BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ THỊ LÀI

NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI SOLITON
TRONG MÔI TRƯỜNG SỢI QUANG PHI TUYẾN BẬC CAO
Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Vũ Ngọc Sáu


2
Vinh 2013


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại học –
Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Vũ Ngọc
Sáu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn vì
những giúp đỡ mà thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu
vừa qua.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, PGS. TS.
Hồ Quang Quý, TS. Nguyễn Văn Phú, cùng các thầy, cô giáo ở khoa Vật lý,
khoa đào tạo Sau đại học, các cán bộ tham gia giảng dạy tại lớp cao học và
các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

SPM
TOD
SS
SRS
FWHW

Schrodinger
Group Velocity Dispersion
Self Phase Modulation
Third-Order Dispersion
Self- Steppening
Stimulated Raman Scatering
Full Width at Half Maximum

tuyến suy rộng
Tán sắc vận tốc nhóm
Tự biến điệu pha
Tán sắc bậc ba
Tự dựng xung
Tán xạ Raman cưỡng bức
Độ rộng toàn phần tại một

Root-mean-square

nửa cực đại xung
Độ rộng căn quân phương.

RMS



sai lệch khi mô tả bằng phương trình Schrodinger phi tuyến. Do đó, đối với
các xung cực ngắn, ta cần phải kể đến các khai triển bậc cao hơn. Lúc này, lan
truyền của xung cực ngắn được mô tả bởi phương trình Schrodinger phi tuyến
suy rộng. Trong phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, ta đưa vào các
hiệu ứng phi tuyến bậc cao như : tán sắc bậc ba, tự dựng xung , tán xạ Raman
cưỡng bức. Mỗi hiệu ứng sẽ ảnh hưởng lên xung lan truyền trong sợi quang,
đóng vai trò là nhiễu khi ta xem xét chúng độc lập. Tuy nhiên, khi xét đồng
thời ảnh hưởng của các hiệu ứng kể trên, lời giải phương trình Schrodinger
phi tuyến suy rộng vẫn có thể cho ta dạng Soltion lan truyền trong sợi quang,
mặc dù điều kiện để có lời giải Soliton sẽ có phần hơi khác.
Vì vậy, mục đích của đề tài là bằng phương pháp giải tích- khai triển
Jacobian, giải phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, và bằng phương
pháp sử dụng ansatz biên độ phức , giải phương trình Schrodinger phi tuyến
bậc cao, tìm ra lời giải Soltion khi xét đồng thời một số hiệu ứng bậc cao.
Xuất phát từ lí do trên chúng tôi đã chọn đề tài:
“Nghiên cứu điều kiện tồn tại các Soliton trong môi trường sợi
Quang phi tuyến bậc cao”.
Cấu trúc luận văn được trình bày như sau:
Phần mở đầu
Phần nội dung
Chương 1: Sử dụng hàm jacobien của phương trình Schrodinger phi
tuyến để tìm nghiệm soliton
Trình bày tổng quan về soliton quang học, hàm jacobien tổng quát của
phương trình Schrodinger và các điều kiện tồn tại soliton quang học.
Chương 2: Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến bậc cao
lên quá trình lan truyền soliton


7
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiêu ứng phi tuyến bậc cao lên quá trình lan


