BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
LÊ THỊ THANH HOA
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC XÁC SUẤT CÓ KÌ VỌNG TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 604601
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: TS. Hà Đức Vượng
Hà Nội - 2010
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Hà Đức
Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm
quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm, động
viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên trong học tập và
vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả
xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
thầy.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã
tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả
Lê Thị Thanh Hoa
LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác

toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong khoa học cũng như trong kỹ thuật nhiều bài toán dẫn tới việc
nghiên cứu vấn đề sau:
Với không gian X bất kỳ, M là một tập hợp con của X, A: M −→ M
là ánh xạ từ M vào chính nó. Xét phương trình Ax = x, với các điều kiện
cụ thể ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của nó. Khi đó, điểm x ∈ M thỏa
mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên
tập hợp M. Việc nghiên cứu về điểm bất động đã thu hút đông đảo các
nhà toán học quan tâm. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình
thành nên “Lý thuyết điểm bất động”.
Sự phát triển của “Lý thuyết điểm bất động” gắn liền với tên tuổi của các
nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov,
Kakutani, Ky Fan,. . . Một trong những định lý nổi tiếng trong lý thuyết
này là định lý điểm bất động Banach hay chính là Nguyên lý ánh xạ co
Banach.
Theo dòng lịch sử, Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo hai
hướng chính:
Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên tục,
mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912).
Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng co,
mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).
2
Năm 1942, K. Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”. Đó là
sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách d(x, y) giữa hai điểm x, y trong không gian metric (X, d),
người ta xét hàm phân bố F

tài liệu tham khảo.
3
Chương 1 trình bày các khái niệm về hàm phân bố, chuẩn tam giác để
từ đó xây dựng định nghĩa về không gian metric xác suất và không gian
định chuẩn xác suất.
Như ta đã biết, “Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)” là kết quả kinh
điển của “Lý thuyết điểm bất động”. Năm 1972, V. M. Sehgal và A. T.
Bharucha – Reid mở rộng kết quả về điểm bất động của ánh xạ co Banach
trong không gian metric sang không gian metric xác suất. Kết quả đó được
trình bày trong Định lý 1.1.1.
Trong không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆), nếu t - chuẩn
thỏa mãn điều kiện ∆ (a, a)  a, ∀a ∈ [0; 1) thì (X, F, ∆) chứa một họ giả
metric. Đó chính là nội dung Định lý 1.1.2.
Phần cuối của chương này, tác giả trình bày về không gian định chuẩn
xác suất.
Với mỗi không gian định chuẩn xác suất (X, F, min) ta có thể xây dựng
được một không gian lồi địa phương tách {X, p
λ
: λ ∈ (0; 1)} (với p
λ
là nửa
chuẩn trên X) mà tôpô của chúng trùng nhau.
Chương 2 nói về điểm bất động trong không gian metric cầu. Đầu
chương, tác giả trình bày những kiến thức cơ bản về không gian metric
như: định nghĩa không gian metric, sự hội tụ, dãy Cauchy, không gian
metric đầy đủ.
Tiếp đó, tác giả trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và một số ví dụ
ứng dụng của nó.
Phần cuối tác giả trình bày một khái niệm mới là không gian metric
cầu. Không gian metric cầu được định nghĩa gần như tương tự không

Nghiên cứu các kết quả đã đạt được về điểm bất động không gian metric
xác suất, không gian metric cầu và không gian metric xác suất có kỳ vọng
toán học.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về: “Điểm bất động trong không gian metric xác suất
có kỳ vọng toán học”.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo.
5
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới
Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về nguyên lý ánh xạ
co trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Khái niệm “Metric xác suất” được nhà toán học Menger đưa ra vào năm
1942, thay cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố
F
x,y
(t) biểu diễn xác suất để d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó. Khái
niệm này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới.
Chương này tác giả trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian
metric xác suất, hàm phân bố, chuẩn tam giác và kết quả về điểm bất
động của V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid. Sau đó giới thiệu về
không gian định chuẩn xác suất và xây dựng tôpô trong không gian này.
1.1. Không gian metric xác suất
1.1.1. Hàm phân bố
Định nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ bất
kỳ T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên tại x

inf
t∈R
F (t) = 0, sup
t∈R
F (t) = 1.
Ví dụ 1.1.1. Cho F : R
+
→ [0; 1] được xác định như sau:
F
x,y
(t) =





t
t + d (x, y)
nếu t > 0
0 nếu t = 0
với ∀x, y ∈ R
+
.
Khi đó F
x,y
(t) là một hàm phân bố.
8
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh F
x,y

t
2
+ d (x, y)
.
Ta phải chứng minh F
x,y
(t
1
)  F
x,y
(t
2
).
Thật vậy, ta có
t
2
t
2
+ d (x, y)
−
t
1
t
1
+ d (x, y)
=
(t
2
− t
1

+ d (x, y)) (t
1
+ d (x, y))
 0.
Hay
t
2
t
2
+ d (x, y)
−
t
1
t
1
+ d (x, y)
 0.
Ta có
F
x,y
(t
1
)  F
x,y
(t
2
) .
Vậy F
x,y
(t) là hàm không giảm.


