BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ OANH

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ
ĐÔI, BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013


i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ OANH

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ
ĐÔI, BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề được quan tâm nghiên
cứu trong giải tích, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi,
các bao hàm thức vi phân và trong nhiều ngành kỹ thuật khác. Một số kết quả
về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong
đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ
co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1922). Các kết quả kinh điển
này đã được mở rộng cho các lớp ánh xạ và các lớp không gian khác nhau. Một
trong những hướng mở rộng đó là đưa ra khái niệm điểm bất động của ánh xạ
từ không gian tích X × X hoặc X × X × X vào X (gọi là điểm bất động bộ
đôi, bộ ba) và tìm điều kiện cho sự tồn tại điểm bất động bộ đôi, bộ ba. Năm
2006, Bhashkar và Lakshmikantham [5] đã đưa ra các khái niệm điểm bất động
bộ đôi và nghiên cứu một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong
không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận. Khái niệm điểm bất động bộ ba
được giới thiệu và nghiên cứu bởi Berinde và Borcut [4] vào năm 2011. Những
người đạt được nhiều kết quả về hướng này là B.Samet, L.Civic, Jay G.Mehta,
M.L.Joshi, Berinde, Borcut. . .
Mục đích của chúng tôi là tiếp cận hướng này để tìm hiểu về lý thuyết điểm
bất động bộ đôi và điểm bất động bộ ba của các ánh xạ trong không gian
mêtric đầy đủ với thứ tự bộ phận. Với mục đích đó, luận văn được viết thành
hai chương.
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi
Mục đầu tiên của chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản
về không gian mêtric, ánh xạ liên tục, thứ tự bộ phận,... mà chúng ta cần dùng
trong luận văn. Mục thứ hai trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất
động bộ đôi của các ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp trong không
gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động bộ ba trong không gian mêtric
có thứ tự bộ phận
Mục đầu tiên của chương này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm


CHƯƠNG 1
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi
của các ánh xạ trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric,
ánh xạ liên tục, thứ tự bộ phận, . . . mà chúng cần dùng trong luận văn. Các kết
quả này được lấy trong [1] hoặc [2].
1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X khác rỗng. Hàm d : X 2 → R thỏa mãn
các điều kiện
1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X;
được gọi là một mêtric (hay khoảng cách) trên X.
Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là một không gian mêtric và
ký hiệu là (X, d) hoặc X.
1.1.2 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X, d) và tập con M của X. Ta
xác định hàm dM : M 2 → R cho bởi dM (x, y) = d(x, y) với mọi x, y ∈ M . Khi
đó dM là một mêtric trên M . Ta gọi không gian mêtric (M, dM ) là không gian
con của không gian (X, d) .
Mêtric dM được gọi là mêtric cảm sinh bởi mêtric d trên M .
1.1.3 Định nghĩa. Dãy {xn } trong không gian mêtric (X, d) được gọi là
3


4

hội tụ tới x ∈ X và kí hiệu là xn → x hoặc lim xn = x nếu d(x, xn ) → 0 khi

Tập X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ
phận và ký hiệu là (X, ≤) hoặc X.


5

Nếu x ≤ y mà x = y thì ta viết x < y.
Ta có thể viết y ≥ x thay cho x ≤ y và y > x thay cho x < y.
Tập X được gọi là sắp tuyến tính nếu trên X có một quan hệ hai ngôi ≤ có
tính bắc cầu và với mọi x, y ∈ X mà x = y thì x < y hoặc y < x.
1.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co suy rộng
trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận
Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của
các ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric đầy
đủ có thứ tự bộ phận.
1.2.1 Định nghĩa ([10]). Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận
và ánh xạ F : X 2 → X. Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp nếu với x, y ∈ X ta
có
x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 suy ra F (x1 , y) ≤ F (x2 , y),
y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 suy ra F (x, y1 ) ≥ F (x, y2 ).
1.2.2 Định nghĩa ([10]). Ta gọi phần tử (x, y) ∈ X 2 là một điểm bất động
bộ đôi của ánh xạ F : X 2 → X nếu F (x, y) = x và F (y, x) = y.
Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Khi đó, trên không gian
tích X 2 ta xác định một thứ tự bộ phận như sau
(x, y), (u, v) ∈ X 2 , (u, v) ≤ (x, y) khi và chỉ khi x ≥ u, y ≤ v.
Sau đây chúng tôi đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm tính đơn điệu hỗn
hợp và điểm bất động bộ đôi.
1.2.3 Ví dụ. 1) Giả sử p : R2 → R là hàm được cho bởi công thức p(x, y) = x
với mọi (x, y) ∈ R2 .
Khi đó, nếu trên R ta xét quan hệ ≤ thông thường thì p có tính đơn điệu

