ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HỒNG QUÂN

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC NÓN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC



Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 60. 46. 30
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển
:

Hà Nội - 2012

- 3 -

Mục lục Trang

Lời nói đầu -4
Ch-¬ng 1. Các khái niệm cơ bản 7
1.1. Không gian metric 7
1.2. Sự hội tụ trong không gian metric 8
1.3. Nguyên lý ánh xạ co 8

 
00
F x x
? Điểm x
0
như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ F. Lý
thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối
ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí.
Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong
đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach
(1922).
Định lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên không
gian metric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học. Sau khi được Banach chứng
minh, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trở thành một trong những vấn đề
thu hút được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các định lý điểm bất động
đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại
không gian khác nhau . Năm 1935, Tychonoff nghiên cứu điểm bất động trên không
gian lồi địa phương (1935). Kakutani (1941), Ky Fan (1952), Glicksberg (1952) nghiên
cứu điểm bất động cho lớp hàm đa trị. Và hiện tại lý thuyết điểm bất động đã được mở
rộng đến không gian metric siêu lồi (M.A.Khamsi 1996), không gian trắc địa
(W.A.Kirk 2003), không gian R- cây (W.A. Kirk 2004). Cho đến nay có khoảng 10000
công trình về định lý điểm bất động, được công bố trên các tạp chí toán học.
Năm 2007, L-G. Huang and X.Zang [1] với bài báo ‘’cone metric spaces and fixed
poin theorems of contractive mapping’’ đưa ra khái niệm không gian metric nón và đã
đặt nền móng cho điểm bất động trong không gian mới - không gian metric nón. Bài
báo đã vận dụng sáng tạo, đưa định lý ánh xạ co
   


, , , 0,1d Tx Ty kd x y k

Bố cục luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1: Các khái niệm cơ bản.
Chương 2: Điểm bất động trong không gian metric nón.
Chương 3: Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón.
Trong chương 1 chúng ta trình bày định nghĩa không gian metric, các tính chất
không gian metric, nguyên lý ánh xạ co nhằm mục đích tạo cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 chúng ta đưa ra định nghĩa không gian metric nón. Không gian metric nón
đầy đủ và sự hội tụ theo metric nón. Ở đó tác giả đưa ra kết quả về sự tồn tại và duy
nhất điểm bất động ánh xạ co trong không gian này. Tiếp đó ta mở rộng ánh xạ co và
tìm hiểu điểm bất động chung của các hàm. Chương 3 trình bày ứng dụng điểm bất
động trong không gian metric nón. Trên cơ sở chương 2 chúng ta chứng minh điểm bất
động trong không gian mới như không gian kiểu metric nón, kiểu tích phân, trên lớp
hàm suy rộng dựa trên cách xây dựng không gian metric nón và các kết quả đã có. Cuối
cùng chúng ta xét các điểm bất động đôi của ánh xạ.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên dưới sự hướng
dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển. Tác giả xin bày
- 6 -

tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn
Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán đã nhiệt tình giảng dạy và
giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng
nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 2009-2011 toán học tính toán đã
cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặt
dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót.
Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà nội, ngày16 tháng 11 năm 2011
Tác giả
 
,0d x y 
thì
xy
.
ii.
 
,d x y 0 x y  

iii.
     
, , ,d x y d x z d z y

Nhận xét:
Từ (ii) và (iii) ta có
     
, , ,d x z d x y d y z

Hay

     
, , ,d x z d y z d x y

Đổi vai trò x và y, do (ii) ta có:

       
, , , ,d y z d x z d y x d x y  

Suy ra
iv.


