Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Thùy Vân

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN NÓN METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Thùy Vân

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN NÓN METRIC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


Header Page 4 of 185.

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG
KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN .......................................................................3
1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón ...............................................................................3
1.2 Không gian nón định chuẩn...............................................................................4
1.3 Định lí Krasnoselskii .........................................................................................7
Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN
ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED ........................................................................ 10
2.1 Không gian lồi địa phương có thứ tự ............................................................. 10
2.2 Không gian nón định chuẩn phi Archimed .................................................... 13
2.3 Các định lí điểm bất động............................................................................... 14
2.4 Tính chất ổn định theo Ulam – Hyers ........................................................... 18
2.5 Ứng dụng cho phương trình hàm ................................................................... 20
Chương 3. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG E – KHÔNG GIAN ......... 24
3.1 E – không gian ............................................................................................... 24
3.2 Các định lý điểm bất động trong E-không gian ............................................. 26
3.3 Định lý Krasnoselskii trong E-không gian Banach ........................................ 28
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 33

Footer Page 4 of 185.


Header Page 5 of 185.

1

Footer Page 5 of 185.


Header Page 6 of 185.

2

Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và toàn diện hơn các kiến
thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích thực, Giải tích phi tuyến, thấy rõ hơn
mối liên hệ giữa chúng; biết vận dụng các kiến thức đã học để học tập các vấn đề
mới và làm quen với nghiên cứu khoa học. Luận văn có thể là tài liệu tham khảo “
Định lý Krasnoselskii trong không gian nón – định chuẩn” cho học viên Cao học
chuyên ngành Toán Giải Tích.
Luận văn có ba chương. Chương 1 trình bày định lý Krasnoselskii trong không
gian nón định chuẩn. Chương 2 trình bày định Krasnoselskii trong không gian nón
định chuẩn phi Archimed. Chương 3 trình bày định Krasnoselskii trong E - không
gian.

Footer Page 6 of 185.


Header Page 7 of 185.

3

Chương 1. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KRASNOSELSKII TRONG
KHÔNG GIAN NÓN ĐỊNH CHUẨN
1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón
1.1.1. Các định nghĩa
1) Tập K trong không gian Banach thực E = (E, . ) được gọi là nón nếu

Minkowskii của tập [ B(θ ,1) − K ] ∩ [ B(θ ,1) + K ] . Khi đó
1. . * là một chuẩn trong E thỏa u * ≤ u ∀u ∈ E và u * ≤ v * nếu θ ≤ u ≤ v

Footer Page 7 of 185.


Header Page 8 of 185.

4

2. u *  . nếu K là nón chuẩn
1.2. Khơng gian nón định chuẩn
1.2.1. Định nghĩa
Cho (E, K) là khơng gian Banach có thứ tự và X là khơng gian tuyến tính thực
Ánh xạ p : X → E được gọi là một chuẩn nón( hay K-chuẩn) nếu
i) p( x ) ≥ θ E

∀x ∈ X

p( x ) = θ E ⇔ x = θ X

( θ E , θ X lần lượt là phần tử không của E và X tương ứng)

ii) p=
(λ x ) λ p( x ) ∀λ ∈ , ∀x ∈ X
iii) p( x + y ) ≤ p( x ) + p( y )

∀x , y ∈ X

Nếu p là một chuẩn nón trên X thì cặp (X, p) được gọi là khơng gian nón định

{x ∈ X : max f  p(x) < ε } , f ∈ K , n ∈ N , ε >0 là cơ sở lân cận của θ
1≤i ≤ n

i

i

*

*

0 ∀f ∈ K *
Lưới { xα } ⊂ X hội tụ về x trong τ 2 nếu lim f ( p( xα − x )) =

1.2.3. Định nghĩa
Cho (E, K) là khơng gian Banach có thứ tự; (X, p) là khơng gian nón định
chuẩn, τ là một tơpơ trên X. Ta nói

Footer Page 8 of 185.


Header Page 9 of 185.

