ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
------------------------------------------

OUTHONG PHONEPASEUTH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN
KHÔNG GIAN KIỂU METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
------------------------------------------

OUTHONG PHONEPASEUTH

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN
KHÔNG GIAN KIỂU METRIC
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2018

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 06 năm 2018
Tác giả

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

iii

MỞ ĐẦU

1

1. Lý do chọn đề tài

1



KIỂU METRIC
2.1. Điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact
theo dãy

17

2.2. Điểm bất động trong không gian kiểu metric sắp thứ tự

28

2.3. Điểm bất động trong không gian metric nón

31

2.4. Điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ

33

2.5. Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân

37
40

KẾT LUẬN

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO


điểm bất động trên các không gian kiểu metric.
1


2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả về không gian metric,
không gian kiểu metric và một số định lý điểm bất động trên các không gian
đó, bao gồm điểm bất động của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact
dãy, điểm bất động trong không gian kiểu metric được sắp thứ tự, điểm bất
động trong không gian metric nón, điểm bất động trong không gian kiểu
metric đầy đủ. Cuối cùng là áp dụng kết quả đạt được vào xét sự tồn tại
nghiệm của phương trình tích phân.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của giải tích hàm.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [4], [8]
và [10], gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần
kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống một vài kết quả về không
gian metric, không gian kiểu metric và một số định lý điểm bất động trên các
không gian đó.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của M. Cosentino, P. Salimi và P. Vetro về điểm bất động
của ánh xạ trong không gian kiểu metric compact dãy, điểm bất động trong
không gian kiểu metric thứ tự, điểm bất động trong không gian metric nón,
điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ. Cuối cùng là áp dụng kết
quả đạt được vào xét sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

2

0

y.

X.

d(y, z ), x, y, z

X.

Khi đó d được gọi là metric hay khoảng cách trên X . Cặp (X , d ) gọi là không
gian metric. Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm, d(x, y ) gọi là khoảng
cách giữa hai điểm x và y .
Sau đây là một vài tính chất của metric:
Mệnh đề 1.1.2.
a ) Nếu x1, x 2,..., x n

X thì

d(x1, x n )

b ) Với mọi x1, x 2, y1, y2

d(x1, x 2 )

d(x 2, x 3 )

...

d(x n 1, x n ).

Mệnh đề 1.1.4.
a ) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
b ) Nếu {x n }

X , lim x n
n

c ) Nếu lim x n
n

x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x .

a và lim yn
n

b thì lim d(x n , yn )

d(a,b).

n

Định nghĩa 1.1.5. Dãy {x n } trong không gian metric X gọi là dãy Cauchy
nếu lim d (x m , x n )
m,n

0.

Định nghĩa 1.1.6. Không gian metric X gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Côsi
trong X đều hội tụ.
1.2. Không gian kiểu metric


n

Dãy {x n }

0 nếu và chỉ nếu lim x n
n

X được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi

nguyên dương n( ) sao cho d(x m , x n )

với mọi m, n

x.
0 , tồn tại một số
n( ) .

Không gian đối xứng (X , d ) được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mỗi dãy
Cauchy của nó hội tụ về một phần tử x

4

X.


Định nghĩa 1.2.2. Cho X là một tập khác rỗng và K
Hàm số d : X

X


metric.

1 , ta có (X, d,1) là không gian metric.

Khi K

Chú ý rằng không gian kiểu metric bao hàm trong lớp các không gian đối
xứng. Vì vậy, các khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy và không gian đầy đủ
được định nghĩa như trong không gian đối xứng. Không gian kiểu metric
(X, d, K ) gọi là compact theo dãy nếu với mọi dãy {x n } trong X , đều tồn tại

dãy con {x n } của {x n } , hội tụ đến một điểm x

X.

k

Sau đây là một vài ví dụ về không gian kiểu metric.
[0,1] và d : X

Ví dụ 1.2.3. Cho X

d(x, y )

(x

y )2 , với mọi x, y

X

|| f

) xác định bởi

[0,

g || với mọi f , g

Cb (X )

4 , do đó (Cb (X ), d, 3 4) là không gian kiểu metric.

