1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
HUỲNH THỊ THÚY TRANG
PHÁT TRIỂN CHO HỌC SINH HỆ THỐNG
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC TRONG QUÁ
TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60.14.10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. CHU TRỌNG THANH
NGHỆ AN - 2013
2
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tri thức (trong đó có tri thức toán học) của nhân loại đã có từ lâu đời.
Qua các thời kì lịch sử, kho tàng tri thức của nhân loại ngày càng phong phú.
Con người không thể sống mà không có tri thức, không có các hoạt đông
thông qua giao tiếp. Quá trình giao tiếp đó đã dần dần hình thành một loại
hình tri thức mang tính đặc biệt, đó là tri thức ngôn ngữ. Ngôn ngữ ra đời đã
tạo nên bước ngoặt trong sự phát triển, tiến hóa của loài người. Chính ngôn
chung…".
Từ những năm 60 của thế kỉ XX, A. A. Stôliar đã đưa ra luận điểm “Dạy
toán là dạy hoạt động toán học”. Ngày nay luận điểm này đã được mọi
người thừa nhận và trở thành định hướng chủ yếu của việc đổi mới phương
pháp dạy học trong nhà trường. Với quan điểm này, chúng ta cần phải tổ
chức quá trình dạy học sao cho người học sinh được học toán trong hoạt
động và bằng hoạt động. Để dạy học một nội dung toán học nào đó, người
giáo viên phải thiết kế các hoạt động tương thích với nội dung và mục đích
dạy học kiến thức đó, thiết kế kế hoạch dạy học và tổ chức quá trình dạy học
bằng các hoạt động. Tất cả các hoạt động đó cần được thể hiện thông qua hệ
thống ngôn ngữ, đặc biệt là ngôn ngữ toán học. Học sinh lĩnh hội nhiệm vụ
của mình, thực hiện các hoạt động, qua đó kiến tạo kiến thức, rèn luyện kĩ
năng, phát triển tư duy, hình thành nhân cách và thái độ.
Có thể nói, ngôn ngữ tác động rất lớn đến quá trình dạy học, quá trình
hoạt động toán học của học sinh trong dạy học môn Toán. Phát triển hệ
thống ngôn ngữ Toán học cho học sinh vừa là điều kiện vừa là kết quả của
quá trình hoạt động toán học, quá trình học tập môn Toán. Việc làm phong
phú hệ thống ngôn ngữ toán và bồi dưỡng năng lực sử dụng chính xác ngôn
4
ngữ Toán học cho học sinh là việc làm cần thiết và có ý nghĩa trong hoạt
động dạy học của người giáo viên.
Từ các lý do đã phân tích ở trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là,
“PHÁT TRIỂN CHO HỌC SINH HỆ THỐNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC
TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG ”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Đề xuất một số biện pháp phát triển hệ thống ngôn ngữ toán học cho học
toán nói riêng, nâng cao hiệu quả giáo dục nói chung.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN:
- Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về ngôn ngữ toán học và
hoạt động ngôn ngữ của học sinh trong quá trình học tập môn Toán.
- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm phát triển cho học sinh hệ
thống ngôn ngữ toán học phổ thông trong quá trình dạy học môn Toán ở
trường trung học phổ thông.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn
có bốn chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận của việc phát triển hệ thống ngôn ngữ toán học cho
học sinh trong dạy học môn Toán.
1.1.
Một số khái niệm cơ sở về ngôn ngữ và ngôn ngữ toán học.
1.2.
Hoạt động ngôn ngữ của học sinh trong quá trình học tập.
1.3.
Quá trình hình thành và phát triển ngôn ngữ của học sinh trong dạy
học.
6
3.3.
Các biện pháp sư phạm.
3.4.
Phương án dạy học một số nội dung môn Toán trung học phổ thông
minh họa cho việc phối hợp các biện pháp đã đề xuất.
Kết luận chương 3
Chương 4. Thực nghiệm sư phạm (thực nhiệm ở mức đơn giản)
4.1.Xác định mục đích thực nghiệm.
4.2.Tường trình quá trình thực nghiệm.
4.3.Đánh giá kết quả thực nghiệm.
Kết luận về thực nghiệm sư phạm.