5

1) ( X , p,τ ) là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mỗi dãy
∞

∑ p( x
n =1


Do đó

A⊂ X

là tập đóng trong ( X , p,τ 1 ) ⇔ A đóng trong (X, q)

Vậy tôpô τ1 trùng với tôpô của không gian định chuẩn (X, q)
2) Lấy dãy { xn } ⊂ X sao cho

∞

∑ q( x ) < ∞
n =1

n

∞

Chúng ta chứng minh sự hội tụ của chuỗi

∑x
n =1

n

Thật vậy, đặt sn = x1 + x2 + ... + xn , n ∈ N * , ta có
∞

∑


6

Vì ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass nên { xn } hội tụ trong ( X , p,τ 1 ) và trong (X, q).
1.2.5. Bổ đề
Cho (E, K) là không gian Banach có thứ tự, (X,p) là không gian nón định
chuẩn , τ là tôpô trên X

( X , p,τ )

1) Nếu

là đầy đủ theo Kantorovich thì

( X , p,τ ) đầy

đủ theo

Weierstrass
2) Nếu K là nón chuẩn và ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Weierstrass thì ( X , p,τ 1 ) là
đầy đủ theo Kantorovich
Chứng minh
1) Lấy dãy { xn } ⊂ X sao cho
Đặt s =

∞

∑ p( x
n =1


2) Lấy dãy { xn } thỏa
p( xl − xk ) ≤ an ∀k , l ≥ n,

{an } ⊂ K ,

lim an =
θE
n→∞

Do K là nón chuẩn nên p( xl − xk ) ≤ N an
Do đó { xn } là dãy Cauchy trong (X, q) nên { xn } hội tụ trong (X, q)
Suy ra { xn } hội tụ trong ( X , p,τ 1 ) theo bổ đề 1.2.4
Vậy ( X , p,τ 1 ) là đầy đủ theo Kantorovich.

Footer Page 10 of 185.

( X , p,τ ) hay


Header Page 11 of 185.

7

1.3. nh lớ Krasnoselskii
Cho (E, K) l khụng gian Banach cú th t, (X, p)l khụng gian nún nh
chun v
= =
1

{G X X

(TH2) = 2 , (X , p, 2 ) l y theo Kantorovich
Chng minh
T T(x) + S(y) C x,y C v C l tp úng nờn
T ( x ) + y C x C, y S(C)

C nh y S(C) , ta nh ngha Ty : C C , Ty ( x ) =
T (x) + y
Ly xo C , ta xõy dng dóy xn = Ty ( xn1 ) , n *
u p( x1 x0 ) , ta cú
t=
p( xn+1 =
xn ) p ( T ( xn ) T ( xn1 ) ) Q p( xn xn1 ) ... Q n (u)


v

Q (u=)
n

( I Q)1 (u)

n=0

t sn = x1 + x2 + ... + xn l tng riờng th n ca chui
Cho l > k n ta cú

Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.

p [Ty ( x* ) − x* ] ≤ p [Ty ( x* ) − Ty ( xn )] + p ( xn+1 − x* )

( (

f p Ty ( x* ) − x*

≤ Q  p( x* − xn ) + p ( xn+1 − x* )

)) ≤ f  Q  p( x

*

− xn ) + f  p( xn+1 − x* ) ∀f ∈ K *

(1)

(2)

Cho n → ∞ trong (1) ta có Ty ( x* ) = x*
Trường hợp 2: (X , p,τ 2 ) là đầy đủ theo Kantorovich
Với f ∈ K * ta có f  Q ∈ K * . Cho n → ∞ trong (2) ta có Ty ( x* ) = x*
Chứng minh điểm bất động của Ty là duy nhất
Giả sử có điểm a thỏa Ty (a) = a . Khi đó
p(a − x=
p[Ty (a) − Ty ( x* )] ≤ Q  p(a − x* )
*)

θE
Vì (I − Q)−1 là ánh xạ tuyến tính dương nên p(a − x* ) =


( I − T )−1  S (C ) là tập compact

Theo định lý Schauder-Tychonoff, tồn tại x ∈ C sao cho x= (I − T )−1  S( x )
Hay x = T(x)+ S(x).