8
phần tần số lớn hơn sẽ lan truyền với vận tốc nhanh hơn một ít so với các
thành phần tần số nhỏ hơn. Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽ rộng hơn tín
hiệu ban đầu và trên xung bị dịch tần.
Bây giờ ta giả sử xung lan truyền trong sợi quang phi tuyến không tán
sắc, xung sẽ chịu ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha. Độ dịch tần có giá
trị âm ở phần đầu xung và có giá trị dương ở phần cuối xung. Do đó, tần số ở
phần đầu xung sẽ bé hơn tần số ở phần đuôi xung.
Sự lan truyền xung chịu ảnh hưởng độc lập mỗi hiệu ứng được mô tả như
hình H 1.1. Trong hình này xung vào ban đầu là xung dạng Gauss không
chirp, khi lan truyền trong môi trường tuyến tính, xung chỉ chịu ảnh hưởng
của hiệu ứng GVD và sẽ bị mở rộng. Ở chế độ tán sắc dị thường xung bị nén
lại ở phần cạnh trước (tần số dịch về phía sóng xanh) và giãn ra ở phần cạnh
sau (tần số dịch về phía sóng đỏ). Nhưng khi xung lan truyền trong môi
trường phi tuyến không tán sắc, do ảnh hưởng của hiệu ứng SPM, nó sẽ làm
mở rộng xung, lúc này xung bị nén lại ở phần sau và giãn ra ở phần trước của
xung.
Khi xung lan truyền trong sợi quang chịu ảnh hưởng đồng thời bởi hai
hiệu ứng nói trên, với ảnh hưởng có tính trái ngược nhau, kết quả là trong một
điều kiện nhất định nào đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng GDV
và SPM tự cân bằng nhau. Tổng hợp của hai hiệu ứng sẽ làm cho xung không
thay đổi.

H 1.1


9
1.1.2 Lời giải Soliton cơ bản ( Soliton bậc một)
Một phương pháp cơ bản áp dụng để giải phương trình Schrodinger phi

= sgn(β2 )
− N2 U U
2
∂ξ
2 ∂τ
với

L D γP0T0 2
N =
=
L NL
β2
2

(1.2)
(1.3)

Ta có thể khử được thông số bằng cách đưa vào biến:
u = NU = γL D A

(1.4)

Phương trình (1.2) có thể đưa về dạng phương trình NLS chính tắc
không thứ nguyên.
i

∂u 1 ∂ 2 u
2
+
+

trong đó, ν1 , ν 2 là biên độ của hai sóng tán xạ bởi thế u(ξ, τ) . Giá trị
riêng ζ có vai trò tương tự như vai trò của tần số trong giải tích Fourier, ngoại
trừ ra rằng ζ có thể nhận giá trị phức khi u ≠ 0 . Đặc trưng này có thể được
nhận ra bởi sự chú ý rằng trong trường hợp u=0 thì ν 1 ,ν 2 biến thiên theo
exp(±iζτ) .
Phương trình (1.6), (1.7) được áp dụng cho mọi giá trị của ξ . Trong
phương pháp tán xạ ngược, đầu tiên chúng được giải tại ξ =0. Từ dạng ban
đầu của u (0,τ ) , giải hệ hai phương trình trên để tìm dữ liệu tán xạ ban đầu.
Bài toán tán xạ một chiều được đặc trưng bởi hệ số tán xạ r (ζ ) , nó có
vai trò tương tự như hệ số khai triển Fourier. Sự kết hợp của các trạng thái
liên kết (Soliton) tương ứng với các cực của r (ζ ) trong mặt phẳng phức ζ .
Bởi vậy, dữ liệu tán xạ ban đầu bao gồm các hệ số tán xạ r (ζ ) , các cực phức
ζ j , và các thặng dư cj , trong đó, j=1 đến N nếu có N như vậy tồn tại. Mặc dầu

thông số N không nhất thiết phải là một số nguyên, kí hiệu tương tự chỉ nhằm
nhấn mạnh rằng giá trị nguyên của nó được xác định bằng số cực.
Sự tiến triển của dữ liệu tán xạ dọc theo chiều dài ống được xác định
bằng các kĩ thuật quen biết. Nghiệm mong muốn u (ξ ,τ ) được xây dựng lại từ
sự tiến triển của dữ liệu tán xạ bởi sử dụng phương pháp tán xạ ngược. Bước
này đòi hỏi nhiều tính toán phức tạp. Tuy nhiên trong trường hợp đặc biệt,