: 0,d X X  
bởi

 
1
,
0
xy
d x y
xy









Dễ thấy d là metric trên X. Khi đó
 
,Xd
là không gian metric rời rạc.
1.2 Sự hội tụ trong không gian metric
Giả sử
 
,Xd
là không gian metric.
Định nghĩa 1.2.1. Dãy

n
n n n n d x x
  
      

Mệnh đề 1.2.2. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử
 
n
x
hội tụ tới x và
x

. Nếu
xx


, ta đặt
 
,d x x



.
Do
0


tồn tại

, , ,
22
nn
d x x d x x d x x



      
12
,n max n n
.
Mâu thuẫn. Vậy
xx


.
1.3 . Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.3.1. Cho
 
X ,d
là không gian metric. Ánh xạ
F : X X
gọi là ánh xạ
Lipschitzian nếu tồn tại hằng số
0



n
lim F x u


và
 
 
 
 
n
n
d F x ,u d x,F x
1




.
Nhận xét:
Hệ số

trong ánh xạ co là một hằng số không phụ thuộc vào từng cặp điểm
 
,xy
.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng nếu

phụ thuộc vào từng cặp điểm
 
,xy











Xác định ánh xạ
:F 
cho bởi
 
1F n n

Khi đó không tồn tại
1


chung cho thỏa mãn
   
 
 
d F n ,F n 1 d x, y


mọi
cặp (m, n). Thật vậy nếu có hệ số


X ,d
là không gian metric đầy đủ và
F : X X
là ánh xạ thỏa
mãn:

   
 
 
d F x ,F y d x, y



x, y X

- 10 -

Trong đó




00: , ,

  
là tự đồng cấu, không giảm, thỏa mãn
 
00
n
n

sao cho
   
n
f t,y f t,z y x x, y

   
,
 
0,Ib
.
Thế thì tồn tại duy nhất
 
1
y C I
là nghiệm của hệ phương trình:

   
0
, ( )
(0)
y t f t y t
yy










Thế thì F có điểm bất động duy nhất trong X.
Định lý 1.3.9. (Schauder’s). Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian
tuyến tính định chuẩn E.
F : C C
là ánh xạ không giãn và F(C) là tập con compact
của C. Thế thì F có điểm bất động.
Định lý 1.3.10. (Browder,
Gohde

,Kirk). Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn
của không gian Hilbert (thực) H và
F : C C
là ánh xạ không giãn. Thế thì F có ít
nhất một điểm bất động.
Từ những năm 60 nhiều nhà toán học mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach bằng
cách đưa ra những khái niệm ánh xạ co mới. Để tiện theo dõi chúng tôi xin nhắc lại một
số lớp ánh xạ co tiêu biểu.
- 11 -

Dạng co Krasnoselskii:
   
 
   
d T x ,T y k a,b d x, y
nếu
 
a d x, y b
, ở đây
 

 
00r r, r   
.
Dạng co Meir-Keeler:
00,   
sao cho

     
 
d x, y d T x ,T y        

Trong những năm tiếp theo nhiều dạng ánh xạ co được mở rộng thành các ánh xạ co
suy rộng. Chẳng hạn Boyd-Wong
   
 
   
d T x ,T y r d x,y
được mở rộng như
sau:

   
 
     
 
 
 

 
 
 

một nón không nhất thiết là một tập lồi.
- 12 -

Một nón gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
Ví dụ 1.4.2.
 
0C x x  
là một nón không lồi.
Định lý 1.4.3. Một tập C là một nón lồi khi và chỉ khi thỏa mãn:
i)
C C, 0,   

ii)
C C C
.
Chứng minh. Giả sử C là nón lồi. Do C là nón nên có (i). Do C là một tập lồi nên với
mọi
x, y C
, thì
 
1
2
x y C
. Vậy theo (i) ta có
x y C
.
Ngược lại giả sử có (i) và (ii). Từ (i) suy ra ngay C là một nón. Giả sử
x, y C
và
 