Footer Page 13 of 185.

(4)


Header Page 14 of 185.

10

Chương 2. ĐỊNH LÝ KRASNOSELSKII TRONG KHÔNG GIAN NÓN
ĐỊNH CHUẨN PHI ARCHIMED
2.1. Không gian lồi địa phương có thứ tự
Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff thực mà tôpô của nó được
xác định bởi họ nửa chuẩn { pi }i∈I . Khi đó họ các tập có dạng như dưới đây là cơ sở
lân cận của θ
VJ ,ε





=
u ∈ E : max pi (u) < ε  , với ε > 0, J ⊂ I , J hữu hạn
i∈J


lim vn = v thì lim un ∨ vn =u ∨ v

Chứng minh:
Nếu lim un = θ thì từ điều kiện (ii) của (E) ta có lim un + = θ
Giả sử lim un = u , ta chứng minh lim un + = u + . Thật vậy,

(

un + = ((un − u) + u)+ ≤ un + − u

)

+

+ u+

u + ≤ (u − un )+ + un +

Suy ra −(u − un )+ ≤ un + − u + ≤ (un − u)+
và do đó lim(un + − u + ) = θ . Cuối cùng, ta có
lim un ∨ ν n = lim (un −ν n ) ∨ θ + ν n  = (u −ν ) ∨ θ + ν = u ∨ ν .

2.1.3. Định nghĩa
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E,K) và toán tử Q : K → K
1. Ta nói toán tử Q có tính chất (Q) nếu Q( θ ) = θ , Q liên tục tại θ và Q tăng

( u ≤ ν ⇒ Q(u) ≤ Q(ν )) .

{



Footer Page 15 of 185.

(2)


Header Page 16 of 185.

12

2.1.4. Bổ đề
Giả sử không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ và có tính chất
(E), toán tử Q có tính chất (Q) và u ∈ D1 . Khi đó
1)Q m (u) ∈ D1 ∀m ∈ * và nếu θ ≤ v ≤ u thì v ∈ D1

2)Q n (u) ∈ D ∀n ∈  và lim S(Q n (u)) = θ
n→∞

Chứng minh:
1) Theo định nghĩa D1 , ta có Q m (u) ∈ D1
Q đơn điệu tăng (θ ≤ v ≤ u ⇒ Q(v) ≤ Q(u) ) nên

(

)

(

Sk Q n (v) ≤ Sk Q n (u)


thì lim S(Q n (u)) = θ đều đối với u ∈ C
n→∞

Footer Page 16 of 185.


Header Page 17 of 185.

13

2) Nếu (E, K) là không gian Banach có thứ tự với tính chất (E) và Q : E → E là
toán tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(Q)

Header Page 18 of 185.

14

(i) p( x ) = θ E ⇔ x = θ X với θ E ,θ X lần lượt là phần tử không trong E và X
(ii) p=
(λ x ) λ p( x ) ∀λ ∈ ,∀x ∈ X
(iii) p( x + y ) ≤ sup { p( x ), p( y )} ∀x,y ∈ X
Khi đó, cặp (X, p) được gọi là không gian nón định chuẩn phi Archimed với
tôpô được xác định bởi họ nửa chuẩn (pi  p)i∈I
2.3. Các định lí điểm bất động
2.3.1. Định lí
Cho (E, K) là không gian lồi địa phương có thứ tự, (E, K) đầy đủ, có tính chất
(E) và không gian nón_metric phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich. Cho
F : X → X là toán tử thỏa p( F ( x ), F ( y )) ≤ Q  p( x , y ) ∀x,y ∈ X

Trong đó Q : K → K có tính chất (Q) và tồn tại một phần tử xo ∈ X thỏa
(i) Q n  p ( xo , F ( xo ) )  ∈ D ∀n ∈ 

(

)