7
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VIỆC PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG
NGÔN NGỮ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
1.1
Một số khái niệm cơ sở về ngôn ngữ và ngôn ngữ toán học
1.1.1. Khái niệm cơ sở về ngôn ngữ
1.1.1.1. Khái niệm về ngôn ngữ
là sản phẩm của lời nói”, ngôn ngữ là một hệ thống dấu hiệu biểu hiện
những ý niệm (chữ viết của các dân tộc trên thế giới), những hình ảnh tượng
hình (chữ cho người câm điếc), ngôn ngữ chuyên nghành( toán, lý, hóa,
sinh,….)…
Trong lý thuyết ngôn ngữ học, người ta coi ngôn ngữ là một hệ thống ký
hiệu viết, ký hiệu âm thanh có tính chất quy ước. Để diễn đạt bất cứ nội
dung nào của bất khoa học nào cũng phải dùng ngôn ngữ. Tuy còn nhiều
quan niệm khác nhau về khái niệm, lịch sử xuất xứ và quy luật phát triển,
song tất cả các quan niệm về ngôn ngữ đều có nét chung đó là hệ thống ký
hiệu được thừa nhận, phản ánh nội dung hoạt động của con người được dùng
để giao tiếp và tư duy.
9
Ngôn ngữ toán học có một số đặc điểm chung và các đặc điểm khác
biệt so với các hệ thống ngôn ngữ khác. Trước hết, nó là hệ thống các thuật
ngữ (ngôn ngữ công cụ), các ký hiệu biểu thị các đối tượng và quan hệ toán
học ở dạng chữ viết, hay kí hiệu tượng hình, kí hiệu mang tính quy ước võ
đoán. Các ký hiệu này có có tính súc tích, giản đơn, cho phép diễn đạt nội
dung toán học đảm bảo tính chính xác, logic và ngắn gọn. Khi học môn toán,
có nghĩa là ta học hệ thống ngôn ngữ của ngững ký hiệu, những dạng hình
tượng trưng, những sơ đồ, biểu đồ, đồ thị …và cũng như mọi ngôn ngữ
khác, nó cần được nghiên cứu đặc biệt để hiểu và phát triển nó. Nhà Vật lý
học Niels Borth coi ngôn ngữ toán học là “ sự cải tiến ngôn ngữ chung, sự
trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối phụ thuộc
mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thường thì sẽ không chính xác hoặc
phức tạp hơn.”
1.1.1.2. Những yếu tố cấu thành hệ thống ngôn ngữ.
Khi nghiên cứu về ngôn ngữ, các nhà ngôn ngữ học đã sử dụng các tiêu
ngôn ngữ được gọi là tính hình tuyến của cái biểu hiện và mối quan hệ
giữa các yếu tố trong hình tuyến được gọi là quan hệ tuyến tính.
Mỗi vị trí được quy định bởi chức năng và quan hệ của yếu tố đó với yếu
tố khác. Cho nên vị trí nào càng có nhiều hạn chế bao nhiêu thì số yếu tố có
thể dùng ở vị trí đó càng ít bấy nhiêu. Ngược lại, vị trí càng ít bị hạn chế bởi
các điều kiện khác nhau bao nhiêu thì số yếu tố có thể dùng ở vị trí đó càng
nhiều bấy nhiêu. Tóm lại, toàn bộ hoạt động của hệ thống ngôn ngữ được
thể hiện ở tính tuyến tính và tính liên tưởng.
11
1.1.2. Khái niệm cơ sở về ngôn ngữ toán học.
1.1.2.1. Lý luận về ngôn ngữ toán học.
Ngôn ngữ toán học được coi là hiện thực hóa của của mô hình ngôn ngữ
vào lĩnh vực tri thức toán học với các đặc điểm trừu tượng hóa, tư duy hóa
và khái quát hóa ở mức độ cao. Ngôn ngữ xuất phát từ chỗ thừa nhận tính đa
dạng của các đơn vị ngôn ngữ và bản thân các ngôn ngữ đó. Do đó những
thuộc tính ngôn ngữ chung của ngôn ngữ cũng thể hiện rất đa dạng trong
từng phạm trù mà nó diễn đạt, trong đó có phạm trù toán học. Trong ngôn
ngữ toán học ngoài những yếu tố của ngôn ngữ chung được sử dụng còn có
những yếu tố đặc thù. Chúng ta kể ra một số yếu tố đó.
Hình là khái niệm quan trọng trong ngôn ngữ toán học. Hình chỉ bộ phận
nỗi trội nhất trong tri giác, thể hiện thế giới quan sinh động vào bộ não con
người, tức là cái trực quan sinh động từ thực tiễn đi vào tư duy trừu tượng và
từ tư duy trừu tượng thể hiện ra bên ngoài thực tiễn.