= lim
t→+∞
1 − lim
t→+∞
d (x, y)
t + d (x, y)
= 1.
9
Vậy sup
t∈R
+
F
x,y
(t) = 1.
Mặt khác, do F
x,y
(t) = 0 khi t = 0 nên hiển nhiên ta có inf
t∈R
+
F
x,y
(t) = 0.
Vậy F
x,y
(t) là hàm phân bố.
✷
1.1.2. Chuẩn tam giác
Định nghĩa 1.1.4. [22] Một ánh xạ ∆: [0; 1] ×[0; 1] −→ [0; 1] được gọi là
một chuẩn tam giác (triangular norm) hay viết tắt là t - chuẩn nếu những

3
.
Thật vậy:
Ta có
∆
1
(a, b) = max{a + b −1, 0} =



0 nếu a + b − 1 < 0
a + b − 1 nếu a + b − 1  0.
10
Vì a, b ∈ [0; 1] nên a − 1  0, b − 1  0 suy ra
ab − a − b + 1  0 ⇐⇒ ab  a + b − 1.
Vì vậy ∆
1
 ∆
2
.
Mặt khác, do a, b ∈ [0; 1] nên ab  min{a, b}, hay ∆
2
 ∆
3
.
Vậy ta có
∆
1
 ∆
2

x,y
(t
1
+ t
2
) = 1, ∀x, y, z ∈ X.
Ví dụ 1.1.2. Cho không gian metric (X, d), xác suất P . Với mọi x, y ∈ X,
mọi t ∈ R đặt F
x,y
(t) = P {d (x, y) < t}.
Họ các hàm phân bố F = {F
x,y
(·)}, ∀x, y ∈ X là một metric xác suất
trên X.
Khi đó ta có (X, F) là một không gian metric xác suất.
Chứng minh.
Ta kiểm tra các điều kiện trong Định nghĩa 1.1.5:
1. Do d(x, y)  0, ∀x, y ∈ X nên
F
x,y
(0) = P {d(x, y) < 0} = P (∅) = 0.
11
2. Ta chứng minh F
x,y
(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ P {d (x, y) < t} = 1, ∀t > 0.
Nếu x = y =⇒ d (x, y) > 0. Đặt t
1
= d (x, y),
do tính trù mật của tập R nên
t

y,x
(t).
Vậy F
x,y
(t) = F
y,x
(t).
4. Giả sử ta có
F
x,y
(t) = P {d(x, y) < t} = 1, ∀x, y ∈ X, ∀t ∈ R,
F
y,z
(s) = P {d(y, z) < s} = 1, ∀x, y ∈ X, ∀s ∈ R.
Ta cần chứng minh F
x,z
(t + s) = P {d(x, z) < t + s} = 1.
Thật vậy, do
F
x,y
(t) = P {d(x, y) < t} = 1 ⇐⇒ d(x, y) < t, ∀x, y ∈ X,
12
F
y,z
(s) = P {d(y, z) < s} = 1 ⇐⇒ d(y, z) < s, ∀y, z ∈ X.
Suy ra
d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) < t + s, ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó
F
x,z

tra điều kiện 4 của Định nghĩa 1.1.6.
Thật vậy, giả sử F
x,y
(t) = 1, F
y,z
(s) = 1, ∀t, s ∈ R, với mọi x, y, z ∈ X thì
F
x,z
(t + s)  ∆ (F
x,y
(t) , F
y,z
(t))
= ∆ (1, 1)
= 1.
13
Do định nghĩa của hàm phân bố: sup
t∈R
F
x,y
(t) = 1 nên suy ra F
x,z
(t + s) = 1.
Vậy không gian metric xác suất Menger là trường hợp riêng của không
gian metric xác suất.
Nhận xét 1.1.3. Nếu (X, F, ∆) là một không gian metric xác suất Menger
thì nó là một không gian tô pô Hausdorff, tô pô sinh bởi một họ (ε, λ)-
lân cận:
{U
x

Định nghĩa 1.1.8. [22] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆) .
Dãy {x
n
} ⊂ X được gọi là một dãy Cauchy nếu với ε > 0 và λ > 0 tùy ý,
tồn tại một số nguyên dương N = N (ε, λ) sao cho F
x
n
,x
m
(ε) > 1 − λ với
mọi n, m > N.
Điều này nghĩa là:
Với ε > 0 và λ > 0 tùy ý, ∃N = N (ε, λ) , N ∈ N sao cho F
x
n
,x
m
(ε) > 1 −λ
với mọi n, m > N. Tức là lim
n,m→∞
F
x
n
,x
m
(ε) = 1.
14
Định nghĩa 1.1.9. [22] Một không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆)
được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểm
thuộc X.

