 là số thực. Hàm

) xác định bởi

E

[0,

0, s

E và

( 1, 0)

1 . Khi đó (E, ) là không gian b



thỏa mãn

t |2 với s, t

Khi đó (E, ) là không gian b

E.

metric với k

2

nhưng không là

không gian metric.
Định nghĩa 1.1.4. Cho (E, ) là không gian b

metric, s

dãy trong E . Khi đó
(i ) {sn } hội tụ đến s

Kí hiệu lim sn
n

lim (sn , s)

n



thì f (sn )

metric và ánh xạ f : E

E nếu với mọi dãy {sn } trong E , sn

f (s0 ) khi n

E.

s0 khi

. Nếu f liên tục tại mỗi điểm s0

E

thì ta nói f liên tục trên E .
Định lí 1.1.6 ([1]). Cho (E, ) là không gian b
hội tụ đến s, t

E , tương ứng. Khi đó

1
(s, t )
k2

lim inf (sn , tn )
n



t thì lim (sn, tn)

Đặc biệt, nếu s

cho sn

metric, giả sử {sn } và {tn }

metric với hệ số k và {sn }

E sao

metric với hệ số k và {sk }kn

0

t.

Bổ đề 1.1.8. Cho (E, ) là không gian b
Khi đó:
(sn , s0 )

kn

k (s0, s1)

1

(sn 2, sn 1)

…

k (s0, s1)

kn

1

(sn 2, sn 1)

4

kn

1

(sn 1, sn ) .

E.


Bổ đề 1.1.9. Cho {tn } là dãy trong không gian b

metric (E, ) với hệ số k

sao cho
(tn , tn 1 )

1
và mỗi n

dãy {f ns0 } hội tụ đến r .
Chứng minh. Lấy s0

f ns0 . Khi đó

E bất kì và kí hiệu tn

(tn , tn 1)

(ftn 1, ftn )

(tn 1, tn )

Với mỗi n

1,2.... Bổ đề 1.1.9 kéo theo {tn } là dãy Cauchy, và vì (E, ) đầy

đủ, nên r

E sao cho tn

(fr, r )

k( (fr, ftn )

k(
. Do đó, (fr, r )

khi n
Nếu fr1


5

r

r1 .

metric đầy đủ với hệ số k . Cho

E là ánh xạ sao cho với mỗi n
n

0

r.

Định lí 1.2.2. Cho (E, ) là không gian b

f :E

(tn 1, r ))

tồn tại

n

(0,1) sao cho

E . Khi đó f có điểm bất



:
!s

( (s, t )), s, t

là hàm tăng và thỏa mãn lim
n

E : f (s )

s và lim f n (s )

s, s

n

lim (t )

t

0

do đó f liên tục. Bây giờ, cho s
( )

2k

. Đặt g


(g m (gs), g m (s))

Do đó, lim (sm 1, sm )

E , trong đó

0,

E và

f n và sm

(sm 1, sm )

n

1 , và

E.

Chứng minh. Trước tiên theo giả thiết về

n

E khi

E.

fr và fr là điểm bất động của g


n

( (u, sm ))

6

và lấy u

2k
n

( )

2k

B (s m; ). Khi đó

và


(g(sm ), sm )

(sm 1, sm )

2k

.

Do đó ta có
(g(u), sm )


lim sm

m

m

1

lim g(sm )

m

g(s ) .

Vì
(g(s ), g(t )

nếu s

n

( (s , t ))

(s , t )

t , suy ra g có đúng một điểm bất động. Hơn nữa, vì
(s , g m (s))

(g m (s ), g m (s))


0 khi m

( (s , s))

m

{0,1,..., n

g m (f p (s))

s.

7

1},

s khi m

,

s .


Chƣơng 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
b

2.1.

E bất kì, (s, ) : E

E và tn
0,

(3) với

t

E;

là hàm nửa liên tục dưới (tức là, nếu

E , thì d(s, t )
0 : d(r, s )

lim inf d(s, tn ) );
n

kéo theo (s, t )

và d(r, t )

Ví dụ 2.1.2. Cho (E, ) là không gian metric. Hàm d : E
c với mọi s, t

bởi d(s, t )

E là



metric với hệ số k

2. Tuy nhiên,

ta biết rằng d không là metric trên E vì bất đẳng thức tam giác không thỏa
mãn. Thật vậy,
d(3,5)

d(3, 4)

d(4,5).