Kí hiệu thể hiện từ văn nói sang thuật ngữ chuyên môn, giúp cho ngôn
ngữ viết trở nên đơn giản, gọn nhẹ nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác và
khoa học cao. Hệ thống ký hiệu tuân theo một nguyên tắc nhất định, có tính
kế thừa và phát triển. Nó mang tính quốc tế cao (bất kỳ dân tộc nào xử dụng
tức là hệ thống bài học qua ngôn ngữ toán học ngắn gọn hơn). Đặc biệt các
em đã tạo được tâm thế phân hóa trong ghi nhớ. Các em biết tài liệu nào cần
nhớ từng câu từng chữ, cái gì cần hiểu mà không cần nhớ… Nhưng một số
em còn ghi nhớ đại khái, chung chung, cũng có khi các em đánh giá thấp
việc ôn tập tài liệu.
• Do cấu trúc phức tạp của não và chức năng của não phát triển ; do sự
phát triển của các quá trình nhận thức nói chung, do ảnh hưởng của hoạt
13
động học tập mà hoạt động tư duy của học sinh trung học phổ thông có thay
đổi quan trọng. Các em có khả năng tư duy lí luận, tư duy trừu tượng một
cách độc lập sáng tạo trong những đối tượng quen biết đã được học ở trường
thể hiện qua ngôn ngữ toán học. Tư duy của các em chặt chẽ hơn, có căn cứ
và nhất quán hơn. Đồng thời tính phê phán của tư duy cũng phát triển, nhận
thức đúng sai rõ ràng hơn… những đặc điểm đó tạo điều kiện cho học sinh
thực hiện các thao tác tư duy toán học phức tạp, phân tích nội dung cơ bản
của khái niệm trừu tượng và nắm được mối quan hệ nhân quả trong tự nhiên
và trong xã hội qua hệ thống ngôn ngữ toán học.
Đặc biệt trong từng phân môn nhỏ lại có hệ thống ký hiệu chuyên dùng,
nó thay thế cho cách diễn đạt bằng lời (viết hay nói).
Tư duy toán học mang tính chất trừu tượng, các ý niệm gián tiếp là kết
quả của việc vận dụng phương thức tư duy trừu tượng theo các bậc khác
nhau. Trên cơ sở của hình tượng hình thành trong tư duy hoặc phản chiếu
của thế giới quan bên ngoài, các khái niệm trừu tượng, khái quát hoá được
hình thành và kèm theo đó là hệ thống thuật ngữ, kí hiệu được bổ sung và
làm cho ngôn ngữ ngày càng phong phú.
1.1.2.2. Những tuyến ngôn ngữ xây dựng nên ngôn ngữ toán học ở trung
học phổ thông xét theo các tuyến kiến thức.
giữa các yếu tố kí hiệu, thuật ngữ trong những lĩnh vực khác nhau. Chắc hạn
phép giao tập hợp và phép hội các mệnh đề, phép hợp tập hợp và phép tuyển
mệnh đề; tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân các số, phép hợp, phép
giao và phép hội các tập hợp, phép tuyển mệnh đề, … Tất cả những điều đó
đều thể hiện bằng các cấu trúc ngôn ngữ.
15
Ví dụ 1:
Phép toán
Mệnh đề
Tập hợp
Phép giao
∧
∩
Phép hợp
∨
∪
Kéo theo
Có một thực tế khác: cùng một đối tượng, một sự kiện, một mối quan hệ
nhưng có thể được diễn đạt, được mô tả bởi các cách khác nhau. Về phương
diện ngôn ngữ - lô gic ta gọi đó là các kết câu tương đương của ngôn ngữ thể
16
hiện. Khi ta dùng nhiều cách mô tả đồng thời một sự kiện, hiện tượng, đối
tượng bằng các cấu trúc ngôn ngữ tương đương ta nói nó có một sự biểu
diện bội của sự kiện, hiện tượng hay đối tượng đó.