n
(t) , ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .
⇐⇒ F
x
n
,x
n+1
(t)  F
x
n−1
,x
n

t
h

, ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .
Suy ra
F
x
n
,x
n+1

t
2h

 F
x
n−1

t
2
+
t
2

 ∆

F
x
n
,x
n+1

t
2

, F
x
n+1
,x
n+m

t
2

= min

F
x

,x
n+2

t
4

, F
x
n+2
,x
n+m

t
4

. . . . . . . . .
 min

F
x
n
,x
n+1

t
2

, F
x
n+1

n+1

t
2

, . . . , F
x
n+m−1
,x
n+m

t
2
m

. (1.2)
Từ (1.1) và (1.2) ta có
F
x
n
,x
n+m
(t)  F
x
1
,x
2

t
2


t
2
m
h
n−1

> 1 −λ.
Suy ra
F
x
n
,x
n+m
(t) > 1 − λ.
Khi đó ta có
lim
n→∞
F
x
n
,x
n+m
(t) = 1.
Vậy {x
n
} là dãy Cauchy.
✷
Định nghĩa 1.1.10. [27] Cho (X, F, ∆) là không gian metric xác suất
Menger. Giả sử ∆ (a, b) = min {a, b}. Ánh xạ T từ không gian metric xác

F
x
n
,x
n+1
(t)  F
x
n−1
,x
n

t
k

, ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .
với k là hằng số, k ∈ (0; 1).
Chứng minh tương tự Ví dụ 1.1.3 ta có {x
n
} là dãy Cauchy trong (X, F, ∆).
Do đó {x
n
} hội tụ tới phần tử x
∗
thuộc X:
lim
n→∞
x
n
= x
∗

∗
,x
∗
(t) = F
T x
∗
,x
∗

t
2
+
t
2

 ∆

F
T x
∗
,x
n

t
2

, F
x
n
,x

,T x
n−1

t
2

, F
x
n
,x
∗

t
2

.
Từ (1.3) ta có
F
T x
∗
,x
∗
(t)  min

F
x
∗
,x
n−1


x
∗
,x
n−1

t
2k

→ 1 khi n → ∞.
Suy ra
F
T x
∗
,x
∗
(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ Tx
∗
= x
∗
.
Vậy x
∗
là điểm bất động của ánh xạ T .
Cuối cùng ta chứng minh x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T .
Thật vậy giả sử điểm y
∗
cũng là điểm bất động của ánh xạ T , thì ta có
F


 F
x
∗
,y
∗
(t) .
Suy ra
F
x
∗
,y
∗

t
k

= F
x
∗
,y
∗
(t) , ∀t > 0.
Vậy F
x
∗
,y
∗
(t) là hàm hằng ∀t > 0.
Mặt khác, vì sup F

được gọi là một họ giả metric nếu:
1. d
λ
(x, x) = 0, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1) ,
2. d
λ
(x, y) = d
λ
(y, x) , ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1) ,
3. d
λ
(x, z)  d
λ
(x, y) + d
λ
(y, z) , ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1).
Định lý 1.1.2. [26] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆),
nếu t- chuẩn ∆ thỏa mãn điều kiện
∆ (a, a)  a, ∀a ∈ [0; 1] ,
thì không gian metric xác suất Menger (X, F, ∆) chứa một họ giả metric.
Chứng minh.
Với λ ∈ (0; 1) và mọi x, y ∈ X, ta đặt
d
λ
(x, y) = sup {t : F
x,y
(t)  1 − λ}.
Hiển nhiên d
λ
: X × X → R.

(t), ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X
ta có:
d
λ
(x, y) = sup {t ∈ R : F
x,y
(t)  1 − λ}
= sup {t ∈ R : F
y,x
(t)  1 − λ}
= d
λ
(y, x) .
Vậy d
λ
(x, y) = d
λ
(y, x).
3. Do d
λ
(x, y) = sup {t ∈ R : F
x,y
(t)  1 − λ}, ∀λ ∈ (0, 1).
Theo định nghĩa của supremum, ∃t
n
∈ {t
n
} sao cho t
n
−→ d

(t)  1 − λ}.
d
λ
(x, y) < ε =⇒ ε > sup {t : F
x,y
(t)  1 − λ}.
Do đó
F
x,y
(ε) > 1 − λ.
Ngược lại,
F
x,y
(ε) > 1 − λ =⇒ ε > sup {t : F
x,y
(t)  1 − λ} = d
λ
(x, y) .
20
Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức tam giác bằng phản chứng.
Giả sử ∃λ ∈ (0; 1) , ∃x, y, z ∈ X sao cho:
d
λ
(x, z) > d
λ
(x, y) + d
λ
(y, z) , ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó ∃t, s ∈ R sao cho
d

c = d
λ
(y, z) < t ⇐⇒ F
y,z
(t) > 1 − λ.
Và do
F
x,z
(t + s)  min {F
x,y
(s) , F
y,z
(t)} > 1 − λ.
Nên
d
λ
(x, z) < t + s.
Mâu thuẫn với (1.6).
Vậy ta có:
d
λ
(x, z)  d
λ
(x, y) + d
λ
(y, z) , ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1) .
Cuối cùng ta chứng minh từ điều kiện ∆ (a, a)  a suy ra
∆ (a, b) = min {a, b}, ∀a, b ∈ [0; 1] .
Thật vậy, giả sử a  b, theo điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.4 và điều kiện
∆ (a, a)  a, ∀a ∈ [0; 1] ,