 x+y =y
 y=0
Vậy (0, 0) là điểm bất động bộ đôi duy nhất.
Sau đây chúng tôi trình bày các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của
các điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp
trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
1.2.4 Định lý ([10]). Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận,
d là một mêtric trên X sao cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và
F : X 2 → X là ánh xạ liên tục có tính đơn điệu hỗn hợp trên X. Với mọi
(x, y), (u, v) ∈ X 2 , đặt
2 + d(u, F (u, v)) + d(v, F (v, u))
,
2 + d(x, u) + d(y, v)
2 + d(x, F (x, y)) + d(y, F (y, x))
d(u, F (u, v))
.
2 + d(x, u) + d(y, v)

M ((x, y), (u, v)) = min d(x, F (x, y))

Khi đó, nếu
i) Tồn tại α, β > 0 với α + β < 1 sao cho
d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αM ((x, y), (u, v)) +
với mọi (x, y), (u, v) ∈ X 2 mà x ≥ u, y ≤ v;

β
[d(x, u), d(u, v)]
2

(1.1)


β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )
)
1−α
2

(1.3)

và
β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )
)
.
1−α
2
Thật vậy, với n = 1 từ x1 ≥ x0 , y1 ≤ y0 và từ (1.1) ta có
d(yn+1 , yn ) ≤ (

(1.4)

d(x2 , x1 ) = d(F (x1 , y1 ), F (x0 , y0 ))
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
2
2 + d(x0 , F (x0 , y0 )) + d(y0 , F (y0 , x0 ))
≤ αd(x1 , F (x1 , y1 ))
2 + d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
≤ αM ((x1 , y1 ), (x0 , y0 )) + β


8


2 + d(y0 , y1 ) + d(x0 , x1 )
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
+β
2
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
= αd(y1 , y2 ) + β
.
2
Từ đó, suy ra
β
[d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
.
1−α
2
Bây giờ, giả sử (1.3) và (1.4) đúng với n. Ta chứng minh (1.3) và (1.4) đúng
d(y2 , y1 ) ≤

với n + 1.
Từ giả thiết xn+1 ≥ xn ,yn+1 ≤ yn và từ (1.3), (1.4) ta có
d(xn+2 , xn+1 ) = d(F (xn+1 , yn+1 ), F (xn , yn ))
[d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )]
2
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ αd(xn+1 , xn+2 )
2 + d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )
[d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )]
+β
2
[d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )]
= αd(xn+1 , xn+2 ) + β

2

β
< 1, và từ (1.3), (1.4) ta suy ra {xn }, {yn } là hai dãy Cauchy.
1−α
Mặt khác, vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, nên tồn tại (x, y) ∈ X 2 sao

Vì 0


(1.6)

Từ giả thiết dãy không giảm {xn } hội tụ tới x và dãy không tăng {yn } hội tụ
tới y, theo (i) và (ii) ta có x ≥ xn và y ≤ yn , với mọi n. Từ điều kiện trên, ta
có,
β
[d(x, xn ) + d(y, yn )]
2
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ αd(x, F (x, y))
2 + d(x, xn ) + d(y, yn )
β
+ [d(x, xn ) + d(y, yn )].
2

d(F (x, y), F (xn , yn )) ≤ αM ((x, y), (xn , yn )) +

Từ (1.6) ta suy ra
d(F (x, y), x) ≤ αd(x, F (x, y))

2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
2 + d(x, xn ) + d(y, yn )

β
+ [d(x, xn ) + d(y, yn )] + d(xn+1 , x)
2
→ αd(x, F (x, y)) với n → +∞.
Điều đó kéo theo
(1 − α)d(F (x, y), x) ≤ 0