1.2
Hoạt động ngôn ngữ của học sinh trong quá trình học tập
1.2.1. Vai trò của sự giao tiếp của tập thể học sinh trong việc phát
triển hệ thống ngôn ngữ toán học
Tập thể học sinh có vai trò quan trọng trong việc phát triển hệ thống ngôn
ngữ toán học của học sinh. Trong suốt quá trình học tập, học sinh cùng nhau
trao đổi thông tin qua các hoạt động, thông qua giao tiếp bằng lời bằng ngôn
ngữ và cả bằng ký hiệu âm thanh, hình ảnh, màu sắc... Từ đó học sinh
thường nảy sinh niềm vui cùng tìm tòi, cùng sáng tạo ra cái mới. Các em cần
có những người bạn tâm đắc để giúp nhau hiểu một bài toán, một vấn đề,…
Các công việc độc lập của học sinh có tác dụng làm tích cực quá trình nhận
thức, tình cảm, ý chí và đồng thời nó cũng tạo nền tảng vững chắc cho hệ
thống ngôn ngữ toán học cho học sinh trung học phổ thông. Hoạt động học
tập thường kèm theo sự giúp đỡ lẫn nhau và nếu có sự hỗ trợ khéo léo của
giáo viên thì học sinh sẽ đạt kết quả lớn hơn với sức mà mình làm một mình.
Ngoài ra những xúc cảm có thể truyền từ người này sang người khác. Do
trí thông minh của học sinh thì hứng thú học toán của học sinh được phát
triển. Tổ chức hoạt động học tập của học sinh, giáo viên cần chú ý tới:
• Sự phong phú của những hình thức làm việc độc lập của học sinh.
• Tính có vấn đề của dạy học.
• Những yếu tố của hoạt động nghiên cứu kể cả việc dẫn dắt học sinh
đến những phương pháp của khoa học.
• Những công việc sáng tạo nhiều loại của học sinh.
• Công việc thực tế của học sinh.
18
Chẳng hạn, giáo viên trình bày tài liệu một cách rõ ràng, dễ hiểu, sinh
động, sâu sắc, mở rộng kiến thức thì làm tăng giá trị môn học, tạo sự hấp
dẫn đối với học sinh; giáo viên cũng có thể làm cho các em ngạc nhiên bằng
tính bất ngờ của kiến thức mới, buộc học sinh phải bộc lộ sức lực của bản
thân, cho học sinh thấy ý nghĩa của kiến thức các em được học. Tất cả
những điều đó tạo nên xúc cảm, hình thành thái độ tích cực của học sinh và
khắc sâu thêm hệ thống ngôn ngữ toán học của mình. Nếu không tính đến
nhân tố xúc cảm, việc dạy những kiến thức và kĩ năng khó có thể gây ra
hứng thú ở học sinh một cách thường xuyên và bền vững. Vì thế, vai trò của
giáo viên đối với sự phát triển hệ thống ngôn ngữ rất là quan trọng. Thầy
giáo là tấm gương cho học sinh noi theo. Các em sẽ không thể hứng thú môn
học nếu các em học với thầy giáo không yêu thích, không có niềm đam mê
với môn học đó. Đó là điều răn thứ nhất trong mười điều khuyên răng đối
với thầy giáo: “Hãy thích thú môn học của mình”[33, tr.96]. Tình yêu đối
với môn học của thầy giáo thể hiện ở việc luôn quan tâm nghiên cứu các vấn
đề mới mẻ, tìm những cái hay cái lí thú để truyền thụ cho học sinh, không
cứng nhắc trong cách trình bày lời giải. Thầy giáo quan tâm đến việc khai
thác các bài toán, phát triển và tạo ra các bài toán mới, phương pháp giải
quốc gia thì toán học giao tiếp với nhau qua hệ thống ngôn ngữ toán học
mang tính chất đặc thù riêng của mình. Nó có tính chất quốc tế hoá. Ở cấp
phổ thông trung học thì các học sinh chỉ mới tiếp cận một phần của nó, và
xử dụng một phần hệ thống ngôn ngữ toán học này.
Để giải quyết một bài toán cần thực hiện hai bước chủ yếu, đó là tìm ra
phương pháp giải và thực hiện lời giải. Hai bước này có khi tiến hành đồng
thời nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Nếu chúng ta đưa
20
một sự so sánh bước nào quan trọng hơn bước nào thì cũng chỉ đúng trong
một chừng mực nào đó mà thôi.
Trước hết, nếu ta đứng trước một bài toán đã có phương pháp giải thì
việc giải một bài toán trở nên dễ dàng hơn. Ta chỉ cần đưa ra lời giải sao cho
chính xác, rõ ràng, gọn theo yêu cầu nội dung bài toán. Bài giải phải được
trình bày theo ngôn ngữ toán học mà học sinh đã tiếp nhận qua sự trình bày
của thầy cô, biến cái tri thức đã học từ thầy cô thành tri thức của chính bản
thân mình. Còn ngược lại nếu ta đứng trước một bài toán chưa có phương
pháp giải thì việc giải bài toán một bài toán trở nên khó khăn hơn. Việc đưa
ra cách giải hoàn chỉnh không phải hoàn toàn đơn giản mà là cả một quá
trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: nắm vững các kiến thức cơ bản về nội
dung lí thuyết lẫn phương pháp thực hành, luyện tập thành thạo các quy trình
và thao tác có tính chất kĩ thuật. Những điều này đòi hỏi tính nghiêm túc,
tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải Toán.