11
trong đó r (ζ ) triệt tiêu với thế ban đầu u (0,τ ) thì nghiệm u (ξ ,τ ) có thể xác
định bằng cách giải hệ các phương trình đại số. Trường hợp này tương ứng
với các Soliton. Bậc của Soliton được đặc trưng bởi số cực N, hoặc các giá trị
riêng ζ j , (j=1,N). Nghiệm tổng quát có dạng:
N

u(ξ, τ) = −2∑ λ j*ψ 2 j*

ψ2 j = 0

(1.10)

ψ1j = 0

(1.11)

λ j*λ k

*
k =1 ζ j − ζ k

Giá trị riêng ζ j nói chung là các số phức ( 2ζ j = δ j + iη j ). Về ý nghĩa vật
lí, phần thực δ j đưa tới sự thay đổi vận tốc nhóm của thành phần thứ j của
Soliton. Đối với Soliton bậc N thì mọi thành phần của nó phải cùng chuyển
động với một vận tốc, bởi vậy mọi giá trị riêng ζ j cần cùng nằm trên một
đường thẳng song song với trục ảo, nghĩa là δ j = δ; ∀j .
Soliton bậc một tương ứng với trường hợp chỉ có một cực ζ j (N=1). Nó
được cho là Soliton cơ bản vì dạng của nó không thay đổi trong quá trình lan
truyền. Sử dụng các phương trình (1.8)-(1.11) với j=k=1 ta có:
N

λ j*λ k

k =1

ζ j* − ζ k

N

Giải hệ (1.12)-(1.13) tìm được ψ 21* = λ*1 (1 + λ1 / η2 ) −1 thay vào (1.8)
tìm được:
4

u(ξ, τ) = −2(λ1* ) 2 (1 + λ1 / η2 ) −1

(1.14)

Sử dụng (1.9) cho λ1 với ζ1 = (δ + iη) / 2 và đưa vào các thông số τ s và
φs qua −c1 / η = exp(ητs − iφs ) ta có:

1
1

λ1 = c1 exp  (−ητ + iδτ) + (i(δ 2 − η2 ) − 2δη)ξ 
4
2

i
1
 1

= c1 exp  − (ητ + iδηξ) + (δτ + (δ 2 − η2 )ξ) 
2
2
 2

λ1λ*1 = c1c*1 exp[ − (ητ + δηξ)]=η exp[−η(τ − τs + δξ)]
λ 41 = (λ1λ*1 ) 2 = η2 exp[−2η(τ − τs + δξ)]
1




(1.15)

trong đó, η , δ , τ , φs là bốn thông số tùy ý đặc trưng cho Soliton. Mỗi sợi
quang sẽ có một họ bốn thông số của Soliton cơ bản.


13
Bây giờ ta sẽ khảo sát ý nghĩa vật lý của bốn thông số của Soliton nói
trên. Bốn thông số η , δ , τs , φs tương ứng với biểu diễn biên độ, độ dịch tần
số, tọa độ và pha của Soliton tương ứng
Pha φs có thể được bỏ qua, bởi vì một hằng số pha là không có ý nghĩa
vật lí. Nó chỉ trở nên quan trọng khi khảo sát sự tương tác phi tuyến giữa các
Soliton.
Thông số τ s xác định tọa độ đỉnh của Soliton, nó cũng có thể được bỏ
qua. Thật vậy, nếu như gốc thời gian ta chọn sao cho đỉnh của Soliton tại
ξ = 0 khi τ = 0 thì τs = 0 .

 (δ 2 − η2 )

ξ − δτ + φs )  = exp[iφ] trong (1.15) nếu lấy
Từ thừa số pha exp i
2


đạo hàm theo τ được −dφ / dτ = δ . Nên thông số δ biểu diện độ dịch chuyển
tần số của Soliton so với tần số sóng mang của trường quang học ban đầu là
ω0 . Chú ý đến thành phần biểu diễn tần số của trường là exp[−iω0 t] thì tần số

thay đổi vận tốc nhóm là hệ quả của sự tán sắc trên sợi quang. Thông số độ
dịch tần δ cũng có thể được bỏ qua bằng cách chọn tần số sóng mang thích
hợp.