Định nghĩa 2.1.4. Hàm giá trị thực f xác định trên không gian b
nửa liên tục dưới tại điểm s0

gọi là k
f (s0 )

lim inf kf (sn) , với mọi {sn }
xn

x0

E nếu lim inf f (sn )

E và sn

xn


thỏa mãn các điều kiện sau:
(i ) d(s, r )

k(d(s, t )

(ii ) với mỗi s

d(t, r )) với mọi r, s, t

E, d(s,.) : E

(iii ) với

nửa liên tục dưới.

là hàm k

0 : d(r, s )

0,

E;

kéo theo (s, t )

và d(r, t )

metric. Khi đó

Ví dụ 2.1.6. Cho (E, ) là không gian b

d là

khoảng cách trên E . (sn ) và (tn ) là các dãy trong E , (

là các dãy trong [0,

) hội tụ đến 0 và r, s, t

(i ) nếu d(sn , t )

và d(sn , r )

n

Đặc biệt, nếu d(s, t )
(ii ) nếu d(sn , tn )

n

(iii ) nếu d(sn , sm )
(iv ) nếu d(t, sn )

n

với n, m

bất kỳ, thì t

0 thì t



n , thì (sn ) là dãy Cauchy.

bất kỳ, thì (sn ) là dãy Cauchy.

với n

Định nghĩa 2.1.9. Cho (E, ) là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Hai phần tử

s, t

E gọi là so sánh được đối với quan hệ thứ tự
Ta kí hiệu E là tập con của E

E

{(s, t )

E

nếu s

E được xác định bởi

E :s

t hoặc y

9


metric với

t

khoảng cách
Định lí 2.2.1. Cho d là

với mỗi s

khoảng cách trên không gian b

1 và S1 , S2 : E

(E, ) với hằng số k

max

t

d (S1(s ), S 2S1(s )),
d (S 2 (s ), S1S 2(s ))

E . Giả sử r

[0,1 / k ) sao cho

r min d(s, S1(s)), d(s, S2(s ))

min d(s, S1(s)), d(s, S2(s)) : s



E tùy ý và định nghĩa dãy (sn ) bởi
sn

S1(sn 1) nếu n lẻ và

sn

S2(sn 1) nếu n chẵn.

lẻ thì theo (2.1) ta có

d(sn , sn 1)

d(S1(sn 1), S2(sn ))

d(S1(sn 1), S2S1(sn 1))
max d(S1(sn 1), S2S1(sn 1)), d(S2(sn 1), S1S2(sn 1))
r min (d(sn 1, S1(sn 1)), d(sn 1, S2(sn 1))

10


rd(sn 1, S1(sn 1))

rd(sn 1, sn ) .

Nếu n chẵn thì theo (2.1), ta có

d(sn , sn 1)

(2.4)

n từ (2.4) suy ra

k[d(sn , sn 1)

d(sn 1, sm )]

k 2d(sn 1, sn 2 )

kd(sn , sn 1)

[kr n

k 2r n

1

kr n [1

kr

(kr )2

...

km
...

...


kr n
d(s0, s1 ) .
1 kr
Theo Bổ đề 2.1.8 (iii), {sn } là dãy Cauchy trong E . Vì E đầy đủ, nên

{sn } hội tụ đến z
d(sn ,.) là k

. Khi đó vì {sn } hội tụ đến z và

E . Cố định n

nửa liên tục dưới, nên ta có

d(sn , z )

lim inf kd(sn , sm )
m

11

k 2r n
d(s 0, s1) .
1 kr


Giả sử z không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó theo giả
thiết ta có
inf d(s, z )


0

S2(z ) . Nếu s

S1(s )

S2(s )

E thì
d(s , s )

max p(S1(s ), S 2S1(s )), p(S 2(s ), S1S 2(s ))
r min d(s , S1(s )), d(s , S2(s ))

rd(s , s )

r min d(s , s ), d(s , s )

Từ đó suy ra d(s , s )

0.

Hệ quả 2.2.2. Cho (E, ) là không gian b
là t

khoảng cách trên E và S : E

E . Giả sử tồn tại r


Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Định lí 2.2.1 bằng cách lấy

S1

S2

S.