Chú ý rằng nếu a,b là hai số thực không âm, thì
(a

b)3

4(a 3

b 3 ) và

Điều này kéo theo
5

3

a

b



{x n }

n 1

:
n 1

p

| xn

| x n |p

.

1/ p

yn |

. Khi đó (X , d ) là một

21/ p.

không gian kiểu metric với K

X, đặt J (x, y)

0, và



d(z, y)]

[d(x, z )

d(z, y)]

2

1

[J (x, z )

[d(x, z )
2

1

d(z, y)]

[d(x, z )

d(z, y) ]

J (z, y)] .

Bổ đề 1.2.7. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric và {x n } là dãy trong

X sao cho x n



0

d(x, y )

K (d(x, x n )

d(x n , y ))

K

2K

2K

n0 . Điều này mâu thuẫn với d(x, y)

với mọi n

Nói chung, một hàm kiểu metric d với k

0.

1 không liên tục theo cả hai biến.

Sau đây là ví dụ về một hàm kiểu metric, không liên tục.
và D : X

Ví dụ 1.2.8. Cho X



D(m, p)

3(D(m, n)

D(n, p)).

Do đó, (X , d ) là không gian kiểu metric với k
n

xác định bởi

3 . Nếu x n

2n , với mỗi

, thì
D(2n,

Nghĩa là, x n

)

1
2n

, nhưng D(x 2n ,1)

0 , khi n
2

K[d(x 0, x1)

d(x1, x 2 )]

Kd(x 0, x1)

Kd(x1, x n )

Kd(x 0, x1)

K 2[d(x1, x 2 )

d(x 2, x n )]

Kd(x 0, x1)

K 2d(x1, x 2 )

K 2d(x 2, x n )

…
K n 1d(x n 2, x n 1)

Kd(x 0, x1)

K n 1d(x n 1, x n ) .

Bổ đề 1.2.10. Cho {yn } là dãy trong không gian kiểu metric (X, d, K ) sao
cho
d(yn , yn 1)


Kn

Kn
Bây giờ từ (1.1) và K

d(ym , yn )

K 2d(ym 1, ym 2 )

Kd(ym , ym 1)
m 1

(d(yn 2, yn 1)

Kd(ym , ym 1)

d(ym 2, yn ))

d(yn 1, yn ))

K 2d(ym 1, ym 2 )

m 1

...

...

K n md(yn 1, yn ) .

m

(1

(K )

...

K m
d(y0, y1 )
1 K

(K )n

m 1

0 khi m

)d(y0, y1)

(1.3)

.

Cho nên {yn } là dãy Cauchy.
Định nghĩa 1.2.11. Cho X là tập khác rỗng. Nếu (X , d, K ) là không gian
kiểu metric và (X, ) là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, thì (X, d, K, ) được
gọi là không gian kiểu metric sắp thứ tự.
Hai phần tử x, y


Định nghĩa 1.2.13. Cho E là không gian Banach thực với
và P

là phần tử không

E . Tập con P được gọi là nón sắp thứ tự nếu nó có các tính chất

sau:
(i ) P khác rỗng, đóng và P
(ii ) 0

a,b

(iii ) P

( P)

và x, y

P

{ };

ax

by

P;

{ }.

0

Số K

y nếu y

x

y

|| x ||

E

K || y || .

(1.3)

1 bé nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là hằng số chuẩn tắc của P .