14
Như vậy, Soliton cơ bản chỉ có một thông số được mô tả bởi:
1

u(ξ, τ) = η sec h(ητ)exp  iη2ξ 
2


(1.18)

thông số η không chỉ xác định biên độ của Soliton mà còn xác định độ
rộng của nó. Trong hệ đơn vị đo thực, độ rộng của Soliton thay đổi cùng với
η theo hệ thức T0/ η , nghĩa là độ rộng của Soliton tỉ lệ nghịch với biên độ của

Soliton. Mối liên hệ tỉ lệ nghịch giữa biên độ và độ rộng của Soliton là quyết
định chủ yếu hầu hết các tính chất của các Soliton.
Dạng chính tắc của Soliton cơ bản có thể nhận được bởi chọn u(0,0)=1
và η =1. Với lựa chọn này (1.2) sẽ trở thành
1 
u(ξ, τ) = sec h( τ)exp  iξ 
2 

(1.19)

1.1.3 Soliton bậc cao (lời giải N Soliton)

(1.21)

trong đó, bậc của Soliton N là một số nguyên. Đỉnh công suất của xung
2
đưa vào sợi quang phải thỏa mãn điều kiện N 2=LD/LNL= γp0T0 / β2 và nó

bằng N2 lần điều kiện yêu cầu cho Soliton cơ bản.


15
Đối với Soliton bậc hai (hay còn gọi là lời giải hai Soliton) thì N=2. Sử
dụng phương trình (1.9) với ζ1 = i / 2(η1 = 1) và ζ 2 = 3i / 2(η2 = 3) cho hai giá
trị

riêng

( δ = 0 ).

Theo

(1.20)

ta

có

C1=4

và


11

− i2 3e

−2 τ+ 2iξ

−2 τ− 2iξ

ψ12 = 2e

−3 τ

(1.22)
 τ ζ
 − +i ÷
 2 4

ψ11 − i4e ψ12 = 2 3e

 3τ 9 ζ 
 − +i ÷
4 
 2

Giải hệ bốn phương trình trên ta tìm được ψ*21; ψ*22 ; ψ11; ψ12 .
Dạng hàm bao các Soliton bậc cao thay đổi liên tục, tuy nhiên sau những
quãng đường lan tuyền nhất định dạng của nó lại trở như ban đầu. Một tính
chất quan trọng của nghiệm Soliton bậc hai đó là u (ξ ,τ ) có chu kì tuần hoàn
theo ξ với chu kì ξ0 = π / 2 . Sử dụng ξ =z/LD ta có chu kì của Soliton trong
z0 =

Soliton tối là nghiệm Soliton của phương trình (1.7) tương ứng với
trường hợp sgn( β 2 )=1, nghĩa là xung lan truyền trong chế độ tán sắc thường
của sợi quang. Đặc điểm của dạng Soliton này là cường độ của nó là một
hằng số, nhưng trong một khoảng thời gian ngắn nó giảm xuống bằng không
(tạo thành một cái hố sâu) nhưng sau đó lại trở lại không đổi. Vì vậy, nó được
gọi là Soliton tối. Còn Soliton ở các mục trước được gọi là Soliton sáng.
Phương trình NLS mô tả quá trình lan truyền Soliton tối nhận được từ
(1.10) khi ta đổi dấu số hạng đạo hàm theo thời gian (sgn( β 2 )=1).
∂u 1 ∂ 2 u
2
i −
+ u u=0
2
∂ξ 2 ∂τ

(1.24)

