ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ HẬU

ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ HẬU

ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015


i

đến luận văn để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn

Bùi Thị Hậu


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶ ◆❣✉②➯♥ ❧þ ❈❛♥t♦r tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝
✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶✳ ❙ü ❤ë✐ tö tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝

✶
✸
✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷✳ ❚æ♣æ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽


✷✷

✷✳✷✳✶✳ ❍å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✷✳✷✳✷✳ ❍å ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✸
✹✹


✶

▼ð ✤➛✉
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➣ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❜ð✐ ●❛❤❧❡r tr♦♥❣ ♠ët ❧♦↕t ❝→❝
❜➔✐ ❜→♦ ✭①❡♠ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✮✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔② ❝â ♠ët ❝➜✉ tró❝ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❦❤→
✤ë❝ ✤→♦ ✈➔ ❦❤→❝ ❧↕ ✈î✐ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ❞♦ ✤â ♥â t❤✉
❤ót ✤÷ñ❝ sü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❬✹❪✱ ●❛❤❧❡r ✤➣
❝❤➾ r❛ ♠ët ❝→❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ ✤÷ñ❝ ①➙② ❞ü♥❣
tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♥➔②✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤â ✈➝♥ ❝á♥ ❦❤→ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ◆➠♠ ✶✾✻✾✱ ●❛❤❧❡r
✈➔ ❲❤✐t❡ ✭①❡♠✱ ❬✷✵❪✮ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤✱ tr♦♥❣ ✤â
❲❤✐t❡ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤à♥❤ ❧þ ❍❛❤♥✲❇❛♥❛❝❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤✳ ✣à♥❤
❧þ ❇❛♥❛❝❤✲❙t❡✐♥❤❛✉s ❝ô♥❣ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤ ✭①❡♠ ❬✶✶❪✮✳ ●➛♥

tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝

▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲
♠❡tr✐❝ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❈❛♥t♦r✱ ❇❛✐r❡✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐
s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❞↕♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❧î♣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔②✳




ữỡ

ỵ tr tr ổ
2tr
ổ 2tr
ỹ ở tử tr ổ 2tr
ử

X ởt t rộ tr t ổ
tt X ởt t ổ ởt

:X ìX ìX R
tọ s
ợ ộ t a, b tỗ t ởt c X s
(a, b, c) = 0
(a, b, c) = 0 tr trũ
(a, b, c) = (a, c, b) = (b, c, a) ợ ồ a, b, c X
(a, b, c) (a, b, d) + (a, d, c) + (d, b, c) ợ ồ a, b, c d X
õ ữủ ồ 2tr tr X
t r ởt ổ ỡ ỳ ợ ồ


ú ỵ

õ t tr M ỳ 2tr M tr t ổ
2tr t tr trữớ ủ M ổ ổ
ừ X
ố ợ trữớ ủ ổ tr (X, d) M X t d|M ìM ổ
ởt tr tr M. trữớ ủ ổ 2tr (X, )
t ữ M = |M ìM ìM 2tr tr M. õ t r
ử ử t ổ 2tr (R2, ) tr ử ợ ồ
M = R ì {0}

ỹ ở tử tr ổ tr
(X, ) ởt ổ tr {xn } ởt tỷ
ừ X.


✺

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❉➣② {xn} tr♦♥❣ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö ✈➲ x ∈ X ♥➳✉
✈î✐ ❜➜t ❦ý a ∈ X ✱

σ(xn , x, a) → 0 ❦❤✐ n → ∞.
❚❛ ✈✐➳t xn → x ❦❤✐ n → ∞ ❤♦➦❝ lim xn = x✳
n→∞

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (X, σ)✱ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♠ët ❞➣②
♥➳✉ ❝â ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳


❱î✐ p = 1, ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ✤ó♥❣ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ●✐↔ sû ✤➥♥❣ t❤ù❝
✤ó♥❣ ✈î✐ p, t❛ ❝â

σ(yi , yi+p+1 , yk )

σ(yi , yi+p+1 , yi+p ) + σ(yi , yi+p , yk ) + σ(yi+p , yi+p+1 , yk )
=0

t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✳ ❱➟② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈î✐ p + 1, tù❝ ❧➔ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐

p.