11

Do đó, d(F (y, x), y) = 0, suy ra F (y, x) = y. Vậy, F có điểm bất động bộ đôi
(x, y).
1.2.6 Định lý ([10]). Giả sử với mọi (x, y), (x∗ , y ∗ ) ∈ X 2 tồn tại (z1 , z2 ) ∈
X 2 sao cho (z1 , z2 ) so sánh được với (x, y) và (x∗ , y ∗ ). Nếu thêm điều kiện này
vào giả thiết của Định lý 1.2.4 thì F có duy nhất một điểm bất động bộ đôi.
Chứng minh. Giả sử (x∗ , y ∗ ) là một điểm bất động bộ đôi khác của F thì
F (x∗ , y ∗ ) = x∗ và F (y ∗ , x∗ ) = y ∗ . Ta cần chứng minh
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = 0,

(1.8)

trong đó
lim F n (x0 , y0 ) = x và lim F n (y0 , x0 ) = y.

n→+∞

n→+∞

Ta phân ra hai trường hợp.
Trường hợp 1: (x, y) so sánh được với (x∗ , y ∗ ) theo thứ tự trong X 2 . Khi đó,
với mọi n ∈ N, ta có
(F n (x, y), F n (y, x)) = (x, y) so sánh được với (F n (x∗ , y ∗ ), F n (y ∗ , x∗ )) = (x∗ , y ∗ ).
Mặt khác
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = d(F n (x, y), F (x∗ , y ∗ )) + d(F n (y, x), F n (y ∗ , x∗ ))
≤ β n [d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ )].
Vì 0 < β < 1 nên
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = 0.
Trường hợp 2: (x, y) không so sánh được với (x∗ , y ∗ ).

= F (xn , yn )
≤ F (yn , yn )
≤ F (yn , xn ) = yn+1 .
Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta kết luận được (1.9) đúng. Mặt khác,
từ (1.9) và điều kiện của phép co, ta có
d(x, y) ≤ d(x, xn+1 ) + d(xn+1 , yn+1 ) + d(yn+1 , y)
= d(x, xn+1 ) + d(F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 )), F (F n (y0 , x0 ), F n (x0 , y0 )))
+d(yn+1 , y)
≤ d(x, xn+1 ) + d(F (yn , xn ), F (xn , yn )) + d(yn+1 , y)
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )
2 + 2d(yn , xn )
+βd(xn , yn ) + d(yn+1 , y)
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )
2
+β[d(xn , x) + d(y, yn )] + d(yn+1 , y) + βd(x, y).
Do đó,
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
2
+β[d(xn , x) + d(y, yn )] + d(yn+1 , y) → 0 với n → +∞.

(1 − β)d(x, y) ≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )


13

Vì 0 < β < 1 nên d(x, y) = 0, ta suy ra x = y
1.2.8 Định lý ([10]). Giả sử (X, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận và (X, d) là
một không gian mêtric đầy đủ, F : X 2 → X là một ánh xạ liên tục, có tính đơn

(1.12) đúng với n + 1. Vì F có tính đơn điệu hỗn hợp, nên
xn+2 = F (xn+1 , yn+1 ) ≥ F (xn , yn+1 ) ≥ F (xn , yn ) = xn+1
và
yn+2 = F (yn+1 , xn+1 ) ≤ F (yn , xn+1 ) ≤ F (yn , xn ) = yn+1 .
Vậy, (1.12) đúng với mọi n ∈ N. Từ đó, ta có
x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ xn+1 ≤ ...


14

và
y0 ≥ y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn ≤ yn+1 ≥ ...
Từ xn+1 ≤ xn và yn+1 ≥ yn , và từ (a), ta có
d(F (xn , yn ), F (xn−1 , yn−1 )) ≤ p min{d(F (xn , yn ), xn ), d(F (xn−1 , yn−1 ), xn )}
+q min{d(F (xn , yn ), xn−1 ), d(F (xn−1 , yn−1 ), xn−1 )}
+ min{d(F (xn , yn ), xn−1 ), d(F (xn−1 , yn−1 ), xn )}.
Vì thế ta có
d(xn+1 , xn ) ≤ p min{d(xn+1 , xn ), d(xn , yn )}
+q min{d(xn+1 , xn−1 ), d(xn , xn−1 )}
+ min{d(xn+1 , xn−1 ), d(xn , yn )}.
Do đó
d(xn+1 , xn ) ≤ qd(xn , xn−1 ).