Tương tự như trường hợp Soliton sáng , phương pháp tán xạ ngược cũng
có thể dùng để tìm nghiệm Soliton cho (1.24). Tuy nhiên, cũng có thể tìm
nghiệm bằng phương pháp giải tích bằng việc giả thiết có tồn tại nghiệm


17
Soliton dạng u(ξ, τ) = V(τ)exp[iφ(ξ, τ)] . Hàm V(τ) trong trường hợp này là
một hằng số khi τ → ∞ . Thay u(ξ, τ) vào (1.24) và cân bằng phần thực và
phần ảo thu được hệ phương trình cho V (τ ) và φ (ξ ,τ )
2

∂ 2V
∂φ



(1.28)

các thông số η và τ s biểu diễn biên độ của Soliton và vị trí (tọa độ) của
hố tương ứng. Tương tự như trong trường hợp Soliton sáng ta có thể chọn
τ s = 0 mà không mất đi tính tổng quát.

Trong nghiệm Soliton xuất hiện thông số mới là B. Về ý nghĩa vật lí của
B là độ sâu của hố trũng ( B ≤ 1 ). Trong trường hợp B=1 cường độ tại tâm hố
trũng sẽ bằng không, còn các giá trị khác của B cường độ tại tâm hố trũng sẽ
lớn hơn không. Trường hợp B < 1 thì gọi là Soliton tối. Còn trường hợp B=1
gọi là Soliton sáng.

H 1.3 Dạng của Soliton tối không đổi trong quá trình
lan truyền


18

1.2. Hàm jacobien tổng quát của phương trình Schrodinger.
Sự lan truyền của xung femto giây trong các sợi quang được mô tả thông
qua phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng, trong đó bao hàm các hiệu
ứng bậc cao như tán sắc bậc hai và bậc ba, Sự tự biến điệu pha bậc hai và bậc
ba, sự tự dựng xung và tán xạ Raman cưỡng bức. Trong trường hợp tổng quát,
phương trình Schrodinger phi tuyến suy rộng không khả tích hoàn toàn. Vì
vậy, lời giải soliton chỉ tìm được trong những điều kiện cụ thể của từng bài
toán. Rất nhiều phương pháp bao gồm các phương pháp số và các phương
pháp giải tích đã được sử dụng để giải phương trình Schrodinger phi tuyến
suy rộng này. Ở đây, chúng tôi sử dụng phương pháp khai triển Jacobien để

Khi đó hàm U(z,t) biểu diễn theo biến mới như sau:
U(z, t) = u(ξ)exp(iθ) , ξ = kz + ct + σ1 , θ = pz + qt + σ 2

(1.30)

trong đó k, c, p , q, σ1 , σ2 là các hệ số dẫn xuất từ các tham số αi , chúng
có ý nghĩa vật lý như sau: k có thứ nguyên là số sóng nên nó đặc trưng cho sự


19
lan truyền sóng, c có thứ nguyên là vận tốc lan truyền sóng, p đặc trưng cho
tốc độ thay đổi pha theo không gian, q đặc trưng cho tốc độ biến đổi pha theo
thời gian, δ1 và δ2 là hai tham số tương ứng với tọa độ ban đầu và pha ban đầu
của xung.
Trong hệ tọa độ mới, ta biểu diễn được hàm bao và các đạo hàm của
chúng dưới dạng:
2

U = U × U * = u 2 ( ξ)

(1.31)

∂U ∂u
∂exp(iθ)
= exp(iθ) + u
=  ku ' + ipu  exp(iθ)
∂z ∂z
∂z

(1.32)

∂t
= c3u ''' − 3cq 2u ' + i(3c 2qu '' − q 3u  exp(iθ)

(

)

(1.35)

2

∂U
∂u 2
=
= 2cuu '
∂t
∂t

(1.36)

2

∂ ( U U) ∂ 3
= (u exp(iθ)) = 3cu 2 u ' + iqu 3  exp(iθ)
∂t
∂t

(1.37)