1.3
Quá trình hình thành và phát triển ngôn ngữ toán học
tính chất trừu tượng. Khi giáo viên truyền đạt cho học sinh lượng kiến thức
mới cũng phải cân nhắc rất nhiều các phương pháp dạy học để cho học sinh
tiếp nhận lượng kiến thức mới một cách dễ dàng nhằm làm giàu thêm hệ
thống ngôn ngữ toán học cho học sinh.
Quá trình hình thành hệ thống ngôn ngữ toán học cho học sinh không
phải là tức thời mà là cả một quá trình lâu dài có tính kế thừa và phát triển.
Ngày nay thì sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật ngày càng cao, và ứng dụng
của toán học ngày càng nhiều, chính vì thế hệ thống ngôn ngữ toán học cũng
được phát triển. Nếu toán học là một niềm vui, một sự húng thú cho học sinh
(C): y = f(x)
y
22
y=y
0
thì nó sẽ kích thích được
sự tìm tòi, học hỏi và sáng tạo trong quá trình học
O
x
toán của học sinh trung học phổ thông .
Ta có một ví dụ vui như sau: con thỏ không bao giờ vượt qua được con
rùa? Thỏ chấp rùa chạy trước một đoạn tạm gọi là đoạn AB. Khi rùa chạy tới
B thì thỏ chạy từ A. Để đến B, thì thỏ phải qua trung điểm AB là I, muốn
qua I, thì thỏ tiếp tục phải qua trung điểm AI là J, ...và cứ thế, thỏ không bao
1
3
−
)
1-x 1 − x 2
Quá trình này không dừng lại mà được tiếp tục và phát huy ứng dụng của
nó để mở ra các bài toán mới.
Ví dụ: Trong giải tích 12 có khái niệm tiệm cận.
(C): y = f(x)
y
y
(C): y = f(x)
y = y0
O
x
O
x=x0
x
x → x0 +
lim f(x) = −∞
x→ x0 +
lim f(x) = +∞
x→ x0 −
lim f(x) = −∞
x → x0 −
Ví dụ: Trong giải tích 11 có khái niệm cấp số cộng.
ta có tính chất: ÷ a, b, c ⇔ a + c = 2b
ta có bài tập sau: Chứng minh rằng nếu ba cạnh của tam giác lập thành cấp
A
2
số cộng thì tg . tg
C
1
=
2
3
Quá trình phân tích đi lên diễn ra như sau:
tg
2
2
2
2
⇐ cos
A−C
A+C
= 2 cos
*
2
2
Quá trình tổng hợp:
a, b, c lập thành cấp số cộng
24
⇒ 2b = a+c
⇒ 2sinB =sinA + sinC
⇒ 2sin(A+C) =2 sin
⇒ sin(A+C) = sin
⇒ sin
A+C
A−C
. cos
2
2
⇔ MA + MB + MC = 3MG
A
Ta chứng minh công thức này:
G là trọng tâm ∆ ABC
uuu
r uuu
r uuur r
B
⇔ GA + GB + GC = 0
uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r r
⇔ MA − MG + MB − MG + MC − MG = 0
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
⇔ MA + MB + MC = 3MG
G
C
1.3.2 Sự phát triển của ngôn ngữ toán học đối với quá trình dạy toán.
Ngôn ngữ có vị trí cực kỳ quan trọng trong cuộc sống hằng ngày, và toán học
trong nhà trường cũng góp phần quan trọng vào sự phát triển và đa dạng hoá
ngôn ngữ tiếng mẹ đẻ thông qua sự phát triển ngôn ngữ toán học. Không nên chỉ
toán giao trong mệnh đề.
“ Cô hay em trả tiền”. Túc là cô trả hoặc em trả hoặc người nào ăn người đó trả
tiền, đây là phép toán hợp trong mệnh đề.
Theo một góc độ nào đó ta thấy toán là cuộc sống và cuộc sống là toán học.
Copyright: Tài liệu đại học ©