(1.13)

Tương tự, từ yn−1 ≥ yn , xn−1 ≤ xn và từ (a) ta có
d(F (yn−1 , xn−1 ), F (yn , xn )) ≤ p min d(F (yn−1 , xn−1 ), yn−1 ), d(F (yn , xn ), yn−1 )
+q min{d(F (yn−1 , xn−1 ), yn ), d(F (yn , xn ), yn )}
+ min{d(F (yn−1 , xn−1 ), yn ), d(F (yn , xn ), yn )}.
Vì thế ta có

n→+∞

n→+∞

Với mọi m ≥ n, ta có
d(xm , xn ) ≤ (xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
và
d(ym , yn ) ≤ (yn , yn+1 ) + d(yn+1 , yn+2 ) + ... + d(ym−1 , ym ).
Cộng vế theo vế ta được
d(xm , xn ) + d(ym , yn ) ≤ dn + dn+1 + ... + dm−1
≤ (hn + hn+1 h + ... + hm−1 )d0
hn
d0 .
≤
1−h
Vì 0 < h < 1 nên
lim (d(xm , xn ) + d(ym , yn )) = 0.

m,n→+∞

Từ đó, suy ra {xn } và {yn } là dãy Cauchy trong X. Vì X là không gian mêtric
đầy đủ, nên tồn tại x, y ∈ X sao cho lim xn = x và lim yn = y. Từ (1.11),
n→+∞

n→+∞

ta có
x = lim xn = lim F (xn−1 , yn−1 ) = F ( lim xn−1 , lim yn−1 ) = F (x, y)
n→+∞


Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các
ánh xạ đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
2.1.1 Định nghĩa ([3]). Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận
và F : X 3 → X. Ánh xạ F được gọi là có tính đơn điệu hỗn hợp nếu với mọi
x, y, z ∈ X ta có
x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 suy ra F (x1 , y, z) ≤ F (x2 , y, z),
y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 suy ra F (x, y1 , z) ≥ F (x, y2 , z),
z1 , z2 ∈ X, z1 ≤ z2 suy ra F (x, y, z1 ) ≤ F (x, y, z2 ).
2.1.2 Định nghĩa ([3]). Cho F : X 3 → X. Một bộ (x, y, z) được gọi là
điểm bất động bộ ba của F nếu
F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y và F (z, y, x) = z.
2.1.3 Định nghĩa ([3]). Cho một không gian tích X 3 của một tập có thứ tự
bộ phận (X, ≤), ta định nghĩa thứ tự bộ phận như sau: Với mọi (x, y, z), (u, v, r) ∈

16


17

X 3 , thì
(x, y, z) ≤ (u, v, r) khi và chỉ khi x ≤ u, y ≥ v và z ≤ r.

(2.1)

Ta nói rằng (x, y, z) và (u, v, r) là so sánh được nếu
(x, y, z) ≤ (u, v, r) hoặc (u, v, r) ≤ (x, y, z).
Ngoài ra, ta nói rằng (x, y, z) bằng với (u, v, r) nếu và chỉ nếu x = u, y = v và
z = r.
2.1.4 Định nghĩa ([3]). Cho (X, d) là một không gian mêtric. Một ánh xạ
T : X → X được gọi là ánh xạ ICS nếu T đơn ánh, liên tục và với bất kỳ dãy

Giả sử
a) F liên tục, hoặc
b) X có các tính chất sau:
i) Nếu dãy không giảm xn → x, thì xn ≤ x với mọi n,
ii) Nếu dãy không tăng yn → y, thì yn ≥ y với mọi n.
Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 )
và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ), thì F có một điểm bất động bộ ba.
Chứng minh. Giả sử x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 )
và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ). Đặt
x1 = F (x0 , y0 , z0 ), y1 = F (y0 , x0 , y0 ) và z1 = F (z0 , y0 , x0 ).

(2.4)

Tiếp tục quá trình này, ta có thể xây dựng dãy {xn }, {yn } và {zn } trong X sao
cho
xn+1 = F (xn , yn , zn ), yn+1 = F (yn , xn , yn ) và zn+1 = F (zn , yn , xn ).

(2.5)

Vì F có tính đơn điệu hỗn hợp nên sử dụng phép quy nạp toán học ta có
xn ≤ xn+1 , yn+1 ≤ yn , zn ≤ zn+1 , với n = 0, 1, 2...