Thực hiện thay các biểu thức từ (1.31) ÷ (1.37) vào phương trình (1.30)

được viết:
u(ξ) = a 0 + a1Sn(ξ) + b1Cn(ξ)

(1.41)

trong đó, các tham số ao, a1, b1 là các hệ số khai triển trong hệ cơ sở các
hàm Sn và Cn
Nghiệm (1.41) là dạng nghiệm tổng quát và a1, b1, c, p, q có thể xác định
được bằng cách thay (1.41) vào hệ hai phương trình (1.39a), (1.39b). Bằng
cách này, chúng ta tìm được nghiệm chính xác mô tả dạng của Soliton và điều
kiện tồn tại của nó.
1.3 Kết quả tính toán
Để dễ dàng hơn, ta xét hai trường hợp cụ thể:
Trường hợp 1) Xét trường hợp đặc biệt, khi giá trị ban đầu a 0 gần đúng
bằng 0 và chỉ chứa phần hàm Cn, nghiệm u (ξ ) trong (1.41) tương ứng có
dạng:
u(ξ) = bCn(
ξ)
1
⇒ U(z,t)=b1Cn(kz + ct + σ1 )exp(pz + qt + σ 2 )

(1.42)
(1.43)

Thực hiện tính các đạo hàm của u ta có:
u(ξ) = b1Cn(ξ) = b1Cn
u' (ξ) = − bSndn
1
2
u,'' (ξ) = bCn[1-2dn

b1 = ± 6

α3
mc
3α 4 + 2α5

(1.47)

Tương tự, thay (1.44) vào phương trình (1.40b) ta đưa về được:
[( p + q 2α1 + α 3q 2 )-α 1c 2 + 3α 3qc 2 (−1 + 2m 2 )] − [α 2 + α 4 q) b12 − 2m 2 (α 1c 2 + 3α 3qc 2 )]Cn 2 = 0

(1.48)

Phương trình (1.48) có nghiệm khi các biểu thức trong dấu […] của
phương trình (1.48) đồng thời triệt tiêu, nghĩa là:
2
2
2
2
2
[p + q α1 + α 3q ]-α1c + 3α 3qc (−1 + 2m = 0

2
2
2
2
(α 2 + α 4q) b1 − 2m (α1c + 3α 3qc ) = 0

(1.49a)
(1.49b)



÷
3
2
3
2
2
2
3 2 2
 +72α1 α 4 α 5 + 324α 3 α 4 α 2 c − 648α 4 α 2α 3 m c ÷

÷
2 2
2
2
2
2
 +432α 4 c α 3 m α1α 5 − 27α 2α 3α1 α 4
÷
 −216α 2 c 2α α α 2 − 72α 2α α α α
÷
3
5 1 4
1
5 2 3 4
÷
1 
1
2 2 2

÷
 −108α 2 c 2α 2α α − 1296α α α 3m 2 c 2α
÷
3
5
1 4
4 2 3
5

÷
 −648α 2α 33m 2c 2α 52 + 16α13α 53
÷

÷
 −36α 5 2α12α 2α 3 + 27α 33α 23 + 324α 33c 2α 2α 52
÷



(1.52)

ở đây c là hằng số bất kỳ.
Khi m → 1, nghiệm (1.43) trở thành nghiệm Soliton sáng có dạng:
U(z, t) = b1Sech(kz + ct + σ1 )expi(pz+qt+σ2 )

(1.53)

với b1, k và q được xác định tương ứng theo (1.47), (1.50) và (1.51)
nhưng lấy tại giá trị m =1.
Trường hợp 2) Chúng ta giới hạn xét cho trường hợp đặc biệt, khi giá trị


−6α 3
mc
3α 4 + 2α 5

(1.57)

Thay (1.57) vào (1.40a) ta thu được
[(p + q 2α1 + q 2α 3 ) − (α1c 2 + 3qα 3c 2 )(m 2 + 1)] − [(α 2 + α 4 q )a 12 +