✶✳✶✳✷✳ ❚æ♣æ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝
❈❤♦ (X, σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳




ợ a, b X r > 0 t
Br (a, b) = {c X; (a, b, c) < r}
ừ X ữủ ồ 2

t a b ợ r

ự ữủ Br (a, b) = Br (b, a)
ồ ồ B ồ tt 2 tr ổ tr
(X, ) tr r r tỗ t ởt trú tổổ
ồ B ởt ỡ s t ồ tổổ tổổ tr ữ
(X, ) ởt ổ tổổ tr tỷ ừ ữủ ồ
t ũ ừ õ t õ

Btm (x, am ) Btm (x, bm )
m



Bri (ai , bi ) U.
i=1

ờ ữủ ự

A ởt t ừ ổ 2tr (X, )
ủ ừ tt t 2 ự tr A ữủ ồ tr ừ


✼

A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Ao ❤❛② ✐♥tA. ●✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ ❝❤ù❛ A ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ✷✲❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ A✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ A✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ x ∈ (X, τ ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ✷✲✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A ⊂ X ♥➳✉ ❜➜t ❦➻ t➟♣
✷✲♠ð U ❝❤ù❛ x✱ A ∩ (U − {x}) = ∅✳

❈ô♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝

A = A ∪ ∂A,
tr♦♥❣ ✤â ∂A ❧➔ t➟♣ ❞➝♥ ①✉➜t ❝õ❛ A✱ tù❝ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✷✲ ✤✐➸♠ tö
❝õ❛ A✳ ✣è✐ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ A ⊂ X ✱ A rã r➔♥❣ ❧➔ t➟♣ ✷✲ ✤â♥❣✳

❇ê ✤➲ ✶✳✺✳ ✭❬✶✷❪✮ A ⊂ (X, τ ) ❧➔ t➟♣ ✷✲ ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ A = A✳
❇ê ✤➲ ✶✳✻✳ ✭❬✶✷❪✮ (X, τ ) ❧➔ T1−❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳



✽

❈❤ó þ ✶✳✷✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t✱ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✱ t➟♣ A ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾

❦❤✐ ♠é✐ ❞➣② ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A ♠➔ ❤ë✐ tö t❤➻ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❞➣② ♣❤↔✐ t❤✉ë❝
A✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✈➔ ✤➙②
❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦❤→❝ ❜✐➺t ❣✐ú❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳ ▼ët ❞➣② {xn} tr♦♥❣ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ♥➳✉
✈î✐ ❜➜t ❦➻ a ∈ X, σ(xm , xn , a) → 0 ❦❤✐ m, n → ∞✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤➛② ✤õ ♥➳✉ ♠é✐ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ X
❤ë✐ tö ✈➲ ♠ët ✤✐➸♠ ❝õ❛ X ✳

❈❤ó þ ✶✳✸✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✱ ♠ët ❞➣② ❤ë✐
tö ✤➲✉ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝
✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤÷❛ ❝❤➢❝ ✤ó♥❣✱ tù❝ ❧➔ ♠ët ❞➣② ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ♣❤↔✐ ❧➔
♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳ ❚➟♣ ❝♦♥ S ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ ♠é✐ ❞➣② ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ S ✤➲✉ ❝❤ù❛ ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐
tö ✈➲ ♠ët ♣❤➛♥ tû t❤✉ë❝ S ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ (X, σ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t
♥➳✉ X ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ A ⊂ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trò ♠➟t tr♦♥❣ X ❦❤✐ A = X ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ A ⊂ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ trò ♠➟t ♥➳✉ ✐♥t(A) = ∅.
❈ô♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳


tử
r õ TX tổổ tr tr X, TY tổổ tr tr Y.

ỵ T s tử tứ ổ tr (X, )

ổ tr (Y, 1) t s tữỡ ữỡ
T ởt ỗ ổ
T õ
T
ử (X, ) ởt ổ tr idX ỗ t
tr X õ idX ởt ỗ ổ

ổ tr (X, ) (Y, 1) ữủ ồ
ỗ ổ tỗ t ởt ỗ ổ T : X Y

ỵ tr ỵ r
ỵ tr ổ tr
r ổ tr t t ởt ỵ ờ t ữủ
ồ ỵ tr ộ õ ỗ tt tr
ởt ổ tr ừ õ ởt t r
t ự ởt tữỡ tỹ ừ ỵ tr tr trữớ ủ
ổ 2tr
ợ A X t

c (A) = sup{(a, b, c); a, b A}




ợ c X A ữủ ồ ợ ở

xk (U \{x}) Fn , k max{n, n1 }.
t r x Fn = Fn Fn t õ ữ x Fn
ợ ồ n N t x



Fn

n=1

ố ũ t ự r



Fn ự ổ q ởt

n=1

sỷ r tỗ t t x, y

(x, y, z) > 0 ứ ừ z (Fn )



Fn ồ z X, z = x, y

n=1

(x, y, z) z (Fn ), n N.