Chương 2

Điểm bất động
trong không gian metric nón

2.1. Không gian metric nón
Định nghĩa 2.1.1. Cho E là không gian Banach thực. Tập
PE
gọi là một nón trong E
nếu thỏa mãn:
i) P đóng,

và
 
0P 

ii)
a,b R, a,b 0 và x,y P  
thì
ax by P

iii) x

P và -x

1
n
n
x

là dãy thỏa
mãn
12
x x y  
với y

E thì

xE
:
n
n
lim x x 0


.
Bổ đề 2.1.2.
i) Mọi nón chính quy là chuẩn tắc
ii) Mọi
1,



tồn tại nón chuẩn tắc với hệ số
K

fg
, suy ra P là nón không chuẩn tắc.
Định nghĩa 2.1.4. Cho X là tập khác

và E là không gian Banach thực với quan hệ
thứ tự bộ phận

đối với nón P. Giả sử rằng
:d X X E
thỏa mãn:
i)
 
,,0 d x y x y X  

ii)
 
,d x y 0 x y  

iii)
     
, , ,d x y d x z d z y

Khi đó d gọi là tựa metric nón trên X. Cặp
 
X ,d
gọi là không gian tựa metric nón
Hơn nữa nếu d thỏa mãn
iv) d (x, y)=d (y, x)
,x y X
thì d gọi là metric nón trên X và cặp

X ,d
là không gian metric nón, P chuẩn tắc hệ số K=1.
Ví dụ 2.1.6. E=L
1
,
 
 
:0
nn
nN
P x E x n

      
 
, , / 2
n
d x y x y



Suy ra
 
X ,d
là không gian metric nón.
Định nghĩa 2.1.7. Cho
 
X ,d


Kí hiệu
lim
n
n
xx


hoặc
n
xx

ii)
 
n
x
là dãy Cauchy nếu
cE
,
0c 
,
0
n
:
 
0
, : ,
mn
m n n d x x c 


d x x 
)
ii)
 
n
x
là dãy Cauchy
 
,0
nm
d x x

iii)
n
xx
,
n
yy
thì
 
 
,,
nn
d x y d x y

Chứng minh:
i) Giả sử
 
n
x

,0
n
d x x 
.
Ngược lại, giả sử
 
,0
n
d x x 
. Lấy
cE
với
0 c
và
0


sao cho
x


thì
c x int P
. Từ đó

là N. Với
nN
,
 
,

Kc


,
tồn tại
0N 
:
,n m N
,
( , )
nm
d x x c
. Từ đó
 
,
nm
d x x K c


nghĩa là
 
,0
nm
d x x 
.
Ngược lại, Lấy
cE
với
0 c
và

Vậy
 
n
x
là dãy Cauchy.
iii) Với
0


chọn
cE
với
0 c
và
42
c
K



. Từ
n
xx
,
n
yy
tồn tại
N0
:
nN

d x y d x y d x y c d x y c     
4K 2c c

  
.
Vậy
   
, , ( )
nn
d x y d x y n 
.

Định nghĩa 2.1.9.
 
X ,d
là không gian metric nón và
:f X X
. Nếu
n
xx
kéo
theo
 
 
n
f x f x
thì f gọi là liên tục trên X.

,fu gu u X
thì
fgu gfu
.
Mệnh đề 2.1.12. Cho g và f là tương thích yếu trên X. Nếu f và g có điểm chung
w fx gx
thì w là điểm bất động chung duy nhất của f và g.
Chứng minh:
Từ
w fx gx
và f, g là tương thích yếu nên ta có
fw gfx gfx gw
nghĩa là
fw gw
là điểm chung của f và g. Nhưng w là điểm chung của f và g nên
w fw gw
. Hơn nữa nếu
z fz gz
thì z là điểm chung của f và g. Do tính duy nhất
nên
zw
. Từ đó w là điểm bất động chung duy nhất của f và g.
Ví dụ 2.1.13. Lấy
2
E  

Định nghĩa
, : ,g f X X
Định lý 2.2.2. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón đầy đủ
f : X X
là ánh xạ thoả
mãn
   