(2.6)

Giả sử tồn tại n ∈ N sao cho
xn = xn+1 , yn = yn+1 và zn = zn+1 .
Khi đó, do (2.5) nên (xn , yn , zn ) là một điểm bất động bộ ba của F . Từ bây giờ,
giả thiết rằng với mọi n ∈ N ta có
xn = xn+1 hoặc yn = yn+1 hoặc zn = zn+1 .


max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )}
< max{d(T zn−1 , T zn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )}.
Như vậy, {max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )}} là một dãy các
số dương, giảm. Từ đó, tồn tại r ≥ 0 sao cho
lim max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )} = r ≥ 0.

n→+∞

Giả sử rằng r > 0. Trong (2.11), cho n → +∞ ta được
0 < r ≤ lim φ(max{d(T zn−1 , T zn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )})
n→+∞

= lim+ φ(t) < r,

(2.12)

t→r

Đây là điều mâu thuẫn. Vậy ta kết luận được rằng
lim max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )} = 0.

n→+∞

(2.13)

Ta sẽ chứng minh rằng {T xn }, {T yn }, và {T zn } là các dãy Cauchy. Giả sử
ngược lại, có nghĩa là, {T xn }, {T yn }, hoặc {T zn } không phải là dãy Cauchy,
tức là,




(2.15)

Từ bất đẳng thức tam giác và (2.15), ta có
d(T xmk , T xnk ) ≤ d(T xmk , T xnk −1 ) + d(T xnk −1 , T xnk )
< ε + d(T xnk −1 , T xnk ).
Như vậy, do (2.13) ta có
lim d(T xmk , T xnk ) ≤ lim d(T xmk , T xnk −1 ) ≤ ε.

k→+∞

k→+∞

(2.16)

Tương tự, ta có
lim d(T ymk , T ynk ) ≤ lim d(T ymk , T ynk −1 ) ≤ ε,

(2.17)

lim d(T zmk , T znk ) ≤ lim d(T zmk , T znk −1 ) ≤ ε.

(2.18)

k→+∞

k→+∞

k→+∞



k→+∞

(2.21)

Sử dụng (2.14) và (2.19)-(2.21) ta có
lim max{d(T xmk , T xnk ), d(T ymk , T ynk ), d(T zmk , T znk )}

k→+∞

= lim max{d(T xmk −1 , T xnk −1 ), d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T zmk −1 , T znk −1 )}
k→+∞

= ε.

(2.22)

Bây giờ sử dụng bất đẳng thức (2.3) ta được
d(T xmk , T xnk ) = d(T F (xmk −1 , ymk −1 , zmk −1 ), T F (xnk −1 , ynk −1 , znk −1 ))
≤ φ(max{d(T xmk −1 , T xnk −1 ), d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T zmk −1 , T znk −1 )}),
(2.23)
d(T ymk , T ynk ) = d(T F (ymk −1 , xmk −1 , ymk −1 ), T F (ynk −1 , xnk −1 , ynk −1 ))
≤ φ(max{d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T xmk −1 , T xnk −1 )}),

(2.24)

và
d(T zmk , T znk ) = d(T F (zmk −1 , ymk −1 , xmk −1 ), T F (znk −1 , ynk −1 , xnk −1 ))
≤ φ(max{d(T xmk −1 , T xnk −1 ), d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T zmk −1 , T znk −1 )}).
(2.25)


n→+∞

lim T zn = T z.

(2.28)

n→+∞

Bây giờ giả thiết rằng (a) được thoả mãn, tức là F liên tục. Từ (2.5), (2.27) và
(2.28) ta được
x = lim xn+1 = lim F (xn , yn , zn ) = F ( lim xn , lim yn , lim zn )
n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

= F (x, y, z),
y = lim yn+1 = lim F (yn , xn , yn ) = F ( lim yn , lim xn , lim yn )
n→+∞

n→+∞

n→+∞


2.1.7 Hệ quả ([3]). Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và
(X, d) là một không gian mêtric đầy đủ. Giả sử T : X → X là một ánh xạ ICS,
F : X 3 → X là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp và tồn tại φ ∈ Φ sao cho
d(T F (x, y, z), T F (u, v, w)) ≤ φ

d(T x, T y) + d(T y, T v) + d(T z, T w)
3

với mọi x, y, z ∈ X mà x ≤ u, v ≤ y và z ≤ w.
Giả sử