✷✲♠ð ❝❤ù❛ x ♥➯♥ tç♥ t↕✐ z ∈ A [Bε (x, y) Bε (x, a)]✳ ❚❛ ❝â

σ(x, y, a) ≤ σ(x, z, a) + σ(y, z, a) + σ(x, y, z) ≤ δa (A) + 2ε.
❱➻ ✤✐➲✉ ♥➔② ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ ε > 0 ♥➯♥

σ(x, y, a) ≤ σa (A) ✈î✐ y ∈ A ✈➔ x ∈ A.
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ♥➳✉ x, y ∈ A − A ❦❤✐ ✤â ❧➦♣ ❧↕✐ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛
❝ô♥❣ s✉② r❛ r➡♥❣ σ(x, y, a) ≤ δa (A)✳ ❉♦ ✤â

δa (A) = sup{σ(x, y, a); x, y ∈ A} ≤ δa (A).
❱➻ ✈➟② δa (A) = δa (A)✳ ❇ê ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
✣✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵ ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✿

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷✳ ✭❬✶✷❪✮ ❈❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ (X, σ) t❤ä❛ ♠➣♥ ✈î✐ ♠é✐

❞➣② ❣✐↔♠ ❜➜t ❦ý ❝→❝ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ {Fn} s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ a ∈ X ✱ δa(Fn) → 0
∞
❦❤✐ n → ∞ t❤➻ Fn ❝❤➾ ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❑❤✐ ✤â (X, σ) ❧➔ ✤➛② ✤õ✳
n=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●å✐ {xn } ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ X ✳ ✣➦t

Fn = {xn , xn+1 , . . .},




ợ n N õ Fn Fn+1 t Fn F n+1 , n N õ {Fn }


n=1

ỵ r ổ tr
ớ t ự ỵ r trũ r ổ
tr t t ỵ r ổ tr ừ ổ

tở trũ tự tự ổ ữủ ữợ ủ
ữủ ừ t ổ trũ t r t t t q
õ trữớ ủ ổ tr rữợ t t ự ờ
s

ờ ợ t a, b X r > 0
Cr (a, b) = {c X, (a, b, c) r}

ởt t õ
s r r ổ õ Cr (a, b)
tử ừ Cr (a, b) sỷ d ởt tũ ỵ ổ tở Cr (a, b).
ự




õ ợ > 0 B (a, d)

Cr (a, b)

B (b, d) t ự d tỗ t e
[[B (a, d) B (b, d)]\{d}] t
(a, b, d) (a, b, e) + (b, e, d) + (a, e, d)

x1 U X 1 t ờ tỗ t số ữỡ y1 , y2 , . . . , yn
số ữỡ r1 , r2 , . . . , rn s

x1 Br1 (x1 , y1 ) . . . Brn (x1 , yn ) = V1 U X 1 .
ổ t t tờ qt tọ tt ừ
ỵ t õ t ồ Br1 (x1 , y1 ) s a (Br1 (x1 , y1 )) < 1, a X
õ (V1 ) < 1 ợ ồ a X. ồ

U1 = Br1 /2 (x1 , y1 ) . . . Brn /2 (x1 , yn ).
õ t ờ

U 1 Cr1 /2 (x1 , y1 ) . . . Crn /2 (x1 , yn ) V1 U X 1


✶✹

✈➔ δa (U 1 ) ≤ δa (V1 ) < 1, ∀a ∈ X ✳
❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻ U1 ❧➔ ✷✲♠ð ✈➔ X2 ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤➙✉ trò ♠➟t ♥➯♥ U1 − X 2 = ∅✱
❦➨♦ t❤❡♦ tç♥ t↕✐ x2 ∈ U1 − X 2 ✳ ❚✐➳♥ ❤➔♥❤ ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ ❝â ✤÷ñ❝ ♠ët t➟♣
✷✲♠ð U2 s❛♦ ❝❤♦

x2 ∈ U2 ⊂ U 2 ⊂ U1 − X 2
✈➔ δa (U 2 ) < 1/2 ∀a ∈ X ✳
❚✐➳♣ tö❝ q✉→ tr➻♥❤ tr➯♥✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♠ët ❞➣② ❝→❝ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ {U n } s❛♦
❝❤♦
U n+1 ⊂ U n , ∀n ∈ N, δa (U n ) < 1/n, ∀a ∈ X,
♥❣❤➽❛ ❧➔ δa (U n ) → 0 ❦❤✐ n → ∞, ∀a ∈ X ✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✵✱

∞


r ú t ự ởt số ỵ t ở
ỵ t sỷ ử ỵ tr
ự ởt số t q t ở ừ ởt tứ ổ
tr (X, ) õ r sốt t sỷ r (X, )
ữủ tự t tự t ộ x X ổ tỗ t ởt ỡ s
ữủ ừ tổổ 2tr
T : X X ợ t > 0 t

St = {x X; (x, T x, y) t, y X}.
t r T õ t ở x t St rộ ự
x X ợ ở t St ụ rộ ợ tr t ũ ủ
t (X, ) ởt ổ tr t T : X X ữủ
ồ tỗ t số 0 k < 1 tọ