 
 
d f x , f y kd x, y
với


01k , ,
x, y X
. Thế thì f có điểm bất động duy
nhất, hơn nữa
xX
dãy {f
n
(x)} hội tụ tới điểm bất động.
Chứng minh:
Chọn
0
xX
. Xét tập
     
1 0 2 1 n 1 n
x f x ,x f x , ,x f x

d x ,x d x ,x d x ,x d x ,x
k k k d x ,x
k
d x ,x
1k
   

   
   



suy ra :

   
10
,,
1
m
nm
k
d x x K d x x
k



Vì
k 
[0,1) nên
 






- 18 -

Từ đó

 
 
   
* * * *
1
, . , , 0
nn
d f x x K k d x x K d x x

  

Vậy
 
f x x x
  

là điểm bất động của f.
Tính duy nhất : giả sử
 
f y y


 
 
 
22
0 0 1 0 0 1X x, : x ,x : x        

Định nghĩa
d : X X E
xác định bởi

   
 
4
,0 , ,0 ,
3
d x y x y x y

  

   
 
2
0, , 0, ,
3
d x y x y x y

  

 
1
,0 ,0
2
f x x





Khi đó f thỏa mãn điều kiện :

   
 
   
 
   
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3
, , , , , , , , , ,
4
d f x x f y y d x x y y x x y y X  

Theo định lý (2.1.2), f có điểm bất động duy nhất
 
00,X
.
2.3. Mở rộng ánh xạ co.
Định lý 2.3.1. Cho
 

0 1 1
ii
i
x, y X ,a , ; a

  

. (2.1)
Thế thì f có điểm bất động duy nhất, hơn nữa
xX
dãy
 
 
n
fx
hội tụ tới điểm bất
động.
Chứng minh.
Không giảm tổng quát giả sử a
1
= a
2
, a
3
= a
4   
 


   
 
 
 
 
 
22
1 5 3
22
, , ,
11
a a a
d f x f x d x f x d x f x
aa



(2.2)
Từ
   
 
 
 
 
 
22
, , ,d f x f x d f x x d f x x
và (2.2) ta được


,,
1
a a a
d f x x d x f x
aa
  


(2.4)
Thay vào (2.4) vào (2.2) ta có

   
 
 
 
2
1 3 5
23
,,
1
a a a
d f x f x d x f x
aa



(2.5)
Đổi a
1
bởi a



   


   

, suy ra
   
 
 
 
2
,,d f x f x d x f x


.
- 20 -

Lấy m > n ta có :

   
 
   
 
   
 
   
 
1 1 2




Lấy
 
 
11
0, : ,
1
c N d x f x c n N


   

  

Từ đó :
   
 
,
mn
d f x f x c
→
 
 
n
fx

1
,
21
n
c a a
d f x x
aa


 
 
 
 
23
*
1 3 5
1
,
2
m
c a a
d f x x
a a a





, , ,
n n n
n n n
a d f x f x a d f x x a d f x f x
a d f x x a d f x x d f x x


  
   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* 1 * * *
1 1 2
* * 1 * *
3 3 4

11
nn
a a a
aa
d f x x d f x x
a a a a




   22
cc
c  Từ đó
 
 
**
,1
c
d f x x m
m

.
- 21 -


là không gian metric nón đầy đủ.
f : X X
thỏa mãn

   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f x f y k d f x x k d f y y
(2.7)
với
1 2 1 2
01k ,k ,k k  
. Khi đó f có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh:
Hệ quả (2.2.3) suy trực tiếp từ định lý (2.2.2) bằng cách cho

1 1 2 2
a =k ,a =k ,

3 4 5 6
a =a =a =a 0

Hệ quả 2.3.4. Cho
 
X ,d
là không gian metric nón đầy đủ.