(ii) lim S Q n  p ( xo , F ( xo ) )  = θ
n→∞
Khi đó, dãy xn = F ( xn−1 ) là hội tụ và phần tử x* = lim xn là điểm bất động của
n→∞

F. Hơn nữa x* có những tính chất sau:


15

Do đó với k = n + q, l = n + r , ta có

{

}

p( xk , xl ) ≤ sup p( xn+ q , xn ), p( xn , xn+r ) ≤ S(Q n (u))

Do lim S(Q n (u)) = θ và (X, p) là đầy đủ theo Kantorovich nên tồn tại x* = lim xn
n→∞

n→∞

cho k → ∞ trong p( xn , x* ) ≤ sup { p( xn , xn+ k ), p( xn+ k , x* )}

{

}

≤ sup S(Q n (u)), p( xn+ k , x* )

và áp dụng bổ đề 2.1.2, ta có p( xn , x* ) ≤ S(Q n (u))
Ta chứng minh x* là điểm bất động của F. Ta có
p( x* , F ( x* )) ≤ sup { p( x* , F ( xn )), p( F ( xn ), F ( x* ))}

{


Footer Page 19 of 185.


Header Page 20 of 185.

16

{

2) x* là điểm bất động duy nhất của F trong tập x ∈ X p( x , xo ) ∈ Do

}

Chứng minh
Do p ( xo , F ( xo ) ) ∈ D1 nên do bổ đề 2.1.4 các điều kiện i), ii) của định lí 2.3.1
được thỏa mãn.
2.3.3. Định lý điểm bất động Krasnoselskii trong không gian nón định
chuẩn phi Archimed
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, có tính chất (E),
(X,p) là không gian nón định chuẩn phi Archimed đầy đủ theo Kantorovich. Cho
C ⊂ X là tập lồi, đóng và hai toán tử F , G : C → X thỏa

(i) F (C ) + G(C ) ⊂ C
(ii) G liên tục và G(C ) là tập compact
(iii) p(F ( x ) − F ( y )) ≤ Q  p( x − y ) ∀x,y ∈ C
Trong đó toán tử Q:K → K có tính chất (Q) và thỏa một trong những giả thuyết sau:
a) Tồn tại một toán tử R:K → K mà R(θ ) = θ , R liên tục tại θ và nếu
u ≤ sup {v, Q(u)} thì u ≤ R(v)

b) lim Sk (Q n (u)) = θ đều đối với k ∈ * và đối với u nằm trong mỗi tập con

F ( xα ) + yα ,
Khi đó xα =

x =+
F( x) y

Ta chứng minh { xα } → x
Xét trường hợp a). Ta có

{

}

p( xα − x ) ≤ sup p ( yα − y ) , p ( F ( xα ) − F ( x ) )

{

}

≤ sup p ( yα − y ) , Q  p( xα − x )

⇒ p( xα − x ) ≤ R  p ( yα − y ) 

Do đó { xα } → x
Xét trường hợp b)
n
Đặt xα n T=
Tyn ( xo ) , ta có
=
yα ( xo ), xn

n

Bằng quy nạp, ta chứng minh được tính liên tục của toán tử y  Fy o ( xo )
Do đó, lưới xα n = Fyn ( xo ) hội tụ về xn = Fyn ( xo )
o

o

o

α

o

Kết hơp với (3) và (4) ta có thể chọn α o sao cho pi  p( xα − x ) < 3ε ∀α ≥ α o

Footer Page 21 of 185.


Header Page 22 of 185.