(T x, T y)

k(x, y),

ợ ồ x, y X, x = y r trữớ ủ ổ tr t
ữ s




ởt T : (X, ) (X, ) ữủ ồ
(T x, T y, a) < (x, y, a), x, y, a X,
tr õ x = y = a (T x, T y, a) = 0 t tr số x, y, a

ớ t ự ởt số t t ỡ ừ t St


t tr (X, ) ổ ự t ởt t ở ừ T
õ t Sn S = ợ ồ tr n ừ ợ




ự ự sỷ ữủ tự
tỗ t số ữỡ n1 , n2 , n3 , . . . ổ ũ s
ự

Snr S = ,
ợ ồ r N.
ợ ộ r N xnr Snr S tũ ỵ S t tỗ t ởt
xnt1 , xnt2 , . . . ừ {xnr } ở tử ởt x ừ S ó r

(xntr , T xntr , y) ntr , y X.
ợ > 0 y X B (x, y) B (x, T x) t ự
x ứ xntr x r t ờ tỗ t r0 N s

xntr B (x, y) B (x, T x), r r0 .
ỡ ỳ T tử T xntr T x r t ờ tỗ
t r1 N s

T xntr B (T x, y), r r1 .
õ ợ ồ r > max{r0 , r1 },

(x, T x, y) (x, xntr , y) + (x, xntr , T x) + (xntr , T x, y)
< + + (xntr , T x, y)

≤α2 σ(T n−2 x, T n−1 x, a)
···
≤αn σ(x, T x, a)
≤αn .M
✈î✐ ♠å✐ a ∈ X. ❱➻ 0 < α < 1✱ tø ✤â s✉② r❛

Sn = Stn = {z ∈ X; σ(z, T z, a) ≤ tn , ∀a ∈ X} = ∅
✈î✐ ♠å✐ n ∈ N✱ tr♦♥❣ ✤â {tn } ❧➔ ❞➣② sè ❞÷ì♥❣ ❣✐↔♠ ❤ë✐ tö ✈➲ 0✳ ❍✐➸♥
♥❤✐➯♥ T ❝ô♥❣ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✈➔ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✱ ♠é✐ Sn ❧➔ t➟♣ ✷✲✤â♥❣ ✈➔
Sn+1 ⊂ Sn , ∀n ∈ N✳
❈❤ó þ r➡♥❣ ✈î✐ ❜➜t ❦➻ x, y ∈ Sn ✈➔ a ∈ X ✱

σ(x, y, a) ≤σ(x, T x, a) + σ(T x, y, a) + σ(x, T x, y)
≤2tn + σ(T x, T y, a) + σ(y, T y, a) + σ(T x, T y, y)
≤3tn + ασ(x, y, a) + ασ(x, y, y),
✤✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦

σ(x, y, a) ≤
❚ø ✤â s✉② r❛ δa (Sn ) ≤

3tn
1−α

❝❤ù❛ ✤ó♥❣ ♠ët ✤✐➸♠✳ ✣➦t

3tn
.
1−α

❞➛♥ tî✐ 0 ❦❤✐ n → ∞✳ ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✸✱

ỵ (X, d) ởt ổ tr t f
X X

õ t t

:

d(f (x), f (y)) < d(x, y)

ợ ồ x = y X. õ f õ t ở t r ợ ộ
x X, {f n (x)} ở tử t ở õ
r t ự ởt t q tữỡ tỹ ợ ỵ
st tr trữớ ủ ổ tr

ỵ (X, ) ởt ổ tr tr õ X

t ổ ữủ T : X X tỗ t
x X s {T n x} ự {T n x} ở tử x0 X t
x0 ởt t ở t ừ T
i

r {T n x} T r x = T r+1 x ợ ởt số
ữỡ r õ t x0 = T r x ởt t ở ừ T

ự

õ t t trữớ ủ T r x = T r+1 x ợ ồ r N
ụ tt T x0 = x0 ữủ t x0 ởt t ở ừ
T ồ ởt tỷ a X ợ x0 , T x0 T r x, r = 1, 2, . . . õ
t õ




ứ s r r ợ ồ i ừ ợ

|(x0 , T x0 , a) (T ni x, T ni +1 x, a)| < .
{(T n x, T n+1 x, a)}
n=0 ở tử (x0 , T x0 , a)
ớ t ú ỵ r ợ ni ố t õ

(T n x, T n+1 x, a) < (T ni +1 x, T ni +2 x, a), n > ni + 1.
õ tử (x0 , T x0 , a) tọ

(x0 , T x0 , a) (T ni +1 x, T ni +2 x, a)
ú ợ ồ i N
õ i > k

(T ni +1 x, T ni +2 x, a) (T ni +1 x, T x0 , T ni +2 x) + (T ni +1 x, T x0 , a)
+ (T x0 , T ni +2 x, a)