Sau đây ta luôn giả sử E là không gian Banach thực và P là nón sắp thứ tự
trong E với IntP

là quan hệ sắp thứ tự bộ phận đối với P .

và

Định nghĩa 1.2.14. Cho X

. Giả sử rằng ánh xạ d : X

Khi đó d được gọi là metric nón trên X , và (X , d ) được gọi là không gian
metric nón.
Định nghĩa 1.2.15. Cho {x n } là dãy trong X và x
với

c tồn tại n0

sao cho với mọi n

{x n } được gọi là hội tụ đến

lim x n

n

x hoặc x n

x , khi n

n0 ta có d(x nx m )

n0 ta có d(x n , x )

E,

c , thì

x và x là giới hạn của {x n } và kí hiệu là
.


d(x n , x )

khi n, m

d(x n , x m )

.

(iii ) Cho {x n } và {yn } là hai dãy trong X , x, y
d(yn , y )

. Khi đó d(x n , yn )

khi n

.

X

và d(x n , x )

d(x, y) khi n

,

.

1.3. Định lý Banach trong không gian kiểu metric
Sau đây là định lí về điểm bất động hay còn gọi là nguyên lí ánh xạ co ([1]).
Định lý 1.3.1 Giả sử (X , d ) là không gian metric đầy đủ và f : X


1 ta có

d(xn , xn 1)

d(f (x n 1), f (x n ))
k 2d(x n 2, x n 1)

kd(x n 1, x n ) , k

...

(0,1) .

k nd(x 0, x1) .

(1.5)

Từ đó với mọi p nguyên dương, ta có
d(xn , x n p )
(k

n

k

n 1

d(x n , x n 1)
...


Do đó {x n } là dãy Côsi trong không gian metric đầy đủ X . Suy ra tồn tại
x*

x* .

X sao cho lim x n
n

Mặt khác, ta viết (1.5) đưới dạng
d(x n , f (x n ))

k nd(x 0, x1) .

và sử dụng tính liên tục của f ta nhận được d(x *, f (x * ))

Cho n
Do đó f (x * )

x * . Vậy x * là điểm bất động của f .

Bây giờ giả sử y * cũng là điểm bất động của f , tức là f (y * )
d(x *, y * )

Suy ra (1

0.

d(f (x * ), f (y *))


với mọi x, y

d(x, y)

(1.6)

X . Khi đó f có điểm bất động duy nhất z , và với mỗi x 0

X,

dãy {f nx 0 } hội tụ đến z .
Chứng minh. Lấy x 0

X bất kì và kí hiệu yn

d(yn , yn 1)
với mỗi n

d(fyn 1, fyn )

1,2....
12

f n x 0 . Khi đó
d(yn 1, yn )

(1.7)


Theo Bổ đề 1.2.9, {yn } là dãy Cauchy, và vì (X, d, K ) là không gian đầy đủ,


d(fz, fz1)

Điều này chỉ có thể xảy ra khi z

d(z, z 1) .

z1 .

Định lý 1.3.3. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric đầy đủ. Cho

f :X
lim

n

X là ánh xạ thỏa mãn với mỗi n
n

tồn tại

n

(0,1) sao cho

0 và

d ( f n x , f ny )

d(x, y) với mọi x, y

với mỗi n

d ( f n x , f ny )

Nói cách khác, với m

1
. Vì
K

X khi n

f m thỏa mãn

d(x, y) với mọi x, y

13

X.

n0 .


Định lý 1.3.2 kéo theo g có điểm bất động duy nhất, gọi điểm đó là z . Khi đó
f mz
g

z , kéo theo f m 1z

f m (fz )

(d(x, y))
) là hàm tăng và thỏa mãn

[0,

(t )

0

0 . Khi đó f có điểm bất động duy nhất x *

với mỗi t
lim f n (x )

n

x * với mỗi x

X.

Chứng minh. Trước tiên ta chú ý rằng giả thiết về
lim (t )

t

0

do đó f là hàm liên tục. Bây giờ, cho x
n


X và

nm

. Khi đó

(d(g(x ), x) .