12


metric đầy đủ với hằng số k

Định lí 2.2.3. Cho (E, ) là không gian b
d là t
r

khoảng cách trên E và S : E

1,

E là ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tại

[0,1 / k) sao cho

d(S (s), S 2(s))
với mỗi s

E . Khi đó s0



rd(s, S (s))

d(sn , S (sn ))

0 và d(sn , S (sn ))

0.

0 . Theo Bổ đề 2.1.8, suy ra

t . Ta có
d(sn , S 2(sn ))

d(S (sn ), S 2(sn ))]

k[d(sn , S (sn ))

k(1 r )d(sn , S(sn ))

0.

Do đó, (S 2(sn )) hội tụ đến t . Nhưng S : E
S (t )

Điều này mâu thuẫn với t

S (lim S (sn ))
n


S (t ) , thì

d(s, S (s)) : s

Định lí 2.2.4. Cho (E, ) là không gian b
và ánh xạ S : E

E liên tục, nên

c1 (s, t )

E , trong đó c1, c2, c3

c2 (s, S(s))
0 với c1

13

c2

c3 (t, S(t ))

c3

1
.
k

(2.5)


c1 c2
khi đó r
1 c3

Đặt r

1
[0, ) vì k(c1
k

c2 )

c3

(2.6)

k (c1

c2

c3 )

1.

Do đó, (2.6) trở thành

(S (s), S 2(s))
Giả sử t

E :t


0 . Theo Bổ đề 2.1.8, S (sn )

t.

Ta có

(t, S (t ))

k[ (t, S(sn ))

(S(sn ), S(t))]

k[ (t, S (sn )) c1 (sn , t ) c2 (sn, S (sn )) c3 (t, S (t ))]
với mỗi n

và từ đó
(t, S (t ))

Do đó,
t

(t, S (t )

kc3 (t, S (t )) .

0 , tức là t

S (t ) là mâu thuẫn. Như vậy, nếu


c1 (s, S (t ))

0 với c1k

E trong đó c1, c2

c2 (t, S (s))

1
k

1

(2.7)

hoặc c2k

đó S có một điểm bất động trong E . Hơn nữa, nếu c1

c2

1
1

k

. Khi

1 , thì S có điểm


c1k
. Khi đó r
1 c1k

1
[0, ) . Do đó, (2.8) trở thành
k

(S (s), S 2(s))
với mọi s

E . Giả sử t

Khi đó {sn }

S (t ) và

(s, t )

(s, S (s)) : s

lim{ (sn , t)

0 và d(sn , S (sn ))

(sn, S(sn ))}

0.

k[ (t, S(sn ))


k[ (t, S (sn )) c1 (sn , S (t )) c2 (t, S (sn ))]
k[ (t, S (sn )) c1k (sn , t ) c1k (t, S (t )) c2 (t, S (s n ))]
c1k 2 (t, S (t ))
với n

k[ (t, S (sn ))

k 2c1 (t, S (t )) .

(t, S (t ))

nếu t

c2 (t, S (s n ))]

ta được

. Cho n

(t, S (t ))

Suy ra

c1k (sn, t )

S (t ) . Điều này là mâu thuẫn. Do đó,

0 , tức là t



v . Khi đó

u và S (v)

c2 (v, u)

(c1

c2) (u, v) .

v . Do đó S có điểm bất động duy

nhất trong E .
Định lí 2.2.6. Cho (E, ) là không gian b
và S : E

E . Giả sử tồn tại r

(S (s), S (t ))

với mọi s, t

metric đầy đủ với hằng số k

[0,1 / k ) sao cho

r max{ (s, t ), (s, S (s)), (t, S(t )), (t, S(s))}

E . Khi đó ! s0

1
, nên từ (2.10) ta nhận được
k

16

S 2(s) . Vì


(S (s), S 2(s))
với mọi s

E . Giả sử

t

{sn }

S (t ) và

(s, t )

inf

Khi đó

E :t

(s, S (s)) : s



(t, S (t ))

Do đó (t, S (t ))
t

E

E:
n

(sn , t )

r (s, S (s))

0 tức là t

kr (t, S (t )) .