(1.58)

m 2 (α1c 2 + 3qα 3c 2 )]Sn 2 = 0

Phương trình (1.58) có nghiệm khi tổng trong các dấu […] ở vế trái phải
đồng thời triệt tiêu. Do đó, ta thu được hệ hai phương trình sau:
(p + q 2α1 + q 2α 3 ) − (α1c 2 + 3qα 3 c 2 )(m 2 + 1) = 0

(1.59)

(α 2 + α 4 q )a 12 + m 2 (α1c 2 + 3qα 3c 2 ) = 0

Giải (1.58) với

a 1= ±

−6α 3
mc tìm q, ta thu được:
3α 4 + 2α 5


− 108α 4α 32 m 2 c 2α 5 2α1 + 648α 4α 2α 33 m 2 c 2α 5 + 324α 4 2α 2α 33 m 2 c 2 −
−216α 4 2 c 2α 32 m 2α1α 5 − 108α 3 2 c 2 m 2α1α 43 + 324α 2α 32 c 2α 5 2 m 2 

1
[α 3 (α 4 + α 5 )]3

Với c là hằng số tuỳ ý. Khi m → 1 bậc thấp nhất, lời giải tương ứng trở
thành một lời giải có dạng Soliton tối:
U( z , t ) = a1 tanh(kz + ct + δ1 )expi(pz+qt+δ 2 )

(1.63)


24
1.4 Các điều kiện tồn tại Soliton quang học.
Từ các biểu thức mô tả lời giải Soliton sáng, Soliton tối (1.53) và (1.63)
ta xét điều kiện tạo thành soliton ứng với khi có mặt và khi không có mặt tán
xạ Raman cưỡng bức, nhận thấy rằng:
* Trong trường hợp không xét đến hiệu ứng SRS ( α 5 = 0 ):
- Soliton sáng chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD, SS và
α 3α 4 > 0

thỏa mãn

(1.64)

Soliton tối chỉ tồn tại khi tồn tại đồng thời hai hiệu ứng TOD,SS và thỏa
α 3α 4 < 0

mãn

α

3
nếu 3α + 2α > 0 và Soliton tối thể tồn tại trong trường hợp sợi quang tán sắc
4
5

α

3
dị thường nếu 3α + 2α < 0 . Điều này khác với kết quả thu được khi chỉ xét
4
5

đến ảnh hưởng của hai hiệu ứng GVD và SPM đã được biết đến ở các nghiên
cứu trước rằng Soliton sáng chỉ tồn tại trong sợi quang trong trường hợp tán
sắc dị thường ( α1 > 0 ) và Soliton tối chỉ tồn tại trong sợi quang với trường hợp
tán sắc thuờng ( α1 < 0 ).
Kết luận chương 1
-Trong chương này chúng tôi đã trình bày tổng quan về Soliton quang
học. Bao gồm cơ sở xuất hiện Soliton quang học, Phương pháp tán xạ ngược,
nghiệm các Soliton cơ bản và Soliton bậc cao, Soliton tối.
-Trình bày sơ lược về hàm Jacobian eliptic.
-Trên cơ sở của phương pháp giải tích Jacobian, xuất phát từ phương
trình Schrodinger phi tuyến suy rộng và xem xét một số hiệu ứng phi tuyến,
các biểu thức mô tả Soliton sáng, tối đã được dẫn giải. Từ kết quả thu được,
điều kiện tồn tại Soliton đã được bình luận. Như vậy, khi xét đồng thời ảnh
hưởng của các hiệu ứng bậc cao như tán sắc bậc ba, tự dựng xung, tán xạ
Raman cưỡng bức, vẫn thu được Soliton lan truyền trong sợi quang. Đặc biệt,
khi xét đến sự có mặt của hiệu ứng tán xạ Raman cưỡng bức, lời giải soliton