 
 
 
 
 
, , ,d f x f y k d f x x d f y y



(2.9)
với
1
0, , ,
2
k x y X





. Khi đó f có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh:
Theo (2.7) ta có:
   
 
 
 
 
 
12

 
   
 
d f x , f y d f y , f x
nên:

   
 
 
 
 
 
12
, , ,
2
kk
d f x f y d f y y d f x x





Đặt
12
kk
k
2


ta được (2.9). Áp dụng hệ quả (2.2.3) ta có kết quả cần chứng minh.

Chứng minh:
Theo (2.8) ta có:
   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f x f y k d f x y k d f y x
(2.13)
Tráo vai trò x và y ta được:

   
 
 
 
 
 
12
, , ,d f y f x k d f y x k d f x y
(2.14)
Cộng 2 vế (2.13) và (2.14)

   
 
   
 
   
 

12
kk
k
2


ta được (2.12). Áp dụng hệ quả (2.2.4) ta có kết quả cần chứng minh.
2.4. Điểm bất động chung của các ánh xạ
Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu điểm bất động chung của hai ánh xạ và ba ánh
xạ.
Định nghĩa 2.4.1. Cho
( , )Xd

là không gian metric nón. Giả sử ánh xạ
,:f g X X

thỏa mãn:
i.
( ) ( )f X g X

ii.
()fX
hoặc
()gX
đầy đủ trong
X

- 23 -

Khi đó cặp

3 4 5
( , ) , ,a d f y g x a d f x g y a d g y g x  

(2.15)

Khi đó f và g có điểm chung trong X. Hơn nữa f, g tương thích yếu thì f, g có điểm bất
động chung duy nhất.
Chứng minh:
Giả sử f thỏa mãn (2.15)

   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
, , ,
, , ,
d f x f y kd f x g x kd f y g y
ld f y g x ld f x g y md g y g x

  
(2.16)
Với

sao cho
   
1
.
nn
g x f x



Nếu
   
1nn
f x f x n

  
thì
 
 
n
fx
là dãy Cauchy.
Giả sử rằng
   
1nn
f x f x n N

  
. Sử dụng (3.2) và
   
1nn

n n n n n n
n n n n
d f x f x kd f x f x kd f x f x
ld f x f x ld f x f x ld f x f x
k l m
md f x f x d f x f x
kl
  



  




Do đó:

   
 
 
 
 
1 0 1
,,
1
n
nn
k l m
d f x f x d f x f x

1
1 2 1
12
01
01
,,
, ,
,
,
1
n m n n
n n m m
n n m
m
d f x f x kd f x f x
kd fx f x kd f x f x
k k k d f x f x
k
d f x f x
k

  


  
   



ở đây

,,
nm
d f x f x c n m
. Chứng tỏ
 
 
n
fx
là dãy Cauchy
Theo giả thiết
 
fX
hoặc
 
gX
đầy đủ nên tồn tại
 
*
x g X
sao cho
 
*
n
f x x
và
 
*
n
g x x


d f x f y kd f x g x kd f y g y
ld f y g x ld f x g y md g y g x

  

Cho
n  
ta được:

 
 
   
 
 
 
 
 
   
 
**
**
, , ,
,,
d x f y kd f y g y ld f y x
md g y x k l d x f y

  

Từ đó
   

 
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* * * *
* * * *
, , , ,
, , 2 , 2 ,
d f x f y kd f x g x kd f y g y ld f y x
ld f x g y md g y g x ld f y g x ld f y f x
  
   

Từ đó suy ra

,.x y X
Thế thì
,fg
có điểm chung duy nhất. Hơn nữa
,fg
tương thích yếu thì
f và g có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh:
Từ định lý (2.4.2) cho
1 2 3 4 5
0,a a a a a

    
ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.4.5. Lấy
 
1
, 0,1
R
X E C
và
 
:0PE

  

Định nghĩa
:d X X E
xác định bởi
 










,
 
 
10
00
xx
gx
x

   




,
1, R



Dễ thấy rằng:
   

   
 
,,
,
2
d f x g x d f y g y
d f x f y



(2.18)