S (t ) . Điều này là mâu thuẫn. Do đó nếu

S (t ) thì
(s, t )

inf

(s, S (s)) : s

E


E và
inf p(s, t )

đối với mỗi t

min p(S1(s), s), p(S2(s ), s ) : s

E

0

(2.12)

E với t không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó

S1 và S 2 có điểm bất động chung trong E .

17


Chứng minh. Lấy u0

E tùy ý, vì S1 là toàn ánh nên tồn tại u1

S1 1(u0 ) . Vì S 2 cũng là toàn ánh, nên u2

u1

Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được u2n
với n

p(u2m 1, u2m )

p(S2(u2m ), S1(u2m 1))

p(S2S1(u2m 1), S1(u2m 1))
min{p(S2S1(u2m 1), S1(u2m 1)), p(S1S2(u2m 1), S2(u2m 1))}

r max{p(S1(u2m 1), u2m 1), p(S2(u2m 1), u2m 1)}
rp(S1(u2m 1), u2m 1)
Nếu n

2m

p(un 1, un )

rp(u2m , u2m 1)

rp(un , un 1) .

1 thì theo (2.11) ta có

p(u2m , u2m 1)

p(S1(u2m 1), S2(u2m 2 ))

p(S1S2(u2m 2 ), S2(u2m 2 ))
min{p(S2S1(u2m 2 ), S1(u2m 2 )), p(S1S2(u2m 2 ), S2(u2m 2 ))}

r max{p(S1(u2m 2 ), u2m 2 ), p(S2(u2m 2 ), u2m 2 )}
rp(S2(u2m 2 ), u2m 2 )

1
( )n p(u0, u1 )
r

k . Khi đó (2.13) trở thành

18

(2.13)


n

p(un , un 1)

Do đó, nếu m

p(un , um )

p(u0, u1) .

n thì

k[p(un , un 1)

kp(un , un 1)

p(un 1, um )]

k 2p(un 1, un 2 )


k2

n 1

...

km

n 1 m 2

km

n

(k )2

...

k n [1
k

(k )m

n 2

]p(u0, u1)

]p(u0, u1)



nửa liên tục dưới, nên

k2 n
p(u0, u1)
1 k

(2.14)

Giả sử w không là điểm bất động chung của S1 và S 2 . Khi đó theo giả thiết ta có

0

inf{p(s, w)

min{p(S1(s), s), p(S2(s), s)} : s

inf{p(un , w)

min{p(S1(un ), un ), p(S2(un ), un )} : n

k2 n
inf
p(u0, u1)
1 k
k2 n
inf
p(u0, u1)
1 k


1 và S : E

E là toàn ánh. Giả sử

19

r

k:


p(S 2(s), S (s))
với mọi s

(2.15)

E và
inf{p(s, t )

với mọi t

rp(S (s), s)

E với t

p(S(s), s) : s

E}

0


k:

r (S (s), s)
z.

khoảng cách trên E . Giả sử tồn tại t

E với

S (t ) và
inf{ (s, t )

Khi đó {sn }

(S(s), s) : s

lim{ (sn , t )

(sn , t )

0 và (S (sn ), sn )

(S (sn ), t )

Suy ra lim S (sn )
n

(S(sn ), sn )}


S (t ) , từ đó

inf{ (s, t )

E : S (z )

(S(s), s) : s

E}

0.

z.

Định lí 2.2.10. Cho (E, ) là không gian b
và cho S : E

0.

E:
n

Suy ra

E}

metric đầy đủ với hằng số k

E là toàn ánh liên tục. Giả sử r


với s

r min{ (s, S (s)), (S 2(s), S (s)), (s, S (s))}

S 2 (s) thì rõ ràng S có điểm bất động. Không mất tính

E . Nếu S (s)

tổng quát, ta giả sử S (s)

S 2(s) . Vì r

k

(S 2(s), S (s))

với mọi s

(2.18)

1 , nên từ (2.18) suy ra

r (S (s), s)

E . Bằng cách tương tự như trong chứng minh Định lí 2.2.9, ta có

thể khẳng định rằng nếu t

S (t ) thì


thỏa

lim sn

0 thì

mãn các điều kiện sau:
( 1 ) (0, 0)

0;

( 2 ) (t, s)

s

t với mọi s, t

0.

( 3 ) nếu {tn } và {sn } là các dãy số dương sao cho lim tn
n

lim sup (tn , sn )

n

0.

n