0.

sao cho d(x m 1, x m )

14

2K

và lấy u

B(x m ; ). Khi đó


n

d(g(u), g(x m ))

(d(u, x m ))

n

( )

Vì vậy g : B(x m ; )

d(xt , x j )

K[d(x t , x m ), d(x m, x j )]

2K .

Điều này chứng tỏ {x m } là dãy Cauchy, vì vậy tồn tại x *
lim x m

m

m , thì

X sao cho

x * . Hơn nữa tính liên tục của f kéo theo tính liên tục của g , do đó
x*

lim x m

m

lim x m

m

1




nên {g m (x )} hội tụ đến x * với mọi x

X . Tuy nhiên, do tính liên tục của f ,

nên ta có
f (x * )

lim f (x m )

m

lim f (g m (x ))

m

lim g m (f (x ))

m

Vì vậy x * là điểm bất động duy nhất của f . Cuối cùng, vì với x
và r

{0,1,..., n

1}, ta có

f nm r (x )


Định lý 2.1.1 Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric compact theo dãy và

f :X

X sao cho:

d(fx, fy )

d(x, y )

với mọi x, y

X, x

d(x, fx )

d(y, fy )

y , ở đó

d(x, fy )

K

2

1,

Ld (y, fx ) (2.1)


Đặt dn

d(x n , x n 1 ) với mọi n

{0} . Nếu x n

thì sử dụng điều kiện co (2.1) với x
dn

d(x n , x n 1 )

d(x n 1, x n )

xn

1

và y

xn

1

với mọi n

x n , ta nhận được

d(fx n 1, fx n )

d(x n 1, fx n 1)

d (x n 1, x n 1 )
dn .

1

)dn

(

1

2

. Từ

dn

1

1

dn 1 .

là dãy giảm các số thực dương, từ đó tồn tại d

Vì vậy, dn

0 sao cho

d . Vì X là không gian compact theo dãy, nên tồn tại dãy con


i

Nếu x
đó lấy

d

i

1

d(x n , fx n )

)

i

d , nên ta được d

Vì dn
dn

1

0 , do đó

dn

lim dn

i

d(x , fx ) khi i

d(x , fx ) . Tương tự ta có

d(fx n , ffx n )
i

d(fx , ffx )

i

fx , thì f có điểm bất động. Giả sử x

x

x và y
d(fx , ffx )

.

d khi i

.

fx , tức là d

0 . Khi


d(fx , ffx )

d ,

2 )d

điều đó là mâu thuẫn, do đó d

Ld (fx , fx )

0 , suy ra x

fx .

Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất của điểm bất động. Giả sử rằng z
là điểm bất động của f , khác với

x

z và y

x . Điều này có nghĩa là d(z, x )

d(fz, fx )

d(z, x )

d(z, fz )

K

y )2 , với mọi x, y

(x

0 . Lấy

x trong (2.1) ta có

d(z, x )

d(x, y )

X

X

[0,

) được xác định bởi

X . Xét ánh xạ f : X

X xác định bởi

. Ta có (X, d,2) là không gian kiểu metric compact theo

dãy. Vì

19



1,

mãn khi

2

y
1)(y 2

0 , do đó f có điểm bất động duy nhất.

1 và

Từ Định lý 2.1.1, lấy

L

L

Edelstein [5]. Hơn nữa, đặt

0 , ta thu được Định lý

0 và

1 và

0 , ta thu


nhất trong X .
Hệ quả 2.1.4. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric compact theo dãy và

f :X

X là ánh xạ thỏa mãn
d(fx, fy )

với mọi x, y

X, x

trong X . Nếu L

1
d(x, fy )
2K

Ld(y, fx )

(2.3)

y . Nếu d và f là liên tục, thì f có điểm bất động

1
, thì điểm bất động của f là duy nhất.
2

Định lý sau đây là kết quả kiểu Suzuki [13] trong không gian kiểu metric.
Định lý 2.1.5. Cho (X, d, K ) là không gian kiểu metric compact theo dãy và