18

Do đó lim pi  p( xα − x ) = 0 ∀i ∈ I hay lim xα = x
Vì toán tử (I − F )−1 : G(C) → C là đẳng cấu nên (I − F )−1 ( G(C ) ) =
( I − F ) (G(C ))
−1

Vậy tập (I − F )−1  G(C ) là tập compact
Suy ra toán tử ( I − F )  G có điểm bất động trong C theo định lý Tychonoff


được gọi là ổn định theo Ulam-Hyers nếu với mỗi ε ∈ int K , ∃δ ∈ K \ {θ } sao cho
nếu p ( F ( x '), F1 ( x ') ) ≤ δ thì tồn tại một nghiệm x* của (5) thỏa p( x* , x ') ≤ ε
2.4.2. Định lý
Cho không gian lồi địa phương có thứ tự (E, K) là đầy đủ, có tính chất (E),
int K ≠ ∅ và không gian nón metric phi Archimed (X, p) là đầy đủ theo

Kantorovich. Giả sử toán tử F : X → X thỏa p(F ( x ), F ( y )) ≤ Q  p( x , y ) ∀x , y ∈ X , trong
đó Q : K → K có tính chất (Q), Q(K \ {θ }) ⊂ K \ {θ } và tồn tại xo ∈ X sao cho
p( xo , F ( xo )) ∈ D1

Footer Page 22 of 185.


Header Page 23 of 185.

19

Khi đó phương trình điểm bất động x = F(x) là ổn định theo Ulam-Hyers
Chứng minh
Đặt u = p( xo , F ( xo )) , ta có lim S(Q n (u)) = θ
n→∞

Do đó với ε ∈ int K , tồn tại số nguyên dương no sao cho S(Q n (u)) ≤ ε
o

Đặt δ = Q n (u) , áp dụng bổ đề 2.1.4, ta có δ ∈ D1 và nếu p( x ', F ( x ')) ≤ δ thì
o

p( x ', F ( x ')) ∈ D1



Header Page 24 of 185.

20

a) Tồn tại R : K → K mà R(θ ) = θ , R liên tục tại θ và từ u ≤ sup {v, Q(u)} ta có
u ≤ R( v )

b) lim Sk (Q n (u)) = θ đều theo k ∈ * và u nằm trong mọi tập con compact của K
n→∞

(ii) Tồn tại phần tử xo ∈ C sao cho p(C − xo ) ⊂ D1
Khi đó phương trình điểm bất động x = F ( x ) là ổn định theo Ulam – Hyers đối
với họ toán tử G thỏa:
(a) F (C ) + G(C ) ⊂ C
(b) G liên tục và G(C ) là tập compact
Chứng minh
Cho ε ∈ int K , áp dụng định lý 2.4.2 chọn δ ∈ K ,sao cho nếu p( y − F ( y )) ≤ δ
thì tồn tại một điểm bất động x* của F thỏa p( x* − y ) ≤ ε
Nếu G thỏa (a) và (b), và p(G( x )) ≤ δ ∀x ∈ C thì phương trình=
x F ( x ) + G( x )
có nghiệm( theo định lý 2.3.3)
Với nghiệm x ' bất kỳ của phương trình này, ta có p( x '− F ( x ')) ≤ δ
Do đó theo định lý 2.4.2, tồn tại một điểm bất động x* của F thỏa
p( x* − x ') ≤ ε .

2.5. Ứng dụng cho phương trình hàm
Cho tập T ≠ ∅ . Kí hiệu E = T là không gian lồi địa phương của tất cả các
hàm u : T →  , tôpô của nó được xác định bởi họ nửa chuẩn =

{

}

lim sup Q n (u),..., Q n+ k −1 (u) = θ trong E đều đối với k ∈ *

n→∞

Do đó Do = D1
Chứng minh
Đặt vn = Q n (u) , ta có
lim vn (t )= 0 ∀t ∈ T ,
max {vn (t ),..., vn+ k −1 (t )} ≤ sup {vm (t ) : m ≥ n} → 0 khi m → ∞

Mà tôpô của E được xác định bởi họ nửa chuẩn =
pt (u) u(t ) , t ∈ T nên

}

{

lim sup Q n (u),..., Q n+ k −1 (u) = θ trong E đều đối với k ∈ * .

n→∞

Cho (Y , . Y ) là không gian Banach phi Archimed và X = Y T là không gian
vectơ các hàm x : T → Y
Xét ánh xạ p : X → K , x  p( x )(t ) = x (t ) Y , ta có
p( x + y )(t ) = x (t ) + y(t )


Footer Page 25 of 185.